提公因式法(提高)知识讲解
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提公因式法（提高）
【学习目标】
1.
了解因式分解的意义
,
以及它与整式乘法的关系；
2
．
能确定
多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式
.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成
几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式
.
要点诠释：
（
1<
/p>
）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，
< br>而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式
.
（
2
）要把一个多项式分解到每一个因
式不能再分解为止
.
（
3
）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆<
/p>
.
因式分解是一种恒
等变形，而整式乘法
是一种运算
.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式
.
要点诠释：
（
1
）公因式必须是每一项中都含有的因式
.
（
2
）公因式可以是一个数，也可以是
一个字母，还可以是一个多项式
.
（
3
）
公因式的确定
分为数字系数和字母两部分：
①公因式的系数是各项系数
的最大
公约数
.
②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
.
要点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，
其中一个
因式是各项的公因式
m
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
< br>m
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：
（
1
）
提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（
2
）用提
公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式
.
（
3
）当多
项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的
第一项的系数变为正数，
同时多项式的各项都要变号
.
<
/p>
（
4
）用提公因式法分解因式时，若多项
式的某项与公因式相等或它们的和
为零，则提取公因式后，该项变为：
< br>“＋
1
”或“－
1
”
，不要把该项漏
掉，或认为是
0
而出现错误
.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1
、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
<
/p>
（
1
）
a
(
x
y
)
ax
ay
；
（
2
）
x
2
xy
y
1
x
(
x
2
y
)
(
y
1)(
y
1)
；
（
3
）
ax
4
a
a
< br>(
x
2)(
< br>x
2)
；
2
2
2
（
4
）
1
2
1
ab
a
b
2
；
2
2
2
1
1
（
5
）
a
2
2
<
/p>
2
a
．
a
a
【思路点拨】
根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，<
/p>
从对象和结果
两方面去判断
.
【答案与解析】
<
/p>
解：因为
(1)(2)
的右边都不是积的
形式，所以它们都不是因式分解；
(4)
的左边不是多项式而是一个单项式，
(5)
中的
1
1
、
都不是整式，所以
(4)(5)
也不是因式分解，
a
2
a
只有
(3)
的左边是多项式，右边是整式的积的
形式，所以只有
(3)
是因式分解．
【总结升华】
因式分解是将多项式变成积的形式，
所以等式的左边必须是多项式，
将单项式
拆成几个单
项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列变形是因式分解的是
( )
A.
a
4
3
a
(
a
2)(
a
2)
3
a
B.
< br>x
4
x
4
(
x
2)
C.
x
1
x
(1
)
D.
(
< br>x
1)(
x
< br>
1)
x
2
1
【答案】
B
；
类型二、提公因式法分解因式
2
、下列因式分解变形中，正确的是（
）
A
．
ab
a
b
a
b
a
a
b
a
b
1
B
．
6
m
n
2
m
n
< br>
2
m
n
3
m
n
<
/p>
1
C
．
3
y
x
2
x
< br>y
y
x
3
y
3
x<
/p>
2
D
．
3
x
x
y
x
< br>
y
x
y
【答案】
A
；
【解析】
解：
A.
ab
a
b
a
b
a
a
b
a
b
1
，正确；
B.
6
m
n
2
m
n
2
m<
/p>
n
3
m
3
n
1
，故本选项错误
；
C.
3
y
x
2
x
y
y
x
< br>
3
y
3
x
2
，故本选项错误；
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
1
x
2
x
y