提公因式法分解因式典型例题
-
实用文档
因式分解（
1
）
一知识点讲解
知识点一：因式分解概念：
把一个多
项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.
因式分解特征：
因式分解的结果是几个整
式的乘积。
2.
因式分解与整式乘法
关系：
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
整
式
乘
法
(
a
b
)
2
a
2
< br>2
ab
b
2
(
a
b
)
2
<
/p>
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
b
2
(
x
3
y
)(
x
3
y
)
x
2
9
y
2
因
式
分
解
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
x
2
9
y
2
(
x
<
/p>
3
y
)(
x
3
y
)
知识点二：寻找公因式
1
、
小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）
例如：求
20,36,80
的最大公（约）数？最大公倍数？
标准文案
实用文档
2
、寻找公因式的方法：
4
8
3
2
3
a
2
y
3
ay
6
y
，
xy
3
x<
/p>
y
，
9
27
a
(
x
y
)
3
b
(
< br>x
y
)
2
(
x
y
)
3
，
-
27
a
2
b
3
36
a
3
b<
/p>
2
9
a
2
b
1.
确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式
中各项
系数的最大公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数
，而且
分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最
大公因数。
2.
确定相同字母
3.
看次数
4.
看整体
5.
看符号
公因式的字母是各项都含有的字母
相同字母的指数取最低次数
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。
若多项式的首项是
，则公因式的符号一般为负。
“
-
”
知识点三：因式分解的方法（重点）
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.
提取公因式法：
如果多项式的各项含有
公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，
把多项式转化成公因式与另一个多项式
的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.
符号语言：
ma
m
b
mc
m
(
a
b
c
)
3.
提公因式的步骤：
（
1
）确定公因式
（
2
）提出公因式并确定另一个因式（
依据多项式除以单项式）
另一个因式
原多项式
公因式
4.
注意事项：
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块
< br>1
：考察因式分解的概念
1.
（
20
17
春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A
、
x
9
6
x
(<
/p>
x
3
)(
x
3
)
6
x
B<
/p>
、
(
x
5
)(
x
2
)
x
3
x
< br>10
C
、
x
8
x
16
(
x
4
)
D
、
6
ab
2
a
3
b
标准文案
2
2
2
2
实用文档
2.
（
2017
秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
< br>
）
A
、
x
2
x
3
(
x
1
)<
/p>
2
B
、
(
x
y
)(
x
y
)
x
y
C
、
x
xy
y
(
x
y
)
D
、
2
x
<
/p>
2
y
2
(
x
y
)
3.
（
2017
秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因
式分解的是（
）
A
、
2
a
2
a
1
2
a
< br>(
a
1
)
1
B
、
(
x
y
)(
x
y
)
x
y
C
、
9
x
6
x
1
<
/p>
(
3
x
1
)
D
、
x
y
(
x
< br>y
)
2
xy
4.
（
2017
秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A
、
3
x
2
y
1
< br>
5
x
1
B
、
< br>(
3
a
2
b
)(
3
a
2
b
)<
/p>
9
a
4
b
2
2
C
、
x
x
x
(
1
)
D
、
2
x
<
/p>
8
y
2
(
x
2
y
)(
x
2
y
)
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
2
2
5.
（
2017
春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A
、
a
(
a
b
)
a
ab
B
、
a
2
a
1
a
(
a
2
)
1
C
、
x
x
x
(
x
1
)
D
、
xy
x
y
x
(
y
xy
)
6.
（
20
16
秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A
< br>、
(
x
1
)(
x
2
)
x
<
/p>
3
x
2
B
、
x
< br>
3
x
2
(
x
1
)(
x
<
/p>
2
)
C
、
x
4
x
4
x
(
x
4
)
4
D
、
x
y<
/p>
(
x
y
)(
x
y
)
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
模块
2
：考察公因式
1.
（
2017
春抚宁县期末）多项式
15
m
n
5
m
n
2
0
m
n
的公因式是（
< br>
）
A
、
5
mn
B
、
5
m
n<
/p>
C
、
5
m
n
D
、
5
mn
2.
（
2017
春东平县期中）把多项式
8
a
b
c
16
a
b
c
24
a
bc
分解因式，应
提的公因
式是（
）
A
、
8
a
bc
B
、
2
a
b
c
C
、
4
ab
c
D
、
24
a
b
c
3.
（
2017
秋凉州区
末）多项式
a
9
与
a
3
a
的公因式是（
）
A
、
a
3
C
、
a
3<
/p>
B
、
a
1
D
、
a
1
4.
（
2017
春邵阳县期中）多项式
8
x
y
A
、
x
y
B
、
x
y
m
n
m
< br>n
1
m
n
1
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
2
2
< br>2
3
3
3
3
2
2
1
2
x
3
m
y<
/p>
n
的公因式是（
）
m
n
m
n
1
C
、
4
< br>x
y
D
、
4
x
y
3
2
5.
（
2016
春深圳校级期中）多项式
5
mx
25
mx
10
mx
各项的公因式是（
）
标准文案
实用文档
A
、
5
mx
B
、
5
mx
C
、
mx
D
、
5
mx
6.
下列各组代数式中没有公因式的是（
）
A
、
5
m
< br>(
a
b
)
与
b
a
B
、
(<
/p>
a
b
)
与
a
b
C
、
mx
y
与
x
y
D
、
a
<
/p>
ab
与
a
b
ab
7.
观察下列各组式子：①
2
a
b
和
a
b
；②
5
m
(
a
b
)
和
a
b
；③
3
(
a
b
)
和
a
b
；
④
x
y
和
x
y
。其中有公因式的是（
）
A
、①②
B
、②③
C
、③④
D
、①④
2
2
2
2
2
2<
/p>
3
2
2
2
模块
3
：利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型：直接提取公因式
1
、分解因式：
2
（
1
）
x
3
x
（
2
）
2
x
18
x
y
4
xy
（
3
）
6
a
(
a
b
)
4
b
(
a
< br>
b
)
2
2
2
（
4
）
1
1
1
5
abc
ab
2
a
2
bc
（
5
）
a
2
b<
/p>
a
< br>（
6
）
x
n
x
n
1
x
n
2
4
6
5
5
②因式分解的第二种类型：变形后提取公因式
2.
分解因式：
（
1
）
3
a
(
x
y
)
6
b
(
y
x
)
（
2
）
a
(
x
y
)
< br>
b
(
y
x
)
c
(
x
y
)
③因式分解的第三种类型：分组后提取公因式
3.
分解因式：
（
1
）
mx
my
nx
ny
（
2
）
2
< br>a
4
b
3
ma
6
mb
标准文案
实用文档
模块
4
：提公因式法的综合应用
类型
1
：利用提公因式法进行简便计算
1.
利用简便方法计算：
（
1
）
3
.
2
200
.
9
4
.
7
200
.
9
200
.
9
2
.
1
（
2
）
36
.
< br>8
13
13
< br>13
20
< br>.
2
2
55
55
55
类型<
/p>
2
：利用提公因式法进行化简求值
2.
先分解因式，在计算求值：
(2
x
1)
(3
x
2)
(2
x
1)(3
x
< br>
2)
x
(1
2
x
)(3
x
2)
其中
x=1.5
2
2
3.
（<
/p>
2016
秋唐河县期末）已知：
a
b
2015
，
ab
4.
<
/p>
已知
a
b
4
，
ab
2
，求多项式<
/p>
4
a
b
4
ab
4
a
4
b
的值。
2
5.
<
/p>
若
ab
1
0
，用因式分解法求
ab
(
a
b
ab
b
)
的值
.
2
5
3
2016
，求
a
2
b
ab
2
的值。
2015
2
2
标准文案