因式分解法(提公因式法、公式法)
-
【知识要点】
1
、提
取公因式：
型如
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
，把多项式中的公共部分提取出来。
☆提公因式分解因式要特别注意：
（
1
）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，
使括号内第一项的系数是
正的，并且注意括号内其它各项要变号。
（
2
）如果公因式是多项式时，只
要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的
办法提出。
（
3
）有时要对多项式的项进行
适当的恒等变形之后（如将
a+b-c
变成
-
（
c-a-b
）才能提公
因式，这时要特别注意各项的符号）。
（<
/p>
4
）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含
有括号，并且有公因式
的还应继续提。
（
5
）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。<
/p>
2
、运用公式法：
把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：
a
b
a
b
a
b
；
a
2
ab
b
a
b
。
2
2
2
2
2
平方差公式
的特点是：
(1)
左侧为两项；
(2)
两项都是平方项；
(3)
两项的符号相反。
完全平方公式
特点是
:
(1)
左侧为三项；
(2)
首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相
同；
(3)
中间项是首末两项的底数的积的
2
倍。
☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：
（
1
）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具
体使用时可先判断能否用公式分解，
然后再选择适当公式。（
2
）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。
（
3
）具体操作时，应先考虑是否可提公因式
，有公因式的要先提公因式再运用公式。
（
< br>4
）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。<
/p>
【典例分析】
例
1.
分解下列因式：
2
3
3
2
（
1
）
4
x
y
8
x
y
10
x
y
（
2
）
7
a
b
c
21
ab
c
14
abc
2
3
2
2
（
3
）
1
3
1
2
1
3<
/p>
ab
a
b
a
b
（
4
）
2
4
8
1
3
x
3
2
< br>3
x
2
y
1
3
x
2
y
2
x
3
y
（
5
）
(
m
n
)
3
2
a
(
n
< br>
m
)
2
练习：因式分解
(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y)
(2)6(x+y)-12z(x+y) (3)(2x+1)y
(4)p(a
2
+b
2
)+q(a
2
+b
2
)-l(a
2
+b
2
)
（
7
）
m(a-b)-n(b-a)
（
6
）
2
x
(
y
z
)
2
< br>4
y
(
z
y
)
3
2
+(2x+1)
2
y
（
5
）
2a(b+c)-
3(b+c)
（
6
）
6(x-2)+x(2-x)
（
8
）
2a(x+y-z)-3b(x+y-
z)+5c(z-x-y)
；
（
9
）
m(m-n)
-n(n-m)
< br>（
10
）
2(x-y)(a-2
b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)
．
2
2
例
2.
把下列各式分解因式：
（
1
）
x
2
－
4y
2
（
3
）
(
2
x
y
)
2
(
x
< br>2
y
)
2
练习：把下列各式分解因式：
（
1
）
4
a
2
b
2
< br>（
3
）
16
2
81
2
9
a
4
b
例
3.
运用完全平方公式因式分解：
（
1
）
x
2
14
x
49
（
2
）
1
a
2
3
b
2
3
（
< br>4
）
16
a
2
b
2
1
（
2
）<
/p>
16
x
2
y
2
1
（
4
）
16
9
a
2
（
2
）
a
2
10
a
25
（
3
）
4
a
12
ab
9
b
（
4
）
a
2
a
b
b
（
5
）
2
x
2
x
2
2
2
4
2
< br>2
4
1
（
6
）
3
x
3
18
x
2
27
x
2
（
7
）
(
m
n
)
2
6(
m
n
)
9
（
9
）
(
x
y
)
2
1
2
(
x
< br>y
)
1
16
练习：把下列各式分解因式：
（
1
）
x
2
10
xy
25
y
2
（
3
）
9
t
2
6
t
1
（
5
）
1
x
1
2
4
x
< br>（
8
）
(
a
2
1
)
2
4
a
(
a
2
1
)
4
a
2
（
10
）
(
x
2
x
)
2
6
(
x
2<
/p>
x
)
9
2
）
x
2
2
xy
y
< br>2
4
）
16
8<
/p>
xy
x
2
y
2
6
）
4
x
2
y
2
4
xy
（
（
（
（
7
）
2
x
x
4
2
1
（
8
）
ax
3
y
2
2
ax
2
y
ax
8
（
9
）
(
x
y
)
2
1
1
2
(
x
< br>
y
)
16
例
4.
把下列各式分解因式：
（
1
）
3
x
3
12
x
< br>2
y
12
xy
2
（
3
）
4
a
2
(
a
2
1
)
< br>2
练习：把下列各式分解因式：
（
1
）
(
a
2
b
2
)
2
4
< br>a
2
b
2
（
10
）
4
m
2
9
(
m
n
)
2
12
m
(
m
n
)
（
2
）
(
x
4
y
4<
/p>
)
2
4
x
4
y
4
（
4
）
9
(
a
b
)
2
12
(
a
2
b
2
)
4
(
a
b
)
2
（
2
）
m
2
< br>
(
m
2
1
2
4
)