提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法等分解因式题型大全
-
因式分解（
1
）
一知识点讲解
知识点一：因式分解概念：
把一个多
项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.
因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.
因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的
乘法是相反方向的变形
整
式
乘
法
(
a
b
< br>)
2
a
2
2
ab
b
2
(<
/p>
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
(
< br>a
b
)(
a
b
)
a
2
b<
/p>
2
(
x
3
y
)(
x
3
y
)
x
2
< br>
9
y
2
因
式
分
解
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
x
2
9
y
2
(<
/p>
x
3
y
)(
x
3
y
)
1
、寻找公因式的方法：
4
8
3
2
x
y
，
3
a
2
y
3
ay
6
y
，
xy
3
9
27
a
(
x
y
)
3
< br>
b
(
x
y
)
2
(
x
y
)
3
，
-
27
a
2<
/p>
b
3
36
a
3
b
2
9
a
2
b
1.
确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式
中各项
系数的最大公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数
，而且
分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最
大公因数。
2.
确定相同字母
3.
看次数
4.
看整体
5.
看符号
公因式的字母是各项都含有的字母
相同字母的指数取最低次数
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。
若多项式的首项是
，则公因式的符号一般为负。
“
-
”
知识点三：因式分解的方法（重点）
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1
1.
提
取公因式法：
如果多项式的各项含有公因式，
那么就可以把这个
公因式提到括号外面，
把多项式转化成公因式
与另一个多项式的
积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.
符号语言：
ma
mb
mc
m<
/p>
(
a
b
c
)
3.
提公因式的步骤：
（
1
）确定公因式
（
2
）提出公因式并确定另一个因式（
依据多项式除以单项式）
另一个因式
原多项式
公因式
< br>4.
注意事项：因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块
< br>1
：考察因式分解的概念
1.
（
20
17
春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A
、
x
2
9
6
x
<
/p>
(
x
3
)(
x
3
)
6
x
B
、
(
x
5
)(
x
2
)
x
2
3
< br>x
10
C
、
x
2
8
x
16
(
x
4
)
2
D
、
6
ab
2
a
3
b
2.
（
2017
秋抚宁县期末）下列各式从左到右
的变形，是因式分解的是（
）
A
、
x
2
2
x
3
(
x
1
)
2
< br>
2
B
、
(
x
y<
/p>
)(
x
y
)
x
2
y
2
C
、
x
2
< br>
xy
y
2
(
x
y
)
2
D
、
2
x
<
/p>
2
y
2
(
x
y
)
3.
（
2017
秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因
式分解的是（
）
A
、
2
a
2
a
1
2
a
< br>(
a
1
)
1
B
、
(
x
y
)(
x
y
)
x
y
C
、
9
x
2
6
x
1<
/p>
(
3
x
1
)
2
D
、
x
2
y
2
< br>
(
x
y
)
2
2
xy
4.
（
2017
秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式
分解的是（
）
A
、
3
x
< br>
2
y
1
5
x
1
B
、
(
3
a
2
b
)(
3<
/p>
a
2
b
)
9
a
2
4
b
2
C
、
x
x
x
(
1
)<
/p>
D
、
2
x
2
8
y
2
2
(
x
2
y
)(
x
2
y
)
5.
（
20
17
春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A
、
a
(
a
b
)
a
ab
B
、
a
2<
/p>
a
1
a
(
a
2
)
1
C
、
x
x
x
(
x
1
)<
/p>
D
、
xy
x
y
x
(
y
<
/p>
xy
)
6.
（
20
16
秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A
< br>、
(
x
1
)(
x
2
)
x
<
/p>
3
x
2
B
、
x
< br>
3
x
2
(
x
1
)(
x
<
/p>
2
)
C
、
x
4
x
4
x
(
x
4
)
4
D
、
x
y<
/p>
(
x
y
)(
x
y
)
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
模块
2
：考察公因式
2
1.
（
20
17
春抚宁县期末）多项式
15
m
n
5
m
n
20
m
n
的公因式是（
）
A
、<
/p>
5
mn
B
、
5
m
n
C
、
5
m
n
D
、<
/p>
5
m
n
2.
（
2017
春东
平县期中）把多项式
8
a
b
c
16
a
b
c
< br>24
a
bc
分解因式，应提的公
因式是（
）
A
、
8
a
bc
B
、
2
a
b
c
C
、
4
abc
D
、
24
a
b
c
3.
（
< br>2017
秋凉州区末）多项式
a
9
与
a
<
/p>
3
a
的公因式是（
）
A
、
a
3
< br> C
、
a
3
B
、
a
1
D
、
a
1<
/p>
4.
（
201
7
春邵阳县期中）多项式
8
x
m
y
n
1
12
x
3
m
y
n
的公因式是（
）
A
、
x
m
y
n
B
、
x
m
y
n
1
C
、
4
x
m<
/p>
y
n
D
< br>、
4
x
m
y
n
1
5.
（
2016
春深圳校级期中）多项式
5
mx<
/p>
25
mx
<
/p>
10
mx
各项的公因式是（
）
A
、
5
m
x
B
、
< br>5
mx
C
、
mx
D
、
5
mx
6.
下列各组代数式中没有公因式的是（
）
A
、
5
m
< br>(
a
b
)
与
b
a
B
、
(<
/p>
a
b
)
2
与
a
b
C
、
mx
y
< br>与
x
y
D
、
a
ab
与
a
b
ab
7.
观察下列各组式子：①
2
a
b
和
a
b
；②
5
m
(
a
b
)
和
a
b
；③
3
(
a
b
)
和
a
b
；④
x
y
和
x
y
。
其中有公因式的是（
）
A
、①②
B
、②③
C
、③④
D
、①④
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
2
3
2
2
2
3
3
2
2
2
2<
/p>
3
2
2
2
3
模块
3
：利用提公
因式法分解因式
①
因式分解的第一种
类型：直接提取公因式
1
、分解因式：
2
2
2
（
1
）
x
3<
/p>
x
（
< br>2
）
2
x
18
x
y
4
xy
（
3
）
6
a
(
a
b
)
4
b
(
a
< br>
b
)
2
（
4
）
1
5
1
1
abc
ab
2
a
2
bc
（
5
）
a
2<
/p>
b
a
（
6
）
x
n
x
n
1
x
n
2
< br>4
6
5
5
②
因式分解的第二种类型：变形后提取公因式
2.
分解因式：
（
1
）
3
a
(
x
y
)
6
b
(
y
x
)
（
2
）
a
(
x
y
)
< br>
b
(
y
x
)
c
(
x
y
)
③
因式分解的第三种类型：分组后提取公因式
3
3.
分解因式：
（
1
）
mx
my
nx
ny
（
2
）
2
< br>a
4
b
3
ma
6
mb
模块
4
：提公因式法的综合应用
类型
1
：利用提公
因式法进行简便计算
1.
利用简便方法计算：
（
1
）
3
.
2
200
.
9
4
.
7
200
.
9
200
.
9
2
.
1
（
2
）
36
.
< br>8
13
13
< br>13
20
< br>.
2
2
55
55
55
类型
2
：利
用提公因式法进行化简求值
1
（
2016
秋唐河县期末）已知：
a
b
2015
，
ab
3.
已知
a
b
4
，
< br>ab
2
，求多项式
4
a
b
4
ab
4
< br>a
4
b
的值。
2
5
3
4.
若
ab
1<
/p>
0
，用因式分解法求
< br>
ab
(
a
b
ab
b
)
的值
.
2
2016
，求
a
< br>2
b
ab
2
的值。
2015
2
2
6.
若
a<
/p>
a
1
0
，则
a
2
2016
a
2015
a
201
4
=
。
2
x
y
6
2
3
7.
不解方程组<
/p>
,
求
7
y
(
x
3
y
)
2
(
3
y
x
)
的值。
x
3
y
1
类型
3
：拔
高培优题型
8.
< br>(2015
杭州模拟
)
已知
(
19
x
31
)(
13
x
17
)
(
17
13
x
)(
11
x
23
)
可因式分解
成
(
ax
b
)(
30
x
c
)
，
其中<
/p>
a
、
b
、
c
均为整数，求
a
b
c
的值。
4
9.
已知多项式
x
2012
x
< br>
2011
x
2012
有一个因式为
x
<
/p>
ax
1
，另一
个因式为
x
bx
2012
，求
a
b
的
值。
< br>
4
2
2
2
10.
求证：
3
1
1.
已知
a
,
b
,
c
满足
a
b
a
b<
/p>
bc
b
c
ca
c
a
3
，求
(
a
1)(
b
1)(
c
1)
的值。（
a
,
b
,
c
都是正整数）<
/p>
2016
4
3
2015
10
3
2
014
能被
7
整除。
< br>
一、选择题
1.(2017
开县一模
)
当
a
,
b
互为
相反数时，代数式
a
2
ab
4
的值为（
）
A
、
4
B
、
0
C
、
3
D
、
4
<
/p>
2.
（
2016
秋乳山期末）边长为
a
,
b
的长方形周长为
12
，面积为
10
，则
a
2
b
ab
2
的值为（
）
A
、
120
B
、
60
C
、
80
D
、
40
3
.
（
2017
春蚌埠期末★）计算：<
/p>
(
2
)
2016
(
2
)
2017
所得
的结果是（
）
A
、
2
B
、
2
C
、
2
20
16
D
、
2
2016
4.
（
2017
春乐亭县期末）
(
8
)
2014
(
8
< br>)
2013
能被下列数整除的是（
）
A
、
3
B
、
5
C
、
7
D
、
9
5.
（
2017
春源城区校级月考）把多项
式
p
2
(
a<
/p>
1
)
p
(
1
a
)
分解因式的结果是（
）
A
、
(
a
1
)(
p
2
p
)
B
、<
/p>
(
a
1
)(
p
2
p
)
C
、
p
(
a
1
)(
p
1
)
D
、
p
(
a
1
)(
p
1
)
6.
（
2017
春阳谷县期末）把
x
n
3
x
n
1
分解因式得（
）
A
、
x
n
1
(
x
2
1
)
B
、
x
n
(
x
3
x
)
C
、
x
(
x
n
2
x
n
)
D
、
x
n
1
(
x
2
x
)
7.
（
2017
春北湖区校级期中）整式
a
2
(
a
2
1
)
a
2<
/p>
1
的值（
）
A
、不是负数
B
、恒为正数
C
、恒为负数
D
、结果的符号不确定
8.
（
2016
赵县模拟）若
ab
3
，
a
2
b<
/p>
5
，则
a
2
b
2
ab
2
的值是（
）
A
、
15
B
、
15
C
、
2
D
、
8
<
/p>
10.
（
2016
春临清市期末）计算
(
3
)
m
2
(
3
< br>)
m
1
，得（
）
A
、
3
m
1
B
、
(
3
)
m
1
C
、
(
<
/p>
3
)
m
1
D
、
(
3
)
m
11.
（
201
6
春深圳期末）若
a
b
3
，
ab
2
，则代数式
a
2
b
< br>
ab
2
的值为（
）
5
A
、
1
B
、
1
C
、
6
D
、
6
12
.
（
2016
秋美兰区校级期中）若<
/p>
a
b
5
，
c
2
，则
ac
bc
等于（
）
A
、
10
B
、
10
C
、
3
D
、
3
<
/p>
13.
（
2016
秋简阳市期中）如果多项式
mx
A
可分解为
m
(
x
y
)
，则
A
为（
）
A
、
m
B
、
my
C
、
y
D
、
my
1
4.
（
2016
春深圳期中）若
a
b
2
，
ab
3
，则
ab
a
b
的值为（
）
A
、
6
B
、
5
C
、
6
D
、
5
<
/p>
16.
（
2016
春锡山区校级月考）计算：
2
2014
(
2
)
2015
的结果是（
）
A
、
2
2015
2
2<
/p>
B
、
2
2014
C
、
2
2014
D
、
3
2
2014
17.
（<
/p>
2016
春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（
）
A
、
m
2
mn
m
m
(
m
n
1
)
B
、
9
abc
6
a
2
b
2
3
bc
(
3
2
ab
)
C
、
3
a
2
x
6
bx
3
x
3
x
(
a
2
2
b
)
D
、
1
2
1
2
1
ab
a
b
ab
(
a
b
)
2
2
< br>2
18.
（
2015
春杭州期末）
多项式
(
x
2
)(
2<
/p>
x
1
)
(
x
2
)
可以因式分解成
(<
/p>
x
m
)(
2
x
n
)
，
则
m
n
的值是
（
）
A
、
2
B
、
2
C
、
4
D
、
4
<
/p>
19.
（
2015
春莲湖区校级月考）把多项式
3
m
(
x
y
)
2
(
y
x
)
2
分解因式的结果是（
）
A
、
(
x
y
)(
3
m
2
x
2
y
)
B
、
< br>(
x
y
)(
3
m
2
x
2
y<
/p>
)
C
、
(
x
y
)(
3
m
2
x
2
y
< br>)
D
、
(
y
x
)(
< br>3
m
2
x
2
y
)
二、填空题
1.
（
2016
潍坊模拟）分解因式
：
a
b
6<
/p>
a
b
9
a
b
=
。
2.
（
2017
潍坊）因式分解：
x
2
x
(
x
2
)
=
。
6.
（
2017
春醴陵市期末）因式分解：
6
(
x
3
)
x
(
3
x
)
=
。
7.
（
2017
春碑林区校级期中）分解因式
2
m
(
m
n
)
8<
/p>
m
(
n
m
)
=
。
8.
（
2016
陕西校级三模）分解因式
:
(
3
a
b
)(
a
b
)
ab
b
=
。
9.
（
2017
沂源县一模）因式分解
(
a
b
)(
a
b
1
)
a
b
1
的结果为。
10.
（
2016
春寿光市期末）计算：
5652
0
.
13
4652
0
.
13
=
。
11.
（
2015
秋孟津县期末）简便计算：
121
0
.
13
12
.
1
0
.
9
1
.
21
12
=
。
2.
用提公因式法将下列各式分解因式：（
1
）
< br>(
a
b
)(
x
y
)
(
b
<
/p>
a
)(
x
y
)
（
2
）
2
2
2
2
4
3<
/p>
2
x
(
a
x
)(
a
y
)
y
(
x
< br>a
)(
y
a
)
6
公式法因式分解练习题
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情
况：
一、直接用公式
:
当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例
1
、
分解因式：
（
1
）
x
2
-
9
（
< br>2
）
9x
2
-6x+1
二、提公因式后用公式
:
当所给的多项式中有公因式
时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例
2
、
分解因式：
（
1
）
x
5
y
3
-x
3
y<
/p>
5
（
2
）
4x
3
y+4x
2
y
2
+xy
3
三、系数变换后用公式
:
当所给的多项式不
能直接利用公式法分解因式
,
往往需要调整系数
,
转换为符合公式的
形式
,<
/p>
然后再利用公式法分解
.
例
3
、
分解因式：
(1)4x
-25y
(2)4x
-12xy
+9y
四、指
数变换后用公式
:
通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全
平方式的形式
,
然后利公式法分解因式
,
应注意分解到每个因式都不能再分解为止
.
< br>
例
4
、
分解因式
:
(1)x
4
-81y
4
(2)16x
4
-72x
2
y
2
+81y
4
7
2
2
2<
/p>
2
4