(完整word版)精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
-
因式分解•提公因式法
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，
根据乘法分配律的逆运算，
可以把这个公因式提
到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分
配律。多项式的公因式的确定方法是：
(
1
)
当多
项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。
(
2
)<
/p>
系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多
项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1.
把下列各式因式分解
(
1
)
2 m 2
a x
abx
m 1
acx ax
m
m 3
(
2
)
a(a b)
3
2a
2
(b
a) 2ab(b
2
a)
分析
:
<
/p>
(
1
)
若多项式
的第
-
项系数是负数，
般要提出“一”号，使括号内的
第一
项系数是正数，在提出“
-
”号后，多项式的各项都要变号。<
/p>
2 m2
m 1
m
m3
m 2
3
解：
ax abx acx ax
ax (ax bx c x
)
(
2
)
有
时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当
n
为自然数时，
(
a
b)
2n
(b
a)
2n
;
(a b)
2n 1
(b
a)
2n 1
，是在因式分解过
解：
a(a
b)
3
2a
2
(b
a)
2
2ab(b
a)
a(a
b)
3
2a
2
(a
b)
2
2ab(a
b)
a(a
b)[(a b)
2
2a(a
b) 2b]
a(a
b)(3a 4ab
2
b
2
2b)
2.
利用提公因式法简化计算过程
例：计
算
123
器
268
456
器
521
器
1368
分析：算式中每一项都含有
987
1368
，可以把它看成公因式提取出来，再算出结
果
。
987
解：原式
-
(123
268 456 521)
1368
987
1368
987
3.
在多项式恒等变形中的应用
1368
2x y 3
5x 3y 2
例<
/p>
:
不解方程组
，求代数式
(2x y)(2x 3y) 3x(2x
y)
的
值。
分析：不要求解方程组，我们可以把
2x
y
和
5x
3y
看成整体，它们的值分
别是
3
和
2
，观察代数
式，发现每一项都含有
2x
y
，利用提公因式法把代数式
恒等变形，化为含有
2x
y
和
5x
3y
的式子，即可求出结果。
程中常用的因式变换。
(2x
y)(2x 3y) 3x(2x y) (2x y)(2x 3y 3x)
把
2x
y
和
5x 3y
分别为
3
和
2
带入上式，求得代数式
的值是
(2x y)(5x 3y)
6
。
例
2
•分解因式：
4q(1
p)
3
3
2
2( p
1)
2
4.
在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数
n
,
3
n
2
2
n 2
3
n
2
n
一定是
10
的倍
数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证
明每一项都是
倍数即可。
3
门
2
2
门
2
3
门
2
门
3
门
2
3
介
2
n 2
2
门
3
n
(3<
/p>
2
1)
2
n
(2
2
1)
10 3
n
5 2
n
对任意自然数
n
,
10
3
n
和
5 2
n
都是
10
的
倍数。
3
n
2
2
“
2
3
“
2
“
一定是
10
的倍数
5
、中考点拨：
例
1
。因式分解
3x(x 2)
(2 x)
解：
3x(x 2)
(2
x)
3x(x 2) (x 2)
(x 2)(3x
1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换
得到。
10
的
解：
4q(1 p) 2(p
1)
4q(1 p) 2(1 p)
3
2
2(1
P
)
2
[2q(1 p) 1]
2(1 p)
2
(2q 2pq 1)
说明：在用提公因式法分解因式前，
必须对原式进行变形得到公因式，
同
时一
定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例
1•
计算：
2000
20012001 2001
20002000
精析与解答：
设
2000
a
，则
2001 a 1
2000 20012001 2001 20002000
a[10000(a 1) (a 1)] (a 1)(10000a a)
a(a 1) 10001 a(a 1) 10001
a(a 1) (10001 10001)
0
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其
中
2000
、
2001
重复出现，又有
2001
2000
1
的特点，可通过设未知数，将复
杂数字间的运算转化为代数式，
再利用多项式的因式分解化简求值，
从而简化计算。
例
2.
已知
：
x
2
bx
c(
b
、
c
为整数
)
是
x
4
6x
2
25
及
3x
4
4x
2
28x 5
的公因式，求
b
、
c
的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求
比较麻烦。注意到
x
2
bx
c
是
3(x
4
6x
2
25)
及
3x
4
4x
2
28x 5
的因式。
x 2
，
5 x
都是大于
1
的自然数
b
、
c
,
< br>但
(x 2)(5
x)
是合数
说明：在大于
1
的正数中，除了
1<
/p>
和这个数本身，还能被其它正整数整除的数
叫合数。只能被
1
因而也是
(
3x
4
4x
2
28x
5)
的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二
次因式。
解：
x
2
bx
c
是
3(x
4
6x
2
25)
及
3x
4
4x
2
28x 5
的公因式
4
2
4
2
也是多项式
3(x 6x 25)
(3x 4x 28x
5)
的二次因式
4
2
4
2
2
而
3(x 6x 25)
(3x 4x 28x
5)
14(x 2x 5)
b
、
c
为整数
得：
x
2
bx c x
2
2x 5
b
2
,
c 5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式
14x
2
28x
70
,
从
2
而简便求得
x bx
c
。
例
3•
设
x
为整数，试判断
< br>10 5x x(x 2)
是质数还是合数，请说明理由。
解：
10 5x x(x 2)
5(2 x) x(x 2)
(x 2)(5 x)
和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.
分解因式：
(1)
4m
2
n
3
12m
3
n
2
2mn
(2)
a
2
x
n
2
abx
n
1
acx
n
adx
n 1
(
n
为正整数
)
(3)
a(a
b)
3
2a
2
(b
a)
2
2ab(b
a)
2
2
.
计算：
(
2)
11
(2)
10
< br>的结果是
(
)
J00
3.
x
A.
2
B.
2
C.
2
已知
、
y
都是正整数，且
x(x y) y(y x) 12
，求
x
、
y
。
7
9
13
4.
证明：
81
27
9
能被
45
整除。
2
1995
5.
化简：
1 x x(1 x)
x(1 x)
…
x(1
x)
，且当
x
0
时，求原式
D.
1
的值。
试题答案
1.
分析与解答：
(
1
)
4m
2
n
3
x
y 2
x
y 6
12m
3
n
2
2mn
2 2
x
4
y
2
2mn(2mn 6m n 1)
说明：
求不定方程的整数解，
经常运用因式分解来解决。
(2
)
a x
2 n
2
abx
. n 1
n
adx
n 1
acx
1
n
1
/
3
. 2
ax
(ax
bx
cx
d)
(3
)
原式
a(a
b)
3
2a
2
(
a b)
2
2ab(a b)
a(a
b)
2
[(a
b) 2a
2b]
a(a
b)
2
(3a
3b)
3a(a
b)
2
注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2. B
3.
x(x y) y(y x) 12
(x y)(x y) 12
x
、
y
是正整数
12
分解成
1
12
，
2
6
，
3 4
又
x
y
与
x
y
奇偶性相同，且
x y x y
2
4.
证明：
81
7
27
9
9
13
小
28
小
27
小
26
3
3
3
26
3 (9 3 1)
3
26
5
亠
24
亠
2
一
3
3
5
3
24
45
81
7
9
13
27
9
能被
45
整除
5.
解：逐次分解：原式
(1
x)(1
(1
x)
2
(1
(1
x)
3
(1
(1 x)
1996
当
x
0
时，原式
1
x)
x(1
x)
2
x)
…
x(1 x)
x)
x(1 x)
4
…
x(1
、
1995
x)
1995
…
x(1
199
5
x)
因式分解•公式法
【知识精
读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式
a
2
b
2
(a
b)(a
b)
完全平方公式
a
2
2ab
b
2
(a
b)
2
立方和、立方差公式
b
3
(a
b) (a
2 2
ab b )
补充：欧拉公式
:
a
3
b
3
c
3
3abc
(a b
c)(a b c
2 2
2
ab bc ca)
1
2
2
(
a b c)[(a
b)
2
(b
c)
2
(c
a)
2
]
特别地
:
(1
)
当
a
b c
0
时，有
a
3
b
3
c
3
3abc
(2
)
当
c
0
时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄
清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公
式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式
法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，
熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
F
面我们就来学习用公式法进行因式
分解
【分类解
析】
2
2
1•
把
a 2a b
2b
分解因式的结果是
A.
(a b)(a 2)(b
2)
B.
(a b)(a b
2)
C.
(a b)(a b) 2
D.
(a
2
2b)(b
2
2a)
2 2
a 2a 1 b
2b
2 2
1 (a 1) (b
1)
2 2
分析：
a 2a b
2b
。
再利用平方差公式进行分解，最后得到
(a b)(a b 2)
，故选择
B
。
说明：
解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的
形式。同时
要注意分解一定要彻底。
2.
在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等
方面的应用
3
2
例：已知多项式
2x x
m
有一个因式是
2x 1
，求
m
的值。
分析：由整
式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系
数法即可求出
m
的值。
解：根据已知条件，设
2x
3
x
2
m
(2x 1)( x
2
ax b)
3
2
2
则
2x x
m 2x (2a
1)x (a 2b)x b
2a
1
1
(1)
由此可得
a
2b
0
(2)
m
b
(3)
由
(
1
)
得
a
1
1
把
a
1
代入
(
2
)
，得
b -
2
1
1
把
b
-
代入
2
(
3
)
，得
m
—
2
3.
在几何题中的应用。
例：已知
a
、
b
、
c
是
ABC
的三条边，且满足
2 2 2
a b c ab bc ac
0
,
试判断
ABC
的形状。
分析：因为题中有
a
、
b
、
ab
，考虑到要用完全平方公式，
首先要把
ab
转成
2ab
。所以两边同乘以
2
,
然后拆开搭配得完全平方公式之和为
解。
解：
a
2
b
2
2
c
ab
bc
ac 0
2a
2
2b
2
2c
2
2ab
2bc
2ac 0
(a
2
2ab
b
2
)
(b
2
2bc
c ) (c 2ac a )
2 2 2
(a
b)
2
(b
c)
2
(c
a)
2
0
(a
b)
2
0
,
(b
c)
2
0
,
(c
a)
2
0
a
b 0
,
b
c
0, <
c a
0
a b c
ABC
为等边三角形。
4.
在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是
8
的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为
2n
1
，
2n 3
(
n
为整数
)
0
，从而得
0
则
(
2n
3)
2
(2n
1)
2
(2n
3 2n 1)(2n
3
2n 1)
2(4 n 4)
8(n
1)
由此可见，
(
2n
3)
2
(2n
1)
2
一定是
8
的倍数。
5
、中考点拨：
3
2
例<
/p>
1
：因式分解：
x 4xy
_____________
。
_
3 2 2 2
解：
x 4xy
x(x 4y ) x(x 2y)(x
2y)
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公
式分解彻底。
例
2
:
分解因式：
2x y 8x y
8xy
3
_________________
2
2
3
。
解：
2x
y 8x y 8xy 2xy(x 4xy 4y ) 2xy(x 2y)
3
2
2
3
2
2
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示
:
2
例
1.
已知：
a
1 m
1
,
b
討
,
c
2
3
,
求
a
2
2ab
b
2
2ac
c
2
2bc
的值。
2
解：
a
2
2ab b
2
2ac c
2
2bc
2
2
(a b) 2c(a b) c
(a b
c)
2
a
1
m
…
1
，
b
1
m
2
，
C
c
1
门
2
2
2
m 3
原式
(a
b c)
2
, 2
(
1
m 1)
(
1
m
2)
(
丄
m
3)
2 2
2
1
2
4
m
说明：本题属于条件求值问题
，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是
把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
3
3
3
例
2.
已知
abcO
,
a b c
0
，
求证：
a
5
b
5
c
5
0
可得
abc
0
,
即
a
0
或
b
0
或
c 0
若
a
0
，则
b
c
，
a
5
b
5
c
5
0
若
b
0
或
c 0
，同理也有
a
5
b
5
c
5
0
说明：利用补充公式确定
a
，
b
，
c
的值，命题得证。
证明：
a
3
b
3
c
3
3abc (a
b c)(a
2
b
2
c
2
ab bc ca)
3
, 3
3
把
a
b c
0
，
a b c
0
代入上式，
2 2 2
例
3.
< br>若
x
3
y
3
27
2
，
x xy
y
9
，求
x
y
的值。
解：
x
3
y
3
(x
y)(x
2
xy
y
2
)
27
且
x
2
xy
y
2
9
x y
3,
x
2
2xy
y
2
9
(1)
又
x
2
xy
y
2
9
(2)
两式相减得
xy
0
所以
x
2
y
2
9
说明：按常规需求出
x
，
y
的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，
简
化计算过程。
【实战模拟】
1.
(
1
)
(a
2)
2
3.
若
a
，
b
，<
/p>
c
是三角形的三条边，求证：
a
2
b
2
c
2
2bc
0
(3a
1)
2
分析与解答：由于对三角形而
言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就
需要把问题
解：原式
[(a 2)
(3a 1)][(a 2)
(3a 1)]
(4a 1)( 2a 3)
(4 a 1)(2a 3)
说明：把
a 2
,
3a
1
看成整体，利用平方差公式分解。
5
2
(2)
（
2
）
x
(x 2y) x
(2y
x)
解
:
原式
x
5
(x 2y)
x
5
2
(x
2
2y)
x
2
(x
2y)(x
3
1)
x (x 2y)(x
2 2
1)(x x
1)
(3)
（
3
）
a (x y) 2a(x
2 2
3
y)
(x
y)
4
2
解
:
原式
(x
y)
2
[a
2a(x
y)
(x
y)
2
]
(x y)
2
(a x
y)
2
1 1
2.
已知：
X
—
3
,
求
X
4
—的值。
x
x
丄
)
2
解：
(x
2
x
2
1
2
x
x
2
1
If
2
2 7
x
2
(x
x
x
2 ( 3)
2
1
2
(x
2
)
49
，
x
x
4
1
2 49
x
4
x
4
4
47
x
转化为两边差小于第三边求得证明。
证明：
a
2
b
2
c
2
2bc
a
2
(b
2
2bc
c
2
)
a
2
(b
c)
2
(a
b
c)(a
b
c)
a
，
b
，
c
是三角形三边
a b c 0
且
a b c
(a
b c)(a
b c) 0
即
a
2
b
2
2bc
0
4.
已知
:
< br>0
，求
2001
的值。
1)(
1)
0
,
即
3
2001
(
3
)
667
5.
已知
a
，
，
b
c
是不全相等的实数，且
(1
)
a b c
的值；
(
2
)
a(- b
1
abc
0
,
b
3
c
3
c(
」
-
）
a
b
3abc
，试求
的值。