初二因式分解竞赛例题练习题
-
张铭乾
2010-12-15
初二因式分解竞赛例题，练习题
一、提公因式法
.
二、运用公式法
.
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：从“整体”看，这个
多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，
这个多项式前
两项都含有
a
，
后两项都含有
b
，
因此可以考虑将前两项分为一组，
后两项分为一组先分
解，然后再考虑两组之间的联系。
< br>
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm
< br>bn
)
=<
/p>
a
(
m
n
)
b
(
m
n
)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n<
/p>
)(
a
b
)
思考：此题还可以怎样分组？
此类型
分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式
=
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
bx
)
原式
=
(
2
ax
bx
)
(
10
ay
5
by
)
=
2<
/p>
a
(
x
5
y
)
b
(
x
5
y
)
=<
/p>
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
< br>)(
x
5
y
)
练习：分解因式
1
、
a
2
ab
ac
bc
2
、
xy
x
<
/p>
y
1
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
x
2
y
2
ax
ay
分析：若将第一、三
项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，
所以只
能另外分组。
解：原式
=
(
x
2
y
2
)
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x<
/p>
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y<
/p>
)(
x
y
a
)
例
4
、分解因式：
a
2
2
ab
b
2
c
2
解：原式
=
(
a
2
2
ab
b
2
)
c
< br>2
=
< br>(
a
b
)
2
c
2
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
注意这两个例题的区别！
练习：分解因式
3
< br>、
x
2
x
9
y
2
3
y
4
、
x
2
<
/p>
y
2
z
2
2
yz
综合练习：
（
1
）
x
3
x
2
y
xy
2
y
3
（
2
< br>）
ax
2
bx
2
bx
ax
a
b
（
3
）
x
2
6
xy
9
y
2
16
a
2
8
a
1
（
4
）
a
< br>2
6
ab
12
b
9
b
2
4
a
（
5
）
a
4
2
a
3
a
2
9
< br>
（
6
）
4
a
2
x
4
a
2<
/p>
y
b
2
x
b
2
y
（
7
）
x
2
2
xy
xz
yz
y
2
（
8
）
a
2
2
a
b
< br>2
2
b
2
ab
1
（
9
）<
/p>
y
(
y
2
)
(
m
1
)(
m
1
)
< br>
（
10
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
< br>b
2
a
)
（
11
）
a
2
(
b<
/p>
c
)
b
2
(
a
c
)
c
2
(
a
b
)
2
abc
（
12
）
a
3
b
3
c
3
3
abc
四、十字相乘法
.
（一）二次项系数为
1
的二次三项式
< br>
直接利用公式——
x
2
(
p
q
)
x
pq
(
x
< br>
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：
（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数项是两个数的乘积；
（
3<
/p>
）一次项系数是常数项的两因数的和。
例
5
、分解因式：
x
2
5
x
6
分析
：将
6
分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于
< br>6=2
×
3=(-2)
×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(-6)
，从中可以发现只有
2
×
3
的分解适合，即
2+3=5
。
1 2
解：
x
2
5
x
6
=
x
< br>2
(
2
3
)
x
2
3
1 3
=
(
x
2
)(<
/p>
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：将常
数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系
数。
例
6
、分解因式：
x
2
7
x
6
< br>解：原式
=
x
2
[(
1
< br>)
(
6
)]
x
(
1
)(
6
)
1 -1
=
(
x
1
)(
x
6
)
1 -6
（
-1
）
+
（
-6
）
= -7
练习
5
、分解因式
(1)
x
2
14
x
24
(2)
a
2
15
a
36
(3)
x
2<
/p>
4
x
5
练习
6
、分解因式
(1)
x
2
x
2
(2)
y
2
2
y
15
(3)
x
2
10
x
24
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
2
< br>
bx
c
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
< br>
a
1
c
2
a
2
c
1
分解结果：
ax
2
bx
c
=
(
a
1
x
c
1
)(
a
2
x
c
2
)
例
7
、分解因式：
3
x
2
11
x
10
分析：
1 -2
3 -5
（
-6
）
+
（
-5<
/p>
）
= -11
解：
3
x
2
11
x
10
=
(
x
2<
/p>
)(
3
x
5
)
练习
7
、分解因式：
（
1
）
5
x
2
7
x
6
（
2
）
3
x
2
7
x
2
<
/p>
（
3
）
10
x
2
17
x
3
（
4
）
6
y
2
11
y
10
（三）二次项系数为
1
的齐次多项式
例
8
、分解因式：
a
2
8
ab
128
b
2
分析：将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：
a
< br>2
8
ab
128
b
2
=
a
2
[
8
b
(<
/p>
16
b
)]<
/p>
a
8
b
(
16
b
)
=
(
a
8<
/p>
b
)(
a
16
b
)
练习
8
、分解因式
(
1)
x
2
3
xy
2
y<
/p>
2
(2)
m
2<
/p>
6
mn
8
n
2
(3)
a
2
ab
6
b
2
（四）二次项系数不为
1
的齐次多项式
例
9
、
2
x
2
7
xy
6
y
2
例
10
、
x<
/p>
2
y
2
3
xy
2
1 -2y
把
xy
看作一个整体
1 -1
2 -3y
1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y
(-1)+(-2)= -3
解：原式
=
(
x
2
y
)(
2
x
3
y
)
解：原式
=
(
xy
1
)(
xy
2
)
练习
9
、分解因式：
（
1
）
15
x
2
7
xy
4
y
2
（
2
）
a
2
x
2
6
ax
8
综合练习
10
、
（
1
）
8
x
6
7
x
3
1
（
2
）
12<
/p>
x
2
11
xy
15
y
2
（
3
）
(
x
y
)
2
< br>3
(
x
y
)
10
（
4
）
(
a
b
)
2
4
a
4
b
< br>3
（
5
）
x
2
y
2
5
x
2
y
6
x
2
（
< br>6
）
m
2
4
mn
4
n
2
3<
/p>
m
6
n
2
（
7
）
x
2
4
xy
< br>4
y
2
2
x
4
y
3
（
8
）
5
(
a
b
)
2
23
(
a
2
b
2
)
10
(
a
b
)
2
（
9
）
4
x
2
4
xy
6
x
3
y
y
2
10
（
10
）
12
(
x
y
)
2
1
1
(
x
2
<
/p>
y
2
)
2
(
x
y
)
2
思考：分解因式：
abcx
2
(
a
2
b<
/p>
2
c
2
)
x
abc
五、主元法
.
例
11
、分解因式：
< br>x
2
3
xy
10
y
2
x
9
y
2
5 -2
解法一：以
x
为主元
2
-1
解：原式
=
x
2
x
(
< br>3
y
1
)
(
10
y
2
9
y<
/p>
2
)
(-5)+(-4)= -9
=
x
2
x
(
3
y
1
< br>)
(
5
y
2
)(
2
y
1
)<
/p>
1 -(5y-2)
=
[
x
(<
/p>
5
y
2
)][
x
(
2
y
1
)]
1 (2y-1)
=
(
x
5
y
< br>2
)(
x
2
y
1
)
-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) <
/p>
解法二：以
y
为主元
1 -1
解：原式
=
< br>
10
y
2
y
(
3
x
9
)
<
/p>
(
x
2
x
2
)
1 2
=
[
10
y
2
(
3
x
9
)
y
(
x
2
x
2
)]
-1+2=1
=
[
10
y
2
(
3
x
9
)
y
(
x
1
)(
x
2
)]
2
(
x
-1)
=
[
2
y
(
x
1
)][
5
y
(
x
2
)]
5
-(
x
+2)
=
(
2
y
x
1
)(
5
y
< br>x
2
)
5(
x
-1)-2(
x
+2)=(3
x
-9)
练习
11
、分解因式
< br>(1)
x
2
< br>y
2
4
x
6
y
5
(2)
x
2
xy
2
y
2
x<
/p>
7
y
6
(3)
x
2
xy
6
y
2
x
13
y
6
(4)
a
2
ab
6
b
2
5
a
35
b
36
六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对
Ax
2
< br>
Bxy
Cy
2
Dx
< br>Ey
F
型多项式的分解因式。