《提公因式法》初中数学中考专题复习
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初中数学中考专题复习
《提公因式法》
【目标】
1.
了解因式分解的意义
,
以及它与整式乘法的关系；
2
．
能确定
多项式各项的公因式，
会用提公因式法将多项式分解因式
.
【知识点整理】
知识点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分
解，也叫做把
这个多项式分解因式
.
知识点解析：
（
1
）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，
是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解
的结果只能是整式的积的形
式
.
（
2
）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为
止
.
（
3
）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混
淆
.
因式分解是一种恒等变形，
而整式乘法是一种
运算
.
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知识点二、公因式
多项式的各项中都
含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做
公因式
.
知识点解析：
（
1
）
公因式必须是每一项中都含有的因式
.
<
/p>
（
2
）公因式可以是一个数，也可以是一
个字母，还可
以是一个多项式
.
（
3
）公因式的确定分为数字系数和字
母两部分：①公
因式的系数是各项系数的最大公约数
.
②字母是各
项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
< br>.
知识点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因
，
即
除以
m
所得的
式
是
各
项
的
公
因
式
m<
/p>
，
另
一
个
因
式
是
，
而
正好是
商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
知识点解析：
（
1
）
提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（
2
）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式
各项的公因式
.
（
3
）
当多项式第一项的系数是负数时，
通常先提出
“—”
号，
使括号内的第一项的系数变为正数，
同时多项
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式的各项都要变号
.
（
4
）用提
公因式法分解因式时，若多项式的某项与公
因式相等或它们的和为零，
< br>则提取公因式后，
该项
变为：
“
＋
1
”或“－
1
”
，不要把该项漏掉，或认为
是
0<
/p>
而出现错误
.
【例题分类与解析】
一、因式分解的概念
例题
1
、观察下列从左到右的变形：
⑴
6
a
3
b
3
2
a
2<
/p>
b
3
ab
2
；
⑵
ma
mb
c
<
/p>
m
a
b
c
⑶
6
x
2
12
xy
6
y
2
6
x
y
；
⑷
3
a
2
b
3
a
2
b
9
a
2
4
b
2
其中是因式分解的有
（填序号）
【思路】
根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形
式，从对象和结果两
方面去判断．
【答案】
（
3
）
；
【解析】
解：
(1)
的左边不是多项式而是一个单项式，
(2)
(4)
的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
<
/p>
只有
(3)
的左边是多项式，
右边是整式的积的形式，
所以只有
(3)
是因式分解．
【总结】
因式分解是将多项式变成积的形式，
所以等式的左边必须是
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多项式，
将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．
等
式的
右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A
．
x
1
x
2
x
2
3
x
2
B
．
x
2
3
< br>x
2
x
1
x
2
<
/p>
C
．
x
2
4
x
4
x
x
4
< br>
4
D
．
x
2
y
2
< br>x
y
x
y
【答案】
B
；
例题<
/p>
2
、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明<
/p>
理由．
（
1<
/p>
）
a
(
x
y
)
ax
ay
；
（
2
）
x
2
2
xy
y
2
1
x
(
x
2
y
)
(
y
1)(
y
1)
；
（
3
）
ax
2
4
a
< br>a
(
x
2)(
x
2)
；
（
4
）
ab
2
a
b
2
；
1
1
（
5
）
a
2
2
< br>
a
．
a
a
2
2
1
2
1
2
【思路】
根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形
式，从对象和结果两方面去判断
.
【答案】
解：
因为
(1)(2)
的右边都不是积
的形式，
所以它们都不是因式分解；
(4)
的左边不是多项式而是一个单项式，
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(5)
中
的
1
1
、
都不
是整式，所以
(4)(5)
也不是因式分解，
< br>
a
2
a
只有
(3)
的左边是多项式，
右边是
整式的积的形式，
所以只有
(3)
是因
式分解．
【总结】
因式分解是将多项
式变成积的形式，
所以等式的左边必须是
多项式，
将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．
等
< br>式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列变形是因式分解的是
( )
A.
a
2
4
3
a
(
a
2)(
a
2)
3
a
B.
x
2
4
x
4
(
x
2)
2
C.
x
1
x
(1
)
D.
(
x
1
)(
x
1)
x
2
1<
/p>
【答案】
B
；
二、提公因式法分解因式
例题
1
、
(1)
多项式
3
x
2
6
xy
3
的公因式是
________
；
(2)
多项式
4
mn
3
16
m
2
8
m
的公因式是
______
__
；
(3)
多
项
式
x
(
b
c
a
)
< br>y
(
b
c
a
)
(
a
b
c
)
的
公
因
式
是
________
；
(4)
多项式
2(
x
< br>
3)
x
(3
x
)
的公因式是
________
．
1
x
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【答案】
(1)3
(2)4
m
(3)
b
c
a
(4)
x
3
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
<
/p>
(1)
的公因式就是
3
< br>、
6
、
3
的最大公约数，
最后的一项中不含字母，
所以公因式中也不含
字母．公因式为
3.
(2)
公因式的
系数是
4
、
16
、
8
的最大公约数，字母部分是
m<
/p>
．公
因式为
4
m
.
(3)
公因式是（
b
c
a
）
，为一个多项式因式．
(4)
多项式可变形
2
x
3
x
x<
/p>
3
，其公因
式是
x
3
．
【总结】
确定公因式一定要从系数、
字母及指数三方面入手，公因式
可以是一个数，也可以是一个单
项式，还可以是一个多项式，互为相
反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（
）
A
．
x
2
y
B
．
x
2
2
x
C
．
x
<
/p>
y
2
D
．
x
<
/p>
xy
y
2
【答案】
B
；
例题
2<
/p>
、若
p
q
q
p
q
< br>p
E
，则
E
是（
）
A
．
1
q
p
B
．
1
p
q
D
．
1
q
p
q
p
C
．
【答案】
C
；
【解析】
2
3
2
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解：
<
/p>
p
q
q
p
q
p
1
p
q
．故选
C
．
【总结】
观察等式的右边，提取的是
q
<
/p>
p
，故可把
p
q
变成
2
2
即左边＝
q
p
1
p
q
.
注意偶次幂时，
交换被减数和减数
q
p
，
2
2
2
3
2
的位置，
值不变；
奇次幂时，
交换被减数和减数的位置，
应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式
m
1
m
< br>
1
m
1
提取公因式
m
1
后，余下的部
分是（
）
A
．
m
1
B
．
2
m
C
．
2 D
．
m
2
【答案】
D
；
解：
m
<
/p>
1
m
1
m
1
，
＝
< br>m
1
m
1
1
，
＝<
/p>
m
1
m
2
．
例题
3
、分
解因式：
(1)
2
< br>a
2
4
a
；
(2)
6
a
2
b
3
6
ab
2<
/p>
c
4
ab
3
；
(3)
2
a
3
b
2
6
a
2
b
< br>2
ab
；
【思路】
本题
3
个小题的公因式分
别是
2
a
,
2
ab
2
,
<
/p>
2
ab
，提取出公因式
< br>后，余下的另一个因式用原多项式除以公因式而得到．
【答案】
解：
(1)
2
a
2
4
a
2
a
(
a
2)
．
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6
a
2
b
3
6
ab
2
c
4
ab
3
2
ab
2
(3
ab
3
c
2
b
)
．
(3)
2
a
3
b
2
6
a
2
b
2
ab
2
ab
(
a
2
< br>b
3
a
1)
．
【总结】
(1)
在因式分解时，
“
1
”单独成一项时，不能漏掉，更不能
省去不写．
(2)
多项式的第一项系数是负
数时，一般要提出“－”号，
使括号内的第一项是正的，
在提出
“－”
号时，
多项式的各项要变号．<
/p>
举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（
）
A
．
12
abc
<
/p>
9
a
2
b
2
c
2
3
abc
4
3
ab
B
．
3
< br>x
2
y
3
xy
6
y
3
y
<
/p>
x
2
x
2
y
C
．
a
2
ab
ac
< br>a
a
b
c
D
．
x
2
y
5
xy
y
y
x
2
5
x
【答案】
C
；
解：
A.
12
abc
9
a
2
b
2
c
2<
/p>
3
abc
<
/p>
4
3
abc<
/p>
，故本选项错误；
< br>B.
3
x
2
y
3
xy
6
y
3
y
x
2
x
2
，故本选项错误；
C.
a
2
ab
ac
a
a
b
c
，正确；
D.
x
2
y
5
xy
y
y
x
2
5
x
1
，故本选项错误．
例题
4
、下列因式分解变形中，正确的是（
）
A
．
ab
a
b
a
b
a
a
b
a
b
1
B
．
6
m
n
2
m
n
< br>
2
m
n
3
m
n
<
/p>
1
C
．
3
y
x
2
x
< br>y
y
x
3
y
3
x<
/p>
2
2
2
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D
．
3
x
x
y
x
y
< br>
x
y
2
x
y
【答案】
A
；
【解析】
解：
A.
ab
a
b
a
b
a
a
b
a
b
1
，正确；
B.
6
m
n
2
m
n
2
m<
/p>
n
3
m
3
n
1
，故本选项错误
；
C.
3
y
x
2
x
y
y
x
< br>
3
y
3
x
2
，故本选项错误；
D.
3
x
x
y
x
y
x
<
/p>
y
3
x
2
3
xy
1
，故本选项错误．
2
2<
/p>
2
2
2
【总结】
解题的关键是正确找出公因式，
提取公因式后注意符号的变
化．找公因式的要点是：
（
1
）公因式的系数是多项式各项系数的最大
公约数；
（
2
）字母取各项都含有的相同字母；
（
3
）相同字母的指数取
次数最低的．<
/p>
举一反三：
【变式】下列因式分解正确的是（
）
A
．
2
a
2
3
ab
a
a
2
a
3
b
B
．
2
R
2
r
< br>
2
R
2
r
C
．
x
2
2
x
x
x
2
D
．
5
x
4<
/p>
25
x
2
5
x
2
x
2
5
【答案】
D
；
解：
A.
2
a
2
3
ab<
/p>
a
a
2
a
3
b
1
，故本选项错误；
B.<
/p>
2
R
2
r
2
R
r
，故本选项错误；
C.
x
2
2
x
x
x
2
，故本选项错误；
D.
5
x
4
25
x
2
5
x
2
x
< br>2
5
，正确．
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三、提公因式法分解因式的应用
例题
1
、若
x
2<
/p>
3
x
2
0
，求
2
x
3
6
x
2
< br>4
x
的值
.
【答案】
解：
由
x<
/p>
2
3
x
2
0
，得
x
2
3
x
2
< br>
2
x
3
6
x
< br>2
4
x
2
x
x
2
3
x
4
x
2
x
2
4
x
< br>
0
.
【总结】
条件求值要注意观察代数式的结构，
2
x
3
6
x
2
2
x
x
2
3
x
，
这样
就能由已知整体代入求值了
.
例题
2<
/p>
、若
a
、
b
、
c
为
ABC
的三边长，且
a
b
b<
/p>
a
b
a
a
c
a
b
a
c
，
则
AB
C
按边分类，
应是什
么三角形？
【答案】
解：∵
a
b
b
a
b
a
a
< br>c
a
b
a
c
∴
a
b
b
a
a
b
< br>
a
c
a
b
c
a
a
b
b
a
c
a
a
b
当
a
b
时，等式成立，
< br>
当
a
b
时，原式变为
a
b
a
c
，得出
b
c
，
∴
a
b
或
b<
/p>
c
∴
ABC
是等腰三角形
.
【总结】
将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，
从而判定三
角形的类型
.
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例题
3<
/p>
、对任意自然数
n
（
n
＞
0
）
，
2
n
4<
/p>
2
n
是
30
的倍数，请你判定一
下这个说法的正确性
，并说说理由
.
【答案】
解：
2
n
4
2
n
2
n
2
4
2
n
2
n
<
/p>
2
4
1
15
2
n
∵
n
为大于
0
的自然数，
∴
2
n
为偶数，
15
×
2
n
为
30
的倍数，
即
2
n
4
2
n
是
30
的倍数
.
【总结】
判断
2
n
4
2
n
是否为
30<
/p>
的倍数，只需要把
2
n
< br>
4
2
n
分解因式，
看分解后有没有能够整除
30
的因式
.
举一反三：
【变式】说明
3
200
4
3
199
10
3
198
能被
7
整除
.
【答案】
解：
3
200
4
3
199
10
3
198
3
198
3
2
4
3
10
7
3
198
所以<
/p>
3
200
4<
/p>
3
199
<
/p>
10
3
198
能被
7
整除
.
例题
4
、已
知
x
y
<
/p>
1,
xy
2<
/p>
，求
x
3
y
3
x
2
y
2
xy
3
的值
.
【思路】<
/p>
本题利用因式分解及等式变形，将已知条件
x
y
1,
xy
2
整
体代入求值
.
【答案】
解：
x
3
y
3
x
2
y
2
xy
3
xy
x
2
3
xy
y
2
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