(完整word版)因式分解的16种方法
-
Fpg
因式分解の
16
種方法
因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹
了
提公因式法
、
公式法
。而在競賽上，又
有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，
雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱
多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除
法，除法等。
注意三原則
1
分解要徹底
2
最後結果只有小括弧
3
最後結果中多項式首項係數為正
（例如：
3
x
2
x
x
3
x
1
）
分解因式技巧
1.
分解因式與整式乘法是互為逆變
形。
2.
分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式；②分解
因式の結果必須是以乘積の形式表示；
③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多
項式の次數；
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注：分解因式前先要找到公因式，
在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。
基本方法
⑴提公因式法
各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。
如果一個多項式の各項有公因式，
可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積
の形式，這種分解因式の方法
叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の
相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。
如果多項式の第一項是負の，一般要提出“
-
”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“
-
”
號時，多項式の各項都要變號。
提公因式法基本步驟：
（
1
）找出
公因式；
（
2
）提公因式並確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因
式の方法先確定係數在確定字母；
②第二步提公因式並確定另
一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得
の商即是提公因式後
剩下の
一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，
求の剩下の另一個因式；
③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。
口訣：找准公因式，一次要提淨；
全家都搬走，留
1
把家守；提負要變號，變形看奇偶。
例如：
-am+bm+cm=-m(a-b-c)
；
a(x-y)+b(y-x)=a
(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
。
注意：把
2
a
2
+
1
1
變成
2(
a
2
+
)
不叫提
公因式
2
4
⑵公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種
方法叫公式法。
平方差公式：
a
2
b
2
=(a+b)(a-b)
< br>；
完全平方公式：
a
2
±
2ab
＋
b
2
＝
a
b
2
Fpg
Fpg
注意：能運用完全平方公式分解因
式の多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數
(
或式
)
の
平方和の形式，另一項是這兩個數
(
或式
)
の積の<
/p>
2
倍。
立方和公式：
a
3
b
3
=(a+b)(
a
2
-ab+
b
2
)
；
立方差公式：
a
3
b
3
=(a--b)(
< br>a
2
+ab+
b
2
)
；
完全立方公式：
< br>a
3
±
3
a
2
b
＋
3
a
b
2
±
b<
/p>
3
=(a
±
b
)
2
．
公式：
a
3
+
b
3
+
c
3
-3abc=(a+b+c)(
a
2
+
b
2
+
c
2
-ab-bc-ca)
例如：
a
2
+4ab+4
b
2
=(a+2b)
2
。
⑶分組分解法
分組分解是解方程の一種簡潔の方法，我們來學習這個知識。
能分組分解の方程有四項或大於四
項，一般の分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把
ax
和
ay<
/p>
分一組，
bx
和
by
分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1.
5ax+5bx+3ay+3by
解法：
=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把
5ax
和
5bx
看
成整體，把
3ay
和
3by
看
成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。
2. x
3
-
x
2
+x
-1
解法：
=( x
3
-
x
2
)+(x-1)
=
x
2
(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(
x
2
+1)
利用二二分法，提公因式法提出
x2
，然後相合輕鬆解決。
3.
x
2
-x-y
2
-y
解法：
=
(
x
2
-y
2
)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用
二二分法，再利用公式法
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
，然後相合解決
。
⑷十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①
x
2
+(p+q)x+pq
型の式子の因式分解
這類二次三項式の特點是：二次項
の係數是
1
；常數項是兩個數の積；一次項係數是常數項の兩<
/p>
個
因
數
の
和
。
因
此
，
可
以
直
接
將
某
些
二
次
項
の
係
數
是
1
の<
/p>
二
次
三
項
式
因
式
分
解
：
x
2
+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
．
②
k
x
2
+mx+n
型
の式子の因式分解
如果有
k=ac
，
n=b
d
，且有
ad+bc=m
時，那麼
kx
2
+mx+n=(ax+b)(cx+
d)
．
圖示如下：
a d
例如：因為
1 -3
×
×
c d 7
2 -3
×
7=-21
，
1
×
2=2
，且<
/p>
2-21=-19
，
所以
7<
/p>
x
2
-19x-6=(7x+2)(x-
3)
．
十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中
⑸裂項法
這種方法指把多項式の某一項拆開或填補上互為相反數の兩項（或幾項）
，使原式適合於提公因
Fpg
Fpg
式法、運用公式法或分組分解法進行分解。這鐘方法の實質是分組分解法。要注意，必須在與原多
項式相等の原則下進行變形。
例如：
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
．
⑹配方法
對於某些不能利用公式法の多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公
式，
就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法の一種特殊情況。也要注
意必須在與原
多項式相等の原則下進行變形。
例如：
x
2
+3x-40
=
x
2
+3x+2.25-42.
25
=
x
1
.
5
6
.
5
=(x+8)(x-5)
．
2
2
⑺應用因式定理
對於多項式
f(x)=0
，如果
f(a)=0
，
那麼
f(x)
必含有因式
x-a
．
例
如
：
f(x)=
x
2
+5x+6
，
f(-2)=0
，
則
< br>可
確
定
x+2
< br>是
x
2
+5x+6
の
一
個
因
< br>式
。
(
事
實
上
，
x
2
+5x+6=(x+2)(x+3)
．
)
注意：
1
、對於係數全部是整數の多項式，若
X=q/p
（
p,q
為互質整數時）該多項式值為零，則
q
為常數項約數，
p
最高次項係數約數；
2
、對於多項式
f(a)=0,b
為最高次項係數，
c
為常數項，則有
a
為
c/b
約數
⑻換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中の相同の部分換成另一
個未知數，然後進行因式分解，
最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。
注意
:
換元後勿忘還元
.
例如在分解
(
x
2
+x+1)(
x
2
+x+2)-12
時，可以令
y=
x
2
+x
,
則
原式
=(y+1)(y+2)-12
=y
2
+3y+2-12=y
2
+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(
x
2
+x+5)(
x
2
+x-2)
=(
x
< br>2
+x+5)(x+2)(x-1)
．
< br>
⑼求根法
令多項式
f(x)=0,
求出其根為
< br>x1
，
x
，
x3
，……
xn
，
則該多項式可分解為
f(x)=(x-x1)(x-
x2)(x-x3)
……
(x-xn)
．
例如在分解
2x^4+7x^3-2x^2-13x+6
時，令
2x^4 +7x^3-2x
2
-13x+6=0
，
則通過綜合除法可知，該方程の根為
0.5
< br>，
-3
，
-2
< br>，
1
．
所以
2x
^4+7x^3-2
x
2
-13x+6
=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
．
⑽圖象法
令
y=f(x)
，做出函數
y=f(x)
の圖象，找到函數圖像與
X
軸の交點
x1 ,x2 ,x3
,
……
xn
，則多項式可
因式分解為
f(x)=
f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
……
(x-
xn)
．
與方法⑼相比，能避開解方程の繁瑣，但是不夠準確。
例如在分解
x^3 +2
x
2
-5x-6
時，可以令
y=x^3; +2
x
2
-5x-6.
作出其圖像，與
x<
/p>
軸交點為
-3
，
-1
，
2
則
x^3+2
x
2
-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
．
⑾主元法
先選定一個字母為主元，然後把各
項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
⑿特殊值法
Fpg