运用平方差公式分解因式
-
14
．
3
因式分解
第
1
课时
提公因式法
教学目标
1
．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系．
2
．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式
．
教学重点
会用提公因式法分解因式．
教学难点
正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．
教学设计
一师一优课
一课一名师
(
设计者：
)
教
学<
/p>
过
程
设
计
一、创设情景，明确目标
同学们，我们先来看下面两个问题：
1
．
630
能被哪些数整除，说说你是
怎么想的？
(2
，
< br>3
，
5
，
7
，
9
，
1
0
等
)
2
2
2
．当
a
＝<
/p>
101
，
b
＝<
/p>
99
时，求
a
－
b
的值．
对
于问题
1
我们必须对
630
进行质因数分解，
对于问题
2
，
虽然可以直接代值进行计算，
但有没有简单的方法使计算
变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题．
二、自主学习，指向目标
自学教材第
114
页至
115
页，思考下列问题：
1
．把一个
多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分
解
2
．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变
形的关系．
3
．公因式确定的方法是
：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含
有的字母；③因式的指数取
最低次数．
三、合作探究，达成目标
探究点一
因式分解的定义
活动一：
填空并观察：
(1)
计算：
x(x
＋
1)
＝
________
；
(x
＋
1)(x
－
1)<
/p>
＝
________.
(2)
请你将下列各式写成乘积的形式：
2
①
x
＋
x
＝
________
；
<
/p>
2
②
x
－
1
＝
________
；
③
am
＋
bm
＋
cm
＝
________.
展示点评：
把
一个多项式化为几个整式的积的形式，
叫做把这个多项式因式分解，
也叫
做把这个多项式分解因式．
小组讨论：
因式分解与整式乘法有什么关系？
反思小结：
因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，
整式乘法是几个整式的积到
一个多项式的变形，它们之间是互逆变形．
针对训练：
见《学生用书》相应部分
探究点二
公因式
活动二：
填空：
①
6
与
9
的最大公约数是
________
；
②多项式
ma
＋
mb
＋
mc
的公因式是
________
．
展示
点评：
公因式的定义：
组成多项式的各项都有一个公共的因式，
叫做这个多项式各
项的公因式．
小组讨论：
归纳确定公因式的方法
<
/p>
【反思小结】
确定公因式的方法：
(1)
公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
(2)
因式取各项相同的因式；
(3)
因式的指数取次数最
低的
针对训练：
见《学生用书》相应部分
探究点三
提取公因式法分解因式
活动三：
1.
把多项式
ma
＋
mb
＋
mc
写成两个整式积的形式是：
ma
＋
m
b
＋
mc
＝
m
(a
＋
b
＋
c
)
，
其中
m
是
组成多项式各项的公因式，另一个因式
a
＋
b
＋
c
是
ma
＋
mb
＋
mc
除以
m
所得的商
< br>
2
．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把
这个公因式提取出来，将多项式
写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法
叫做提取公因式法．
3
．分解因式：
3
2
3
(1)8a
b
＋
12ab
c
；
(2) 2a(b
＋<
/p>
c)
－
3(b
＋
c)
小组讨论：
应用提取公因式法分
解因式时，其关键是什么？
另一个因式如何确定？
展示点评：<
/p>
关键是确定公因式；
另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式
所得的商
解答过程见课本
P
115
例
1
，例
2
【反思小结】
(1)
应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的
字母、指数；<
/p>
(2)
当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与
1
的乘积，提取公因
式后剩下的应是
1
，
1
作为项的系数时
可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因
式后的项数应与原多项式的项数相等
，这样可以检查是否漏项．
(3)
提取公因式时应先观察
第一项系数的符号，
或是负号时应用添括号法则提出负号，
此时一定要把每一项都变号，
然
后再提取公因式．
针对训练：
见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1
．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法
< br>因式分解；
2
．确定公因式的方法．
3
．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不
要漏项；②
分解结果到每个因式不能再分解为止．
五、达标检测，反思目标
1
．下列各式从左到右的变形为因式分解的是
(
C
)
2
2
2
A
．
(a<
/p>
－
2)(a
＋
2
)
＝
a
－
4
B
．
m
－
1
＋
n
＝
(m
＋
1)(n
－
1)
2
C
．
8x
－
8
＝
8(x
－
1) D
．
x
－<
/p>
2x
＋
1
＝
x(x
－
2)
＋<
/p>
1
3
2
3
2
．多项式
8a
b
－
12ab
c
＋
16ab
的公因式是
__
4ab
__
．
3
．把下列各式因式分解：
互逆变形
(1)a(a
－
3)
＋
2(3
－
a)
解：原式＝
a
(
a
－
3
)
－
2
(
a
－
3
)
＝
(
a
－
3<
/p>
)(
a
－
2
)
(2)9a
b
－
6a
b
－
3
a
b
2
2<
/p>
解：原式＝
3a
b
(
3b
－
2a
－
1
)
(3)
－
6x
－
10x
< br>－
2x
2
解：原式＝－
2x
(
3x
＋
5x
＋
1
)
(4)a(y
－
z)
－
4b(z
－
y)
< br>解：原式＝
a
(
y
－
z
)
＋
< br>4b
(
y
－
z
)
＝
(
y
－
z
)(
a
＋
4b
)
4
．先因式分解再求值：
5x(m
－
2)
＋
4x(2
－
m)
，其中
x
＝
0.4
，
m
＝
5.5.
解：原式＝
(
m
－
2
)(
5x
－
4x
)
＝
x
< br>(
m
－
2
)
＝
0.4
(
5.5
－
2
)
＝
0.4
×
3.5
＝
1.4
< br>
●
布置作业，巩固目标教学难点
1
．上交作业：课本第
119
页
1
、
4(1)
．
2
．课后作业：见《
学生用书》
．
3
2
2
3
3
2
2
2
第
2
课时
平方差公式
教学目标
1
．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解
因式．
2
．掌握利用平方差公式因式
分解的步骤．
教学重点
应用平方差公式分解因式．
教学难点
灵活应用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求．
教学设计
一师一优课
一课一名师
(
设计者：
)
教
学<
/p>
过
程
设
计
一、创设情景，明确目标
2
2
2
2
问题
1
：看谁算得最快：①
98<
/p>
－
2
；②已知
x
＋
y
＝
4
，
x
－
y
＝
2
，则
x
－
y
＝
________
.
2
2
问题
2
：
你能将多项式
x
< br>－
4
与多项式
y
－
25
分解因式吗？这两个多项式有什么共同的
特点吗？
你可以把这两个多项式写成两个因
式积的形式吗？今天我们就来学习利用平方差公式
分解因式．
二、自主学习，指向目标
自学教材第
116
页至
117
页，思考下列问题：
1
．观察平
方差公式：
a
－
b
＝
(a
＋
b)(a
－
b)
的项、指数、符号有什么特点？
(1)
左边是二次二项式，每项都是平方的形式，两
项的符号相反
.
(2)
右边是两个
多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差．
2
．乘法公式的平方差公式与因式分解的平方差公式的联系是互逆变形．
三、合作探究，达成目标
探究点一
探究平方差公式
活动一：
1.
平方差
(
分解因式<
/p>
)
公式：
a
－
b
＝
(a
＋<
/p>
b)(a
－
b)
，即：两个数的平方差，等
于这两个数的和与这两个数的差的积．
展示点评：
公式特征
(
与乘法公式正好相反
):
左边是两数的平方差，
右边是这两数的和
乘以这两数差的形式．
(
因此叫平方差公式
)
小组讨论：
运用平方差公式的条件有哪些？
【反思小结】
运用平方差公式的条件：
(1)
多项式是二项式，且两项符号相反
(
可转化为差的形式
)
；
(2)
两项的绝对值分别可化为一个数
(
整式
)
的平方的形式
．
针对训练：
见《学生用书》相应部分
探究点二
应用平方差公式因式分解
活动一：
分解因式
< br>2
(1)4x
－
9
；
2
2
< br>(2)(x
＋
p)
－
(x
＋
q)
.
解答过程见课本
P
116
例
3
例
3
分解因式
4
4
(1)x
－
y
；
3
(2)a
b
－
ab.
展示点评：
一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎么做？
展示点评：
(
继续分解到不能再分解为止
)
小组讨论：
归纳分解因式的一般步骤．
解答过程见课本
P
116
例
3
反思小结：
1.
分解因式的一般步骤：
一提二套三分组即先看有没有公因式，
若有提出公
因式，再看能不能运用公式，若能运用公式进行分解；若不
能则考虑分组，分组的原则：①
分组后有公因式可提；②分组后有公式可套
. 2.
公式中的
“a”
，
“
b
”可表示单项式也可表示
多项式；若表示多项式，应将多项式用括号括起来
.3.
分解因式必须进行到每一个多项式因
式都不能再分解为止．
针对训练：
见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1
．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式
2
．对于多项式的因式分解要注意：
①如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式
②如果多项式各项没有公因式，则第一步是考虑用公式分解因式
③第一步分解因式后，
所含的多项式还可以继续分解，
则需要进一步分解因式，
直到每
个多项式因式都
不能再分解为止
五、达标检测，反思目标
1
．下列多项式中，能否用平方差分解因式？
2
2
2
2
(1)
x
－
xy
；
(2)x
＋
xy
；
(3)x
＋
y
；
(4)x
－
y
；
解：
(
1
)
不能<
/p>
(
2
)
不能
(
3
)
不能
(
4
)
能
2
2
2
2