新人教版初中八年级数学上册因式分解导学案
-
14.3
因式分解
14.3.1
提公因式法
学习目标：
通过你对本节课的学习，
相信你一定能理解公因式概念，能确定多项式各项的
公因式，会用提公因式法把多项式分
解因式。
学习重点：
掌握用提公因式
法把多项式分解因式。
学习重点：
掌
握用提公因式法把多项式分解因式。
课前预习
把一个
化
成几个
整式
的
的形式的变形叫做把这个多项式
因式分
解
，也叫
分解因式，
因式分解与整式的乘法是<
/p>
的变形。
1
、下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（
1
）
2x2+4=2
（
x
2+2
）
；
（
2
）
2t<
/p>
-3t+1=
(2
t
3
t
t
)
（
3
）
x
+
4xy
－
y
=x
（
x+4y
）－
y
< br>；
（
4
）
m
（
x+y
）
=mx+m
y
；
（
5
）
x
－
2xy+y
=
（
x
－
y
）
2
、一块
场地由三个长方形组成，它们的长分别为
积
.
2
2
2
、
2
2
2
2
1
t
3
2
3<
/p>
3
7
1
，
，
，宽都是
,
求这块
场地的面
4
2
4
2
1
3
1
3
1
7
3
3
7
×
+
×
+
×
=
+
+
=2
2
4
2
2
2<
/p>
4
8
4
8
1
3
1
3
1
7
1
1
解法二：
S
=
×
+
×
+
×
=
（
+ +
）
=
×
4=2
2
4
2
2
2
4
2
2
解法一：
S
=
从上面的
解答过程看，解法一是按运算顺序：
先算乘，再算和进行的，
解
法二是先逆用
分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些
< br>.
这个事实说明，有时我们需要将
多项式化为积的形式，
而
提取公因式
就是化积的一种方法
.
1
、公因式与提公因式法分解因式的概念
.
将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为
a
、
b
、
c
，宽都是
m
，则这块场地的面积
为
ma
+
mb
+
mc
,
或
m
（
+ +
），可以用等号来连接
.
ma
+
mb
+
mc
=
m
（
+
+
）
上面的等式，左边的每一项都含有因式
，等式右边是
m
与多项式（
）的乘
积，从左边到右边是分解因式
.
由于
m
是左边多项式
< br>ma
+
mb
+
< br>mc
的各项
ma
、
mb
、
mc
的一个公共因式
，
因此
m
叫做这个多
< br>项式的各项的
.
由上式可知，把多
项式
ma
+
mb
+
mc
写成
m
与（
）的乘积的形式，相当于把公
因式
m
从各项中提出来，
< br>作为多项式
ma
+
mb
+
mc
的一个因式，
把
m
从多项式
ma
+
mb
+
mc
各项中
提出后形成的多项式（
），作为多项式
ma
+
mb
+
mc
的另一个因式，这种分解因
式
的方法叫做
法
.
1
1
、公因式
：如多项式：
ma
mb
mc
的各项都有一个
，我们把这个
叫做这个多项式的
。
2
、提公
因式法
：如果一个多项式的各项含有
，那么就可以把这个公因式
，从
而将多项式化成两个因式
形式，这种分解因式的方法叫做提
．
课内探究
例
1
、
请同学
们指出下列各多项式中各项的公因式：
ax
< br>+
ay
+
a
3
mx
-6
mx
2
4
a
2
+10
ah
4
x
2
－
8
x
6
x
2
y
+
xy
2
12
< br>xyz
-9
x
2
y
2
16
a
3
b
2
－
4
a
3
b
2
－
8
ab
< br>4
通过以上学习探究活动，总结一下
最大公因式
< br>的方法：
①一看
系数
：公因式的系数取各项系数的
；
②二看
字
母
：公因式字母取各项
的字母，
③三看
指数
：公因式字母的指数取相同字母的最
次幂．
例
2
、
将下列多项式分解因式
3
2
2
⑴
8a
b
+12ab
c
⑵
2a
（
b
+c
）
-3
（
b+c
）
3
3
2
⑶
3x
-6xy+3x
⑷
-4a
+16a
-18a
2
3
2
2
例
3
、将下列多项式分解因式
3a
（
x
－
y
）
－
4b
（
y
－
x
）
【思路点拨】
观察所给多项式
可以找出公因式
（
y
－
x
）
或
（
x
－
y
）
，
于是有两种变形，
（
x
－
y
）
=
< br>－（
y
－
x
）
和（
x
－
y
）
=
（
y
－
x
）
，从而
得到下面两种分解方法．
解
法
1
：
3a
（
x
－
y
）
－
4b
（
y
－
x
）
解法
2
：
3a
（
x
－
y
）
－
4b
（
y
－
x
）
练习：
1
课本
P
115
练习
1
、
2
、
3
、
2
2
3
2<
/p>
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
、简便计算：
< br>123×
987
987
987<
/p>
+264×
-387
×
< br>
1368
1368
1368
注意：
1
、利用提公因式法因式分解，关键是找准
．
•
在找最大公因式时应注
意：
2
、因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为
止．
当堂检测
2
1
、
把多项式
m
（
a-
2
）
+m
（
2
-a
）分解因式等于（
）
2
2
A
、
(a-2)
（
m
+m
）
B
、
(a-2)
（
m
-m
）
C
、
m(a-2)
（
m-1<
/p>
）
D
、
m(a-2)
（
m+1
）
2
、把多项式（
1+x
）
（
1-x
）
-
（
x-1
）
提公因式（
x-1
）后，余下的部分是（
）
A
、
（
x
+1
）
B
、
-
（
x+1
）
C
、
x D
、
-
（
x+2
）
3
、填空，分解因式：
2
（
1
）
< br>3mx-6my=
；
15a
+5a=
；
2
2
2
2
（
2
）
12xyz-9x
y
=
；
x
y+xy
-xy=
；
（
3
）
1
2
3
2
a
-21a =
；
-3ma
+6ma
-12ma =
；
2
3
3
2
2
2
2
2
2
4
、把下列各式分解因式：
(1) -x
y
-x
y
-xy (2)
p(a
+ b
)- q(a
+
b
)
2
2
2 <
/p>
（
3
）
x
（
a-b
）
-y
（
b-a
）
（
4
）
a
（
x-3y
）
- b
（
3y-x
）
5
、计算：
2
、<
/p>
186
×
1
、<
/p>
237-1
、
237
×
1
、
186
2
2
6
、已知
x+y=6
，
xy=4
，则
x
y+xy
的
值为
7
、习题
14
、
3P
119
第
1
< br>题。
3
课后反思
课后训练
2004
2003
101
100
1
、利用分解因式计算：（
1
）
3
－
3
;
（
2
）（
－
2
）
+
（－
2
）
.
2
、写出
一个二项式，使每一项都有公因式
2ab
：
3
、已知：
2
x
y
4
，
xy
3
求代数式
2
x
y
xy
的值。
14.3.2
公式法
(1)
学习目标
:
理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；掌握运用平方差公式分
解因式的
方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式。
学习重点：
利用平方差公式分解因式．
学习难点：
利用平
方差公式分解因式．
课前预习
2
1
、同学们，你能很快知道
99
-1
是
100
的倍
数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流。
2
2
2
、你
能将
a
－
b
分
解因式吗？
你是如何思考的？
4
2
2
2
．根据
左面的算式将下列各式分解因式：
1.
计算下列各式
:
(1)
a
2
-4=
(1)
(
a
+2)(
a
-2)=
(2)
a
2
-
b
2
=
(2)
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
(3) 9
a
2
-4
b
2
=
(3) (3
a
+2
b
)(3
< br>a
-2
b
)=
问题
：请同学们对比以上两题，你发现什么呢？
归纳总结
：对于形如两数平方差形式的多项式可以用平方
差公式进行因式分解的公式：
2
2<
/p>
平方差公式：
a
－
b
=
（
）
（
）
语言叙述：
课内探究
例
1
把下列各式分解因式：
2
2
2
（
1
）
36
–
25
x
(2) 16
a
–
9
b
解原式
=
（
）
-
（
）
2
2
解原式
=
（
）
-
（
）
2
2
=
=
2
2
2
2
（
3
）
（
a
+
b
）<
/p>
-
c
（
4
）
（
x
+2
y
）
－（
x
－
3
y
）
；
特殊说明
：平方差公式中的字母
a
、
b
，可以表示数、含字母的代数式（单项式、
多项式）
．
例
2
把下列各式分解因式：
4
4
3
（
1
）
x
–
y
(2)2<
/p>
a
–
8
a
(3)
a
b
–
ab
（
4
）
m
（
16
x
－
y
）
+
n
（
y
－
16
x
）
．
3
3
2
2
5
注意
：⑴
分解因式时，如果多项式有公因式，应先
，再进一步分解；
⑵
分解因式时，必须分解到每一个因式都
分解为止。
练习：
< br>1
、判断下列分解因式是否正确
.
2
2
2
2
2
、
（
1
）（
a
+
b
）
－
c
=
a
+2
ab
+
b
－
c
4
2
2
2
2
< br>（
2
）
a
－
1=
（
a
）
－
1=
（
a
+1
）·（
a
－
1
）
.
2
、判断正误
2
2
2
2
（
1
）
x
+
y
=
（
x
+
y
）
（
x
－
y
）
< br>;
（
）
（
2<
/p>
）
x
－
y
=
（
x
+
y
）
（
x
－
y
）
;
（
）
（
3
）－
x<
/p>
2
+
y
2
=
（－
x
+
y
）（－
x
－
y
）
;
（
）
（
4
）
－
x
2
－
y
2
=
－
（
x
+
y
）
< br>（
x
－
y
）
3
、
课本
P
117
练习
1
、
2
。
当堂检测
1
、填空：⑴
81
x
2
- =(9<
/p>
x
+
y
)(9<
/p>
x
-
y
)
；
利用因式分解计算：
< br>201
2
199
2
= =
。
2
、已知
x
+
y
=7<
/p>
，
x
－
y
=5
，则
x
2
－
y
2
=
。
3
、下列
多项式中能用平方差公式分解因式的是（
）
A
a<
/p>
2
(
b
)
2
B
5
m
2
20
mn
C
x
2
< br>y
2
D
<
/p>
x
2
9
4
、习题
14
、
3P
119
第<
/p>
2
题。
5
、
把下列各式分解因式
①1—
16
a
2
②—
m
2
+9
③64
x
2
－
y
2
z
2
④
49(
a
-
b
)
2
—
16(
a
+
b
)
2
⑤
12
a<
/p>
2
x
2
－
27
b
2
y
2
⑥
16
x
4
－
81
y
4
；
课后反思
）
6
（
课后训练
1
、阅读下列材料
：
将
x
+2
x
－
< br>y
－
2
y
分解因式，我们可以先把
x
和－<
/p>
y
、
2
x
和－
2y
分别结合，把它们分别分解后再通过
提取公因式的办法把整个式子分解因式。即：
x
－
y
+
x
－
< br>y
=
（
x
－
y
）
+
（
2
x
－
2y
）
=(x+y)(x-y)+2(x-y)=(x-y)(x+
y+2)
，这种方法叫分组分解法。请你
用这种方法把下列各式
分解因式：
⑴
x
－
y
+
x
－
y
⑵
a
－
4
b
+3
a
+6
b
技巧：
分组分解后有公因式可提。
2
、把下列各式分解因式
2
2
2
（
1
）（
x
－
< br>1
）
+
b
（
1
－
x
）
（
2
）（
x
+
x
+1
）
－
1
、
（
3
）
3
（
a+b
）
-27c
（
4
）
16
（
x+y
）
-25
（
x-y
）
2
2
2
2 <
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7