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2021年2月12日发(作者：lonely)

因式分解的基本方法概述

A.

因式分解的一般步骤

< p>
（

1

）通常采用一“提”

、二“公”

、三“分”

、四“变”的步骤。即首先看有无公因式 可提，

其次看能否直接利用乘法公式；

如前两个步骤都不能实施 ，

可用分组分解法，

分组的目的是

使得 分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（

< p>
2

）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除 法、拆项（添

项）等方法；

B.

因式分解的基本方法

一．提公因式法

.

：

ma+mb+mc=m(a+b+ c)

二．运用公式法：

2

2

（

1

）

a

-

b

=(a+b)(a< /p>

-

b)

；

2

2

2

(2) a

±

2ab+b

=(a

±

b)

；

< br>3

3

2

2

(3) a

+b

=(a+b)(a

-

ab+b

)

；

3

3

2

2

(4) a

-

b

= (a

-

b)(a

+ab+b

< p>
)

．

2

2

2

2

(5)a

+b

+c

+2ab+2bc+2ca=(a+b+c )

；

(6)a

3

+b

3

+c

3

-

3abc=(a+b+c)(a

2

+b

2

+c

2

-

ab

-

b c

-

ca)

；

三．分组分解法

.

能够直接运用公式 法分解的多项式，

主要是二项式和三项式．

而对于四项以上的多 项式，

既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，

可以先 将多项式分组处理．这种利用分组

来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键 在于如何分组．

常见题型：（

1

）分组后能提取公因式

（

< p>
2

）分组后能直接运用公式

【例题

1

】分解因式：

x



y



ax

< p>


ay

解：原式

=

(

x



< p>
y

)



(

ax



ay

)

=

(

x



y

)(

x



y

)

< p>


a

(

x



y

)

=

(

x



y

)(

x



< p>
y



a

)

【例题

2

】分解因式：

a



2

ab



b



c

< p>

解：原式

=

(

a



2

ab

< p>


b

)



c

=

(

a



b

)



c

=

(

a



b



c

)(

a

< p>


b



c

)

【例题

3

】分解因式：

2

ax



10

ay



5

by



bx

解法一：原式

=

(

2

ax



10

a y

)



(

5< /p>

by



bx

)< /p>

=

2

a

(

x



5

y

)



b

(

x

< br>

5

y

)

=

(

2

a



b

)(

x



5

y

< p>
)

解法二：原式

=

(

2

ax



bx

)



(



10

ay



5

by

)

< p>
=

x

(

2

a



b

)



5

y

(

2

a



b

)< /p>

=

(

2

a



b

)(

x



5

y

)

四．十字相乘法

. < /p>

一般二次三项式

ax



< br>bx



c

型的因式分解

2

由

a

1

a

2

x

< br>

(

a

1

c

2



a

2

c

1

)

x



c

1

c

2



(

a

1

x



c

< br>1

)(

a

2

x



c

2

)

我们发现，

二次项系数

a

< p>
分解成

2

2

2

< p>
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

1

a

2

，常数项

c

分解成

c

1

c

2

，把

a

1

,

a

2

,

c< /p>

1

,

c

2

写成

a

2



c

2

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就

2

2

得到

a

1

c

2



a

2

c

1

< br>，

如果它正好等于

ax



bx



c

的一次项系 数

b

，

那么

a x



bx



c

就可以分

a

1

c

1

1

解成

(

a

1< /p>

x



c

1

)(

a

2

x



c

2

)

，其中

a

1

,

c

1

位于上一行，

a

2

,

c

2

< p>
位于下一行．这种借助画十字交叉

线分解系数，从而将二次三项式分解因式 的方法，叫做

十字相乘法．

必须注意 ，

分解因数及十字相乘都有多种可能情况，

所以往往要经过多次 尝试，

才能确

定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

（一） 二次项系数为

1

的二次三项式

直接利用公式——

x



(

p



q

)

x



pq

< /p>

(

x



p

)(

x



q

)

进行分解。

特点：

（

1

）二次项系数是

< br>1

；

（

2

）常数项是两个数的乘积；

< p>

（

3

）一次项系数是常 数项的两因数的和。

【例题

1

】分解因式：

x



5

x



6

2

解：

x< /p>



5

x



6

=

x



< p>
(

2



3

)

x



2



3

2

2

2

=

(

x< /p>



2

)(

x



3

)

（二）二次项系数不为

1

的二次三项式——

ax



bx



c

条件：

（

1

）

a



a

1

a

2

a

1

c

1

（

2

）

c



c

1

c

2

a

2

c

2

（

3

）

b



a

1

c

2



a

2

c

< br>1

b



a

1

c

2



a

2

c

1

< br>分解结果：

ax



bx



c

=

(

a

1

x



< br>c

1

)(

a

2

x



c

2

)

【例题

2

】分解因式：

3

x

< br>

11

x



10

分析：

1

-2

3

-5

（

-6< /p>

）

+

（

-5

）

= -11

解：

3

x



11

x



10

=

(

x



2

)(< /p>

3

x



5

)

（三）二次项 系数为

1

的齐次多项式

2

2

【例题

3

】分解因式：

a



8

ab



128

b

分析：将

b

看成常数，把原多项式看成关于

a

< br>的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1

8b

1

-16b

8b+(-16b)= -8b

2

2

2

解：

a



8

ab



128

b

=

a



[

8

b



(



16

b

)]

a



8

b

< br>

(



16

b

)

=

(

a



8

b

)(

a



< p>
16

b

)

（四）二次项系数不为

1

< p>
的齐次多项式

【例题

4

】

2

x



7

xy



6

y

1

-2y

2

-3y

(-3y)+(-4y)= -7y

解：原 式

=

(

x

< /p>

2

y

)(

2

x



3

y

)

分解因式：

（

1

）

15

x



7

xy



4

y

2

2< /p>

2

2

2

2

2

2

2

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