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2021年2月12日发(作者：孕妇胎教)

探究性复习课

教学案例

一个出乎意料的结论

——《直角三角形相似复习课》教学案例

杭州市文澜中学

卜春兰

背景介绍

这节课的内容曾在一次市级 公开课上进行展示，

由于是借班上课，

学生情况不了解。

因

此，

本节课中学生探究出的一些结论，

都精心设计成几个问题串的形式，

学生的思维都按照

教师事先设计好的程序顺利进行。

虽然有些教师说这堂课设计得很好，

但课堂中没有学生的

灵动，

也没有出现学生思维 碰撞的火花，

我总觉得有些遗憾。

因此在自己班上这节课内容时 ，

我放手大胆地改变了教学模式。

我 们学校实施小班化教学，每班不超过

30

名学生。入学时经过考 试选拔，学生层次相

对较整齐。平时注重营造民主、宽松的教学氛围，创设开放的课堂教 学环境，因此，经常能

看到学生思维的火花。下面的情境描述就是我在本班教学的情景。

情境描述

上课一开始，

我就笑眯眯地走进教室对学生说：

这一节课我们一 起来玩一玩，

一边玩，

一边想，好吗？先请同学们把这四块直角 三角形拼成一个正方形好吗？

学生 一听很来劲，

，这不是简单又好玩嘛！一下子就把课前事先设计好的四块直角三

角形拼成了如图所示的一个正方形。

E

师：这节课我们就对这个正方形的有关问题进行探究。

A

D

正方形

ABCD

中

,P

是

< br>AB

的中点

,E

是

AD

上一点

,

且

< p>
AE=

P

结论来吗？

我允许学生可以独立思考，也可以小组合作、讨论、交流。

有几个优秀的学生马上进入了沉思，其他学生则一边比划，一

C

B

边热烈地讨论着。我一边巡视一边用期待的眼光看着他们，及

时发现讨论过程中出现的问题。

5< /p>

分钟过去了，每一小组都得出了一些结论，我便宣布讨论结束，让学生说说他们刚

才得出的一些结论。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

生一： 我们小组经过讨论得出的结论是：

AP

+AE

< br>=PE

，

BP

+BC

< p>
=PC

，

PE

+PC

=EC

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

< p>
DE

+DC

=EC

，

2AP

+AE

+BC

=EC

，

2AP

+AE

=DE

这时，有许多学生笑了起来，为了不打击这位学生的积极性，我反问其 他同学：这难

道不是结论吗？这时同组的一位学生马上起来响应：

“我们组认为，结论可以是边之间的关

系，也可以是角之间的关系，可以是图形的形状 ，也可以是图形之间的关系。刚才说的这些

结论是利用勾股定理得到的。

”

师：非常好！结论可以是浅层次的，也可以是深层 次的。只要是结论就行。我对这位

同学的回答加以肯定，又问：还有其他结论吗？

生一：△

APE

∽ △

BCP

∽△

PCE

< br>，而△

DEC

与其他三个三角形中的任何一个都不相似。

这时又有一学生马上反驳：△

EDC

与△

EPC

相似。我不置可否，没有马 上进行裁决，而

是让学生继续思考，说其他结论。

< p>
生二：

S

△

APE

+S

△

BCP

=S< /p>

△

PCE

生三：

EP

平分∠

AEC

，

CP

平分∠

BCE

生四：

AE+BC=EC

1

AD,

在这个图形中，

你能探究出一些

4

1

生五：

PE

=AE

·

EC

，

PC

=BC

·

EC

我把学生得出的结论一一写在黑板上。见已没人举手， 便让学生说说是如何得到的。

生一：我是这样发现相似与不相 似的，我把每个直角三角形的角重叠在一起，发现

△

APE

、

△

BCP

、

△

PCE

的角都 对应相等，

而△

EDC

的两个锐角与其 余三个三角形的锐角

明显不等。

师： 噢！你是动手操作比较角的大小得出的，这不失为一种好方法。

生二：我是通过证明得出的，∵∠

EPC=90

°，∴∠

APE+

∠

BPC=90

< br>°，而

∠

BPC+

< p>
∠

PCB=90

°，∴∠

APE=

∠

BCP

，又∵∠

< p>
A=

∠

B=90

°，∴△

APE

∽△

BCP

。

生二：我还有一种方法，∵

2

2

BC

BP

2





，∠

A=

∠

B=90

°，∴△

< br>APE

∽△

BCP

。

< p>

AP

AE

1

< p>
又

AP

BC

2

< p>
PC

2

5

2





，∴△

APE

∽△

BCP

∽△

PCE

。





，而

AE

BP

1< /p>

PE

1

5

师：非 常好！同学们不仅进行了实践，而且从理论的角度进行了论证。当点

P

< br>是

AB

的中点时，

刚才同学们通 过动手操作得出△

EDC

与△

EPC< /p>

不相似，

如果点

P

是

AB

上的一个动

点（不与

A

、

B

重合）

，在运动过程中始终保持∠

EPC=90

°，是 否存在一点

P

，使△

EDC

< p>
与△

EPC

相似呢？（我一边说，一边拖动点

P

几何画板演示着。

）

这时有学生在低声咕噜着：

“相似”

，

“不相似”

，也有学生在犹豫着。

师：如果相似，你能证明吗？如果不相似，又该如何说明，以前我们证明一个否命题

时，又是如何证明的呢？

生一：哦！用反证法。

生二：如果△

DCE

∽△

PCE

，则∠

DEC=

∠

ECP

，而∠

DEC=

∠

EC B

，∠

ECP

≠∠

ECB

，∴两个

三角形不可能相似。

生三：还有一种情况，△

DCE

∽ △

PCE

，也可能是∠

DEC=

∠

PEC

，这时，△

DCE

≌△

PCE

，

< br>得

EP=ED

，

PC=PD

。

“哦！不可能的，因为

DC=BC

≠

PC

。

”其他学生也嚷起来了。

这时我及时地进行了 归纳：要证明一个结论不存在，我们可以先假设存在，通过推理

论证得出矛盾。也就是以 前我们所学的反证法。

“好，再来说说下一个结论。

”

生一：我这个结论是拼出来的，把△

APE

与△

BCP

分别绕

PE

、

PC

翻过去，△

APE

与△

BCP

刚好能盖住△

< br>EPC

。

生二：我是利用特殊 值来算的。设

AE=1

，则

AP=BP =2

，

BC=4

，

PE=

5

，

PC=2

5

，

S

< br>△

APE

=1

，

S

△

BCP

=4

，

S

△

PCE

=5

，∴

S

△

APE

+S

△

BCP

=S

△

PCE

生三 ：只需把

AE

设为

k

< br>，用刚才的方法就能证出。

师：用计算的方法进行证明 在许多时候都是一种非常简单、有效的方法。同学们再想

想看，能否用几何的方法证明呢 ？

生四：有了，刚才我们操作时把两个三角形翻过去能重合， 实际上就是过点

P

作

PH

⊥

E

A

EC

< p>
于

H

，只要证明△

APE

≌△

HPE

，

D

△

BCP

≌△

HCP

，∵△

APE

∽△

BCP

∽△

PCE

，∴∠

AEP=

∠

HEP

，

H

∠

BCP=

∠

HCP

，再加上公共边，全等不难得出。

P

师：好！这位同学是在动手操作的过程中受到了

启发，想出了添辅助线的方法。所以我们在平时的解题过程中

B

2

C

-

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-

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-