四升五年级奥数
-
四
升
五
年
< br>级
奥
数
Revised on November 25, 2020
第
1
讲
速算与巧算（一）
计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算
本领。准确、快速的计算能力既
是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节
省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分
析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级
已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准
数法和乘
法的补同与同补速算法。
例
1
四年级一班第一小组有
10
名同学，某次数
学测验的成绩（分数）如下：
<
/p>
86
，
78
，<
/p>
77
，
83
，<
/p>
91
，
74
，<
/p>
92
，
69
，<
/p>
84
，
75
。<
/p>
求这
10
名同学的总分。
分析与解
：通常的做法是将这
10
个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察
这些数不难发现，这些数
虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如
以“
80
”作基准，这
10
个数与
80
的差如下：
6
，
-2
，
-3
，
3
，
11
，
-6
，
12
，
-11
，
4
，
-5
，其中“
-
”号
表示这个数比
80
小。于是得到
总和
=8
0
×
10
＋（
6-2-3
＋
3
＋
11-
＝
< br>800
＋
9
＝
< br>809
。
实际计算时只需口算，将这些数与
8
0
的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
通过口算，得到差数累加为
9
，再加上
80
×<
/p>
10
，就可口算出结果为
809
。
例
1
所用的方法叫做加法的
基准数法
。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的
情况。作为“基准”的数（如例
1
的
80
）叫做
基准数
，各数与基准数的差
的和叫做
累计差
。由例
1
得
到：
总和数
=
基准数
×
加数的个数<
/p>
+
累计差
，
<
/p>
平均数
=
基准数
+
累计差
÷
加数的个数
。
在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考
虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例
2
某农场有
10
块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：
462
，
480
，
443
< br>，
420
，
473
，
429
，
468
，
439
，
475
，
461
。求平均每块麦田的产量。
解
：选基准数为
4
50
，则
累计差
=12
＋
30
－
7
－
30
＋
23
－
21
＋
18
－
11
＋
25
＋
11
＝
50
，
平均每块产量
=450
＋
50
÷
10
＝
455
（千克）。
答：平均每
块麦田的产量为
455
千克。
求一位数的平方，在乘法口诀的九
九表中已经被同学们熟知，如
7
×
7<
/p>
＝
49
（七七四十九）。对
于两位数的平方，大多数同学只是背熟了
10
～
20
的平方，而
21
～
99
的平方就不大熟悉了。有没有
什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢这里向同学们介绍一种方法——
凑整补零法
。所谓凑整补
零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多
补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一
数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说
明这一方法。
例
3
求
29
2
和
< br>82
2
的值。
例
4
求
993
2
和
200
4
2
的值。
下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式：
66
×
46=
73
×
88=
19
×
44=
这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因
数的十位数与个位数相同，另一
因数的十位数与个位数之和为
1
0
。这类算式有非常简便的速算方法。
例
5
88
×
64
＝
例
6
77
×
91
＝
解：
由例
3
的解法得到
由上式看出，当两个因数的
个位数之积是一位数时，应在十位上补一个
0
，本例为
7
×
1
＝
07
。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法
计算。
练习
1
1.
求下面
10
个数的总和：
165
，
152
，
168
，
171
，
148<
/p>
，
156
，
16
9
，
161
，
157
，
149
。
2.
农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出
12
株麦苗的高度分
别为（单位：厘米）：
26
，
25
，
25
，
23
，
27
，
28
，
26
，
24
，
29
，
27
，
27
，
25
。求这批麦苗的平均高度。
3.
某车
间有
9
个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：
68
，
91
，
84
，
75
，
78
，
81
，
83
，
72
，
79
。
他们共加工了多少个零件
4.
计算：
13
＋
16
＋
10+11
＋
17
＋
12
＋
15
＋
12
＋
16
＋
13
＋
12
。
5.
计算下列各题：
（
1
）
37
< br>2
；
（
2
）
53
2
；
（<
/p>
3
）
91
2
；
（
4
）
68
2
（
5
）
108
2
；
（
6
）
397
2
。
6.
计算下列各题：
（
1
）
77
< br>×
28=
（
2
）
66
×
55=
（
3
）
33
×
19=
（
4
）
82<
/p>
×
44=
（
5
）
37
×
33
=
（
6
）
46
×
99=
第
2
讲
速算与巧算（二）
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘
法的
“
同补
”
与
“
补同
”
速
算
法。
两个数之和等于
10
，则称这两个数<
/p>
互补
。在整数乘法运算中，常会遇到像
7
2
×
78
，
2
6
×
86
等被
乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72
×
78
的被乘
数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；
2
6
×
86
的被乘
数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题
目，有非常简捷的速算方法，分别称为
“同补”速算法
和
“补同”速算法
。
例
1
（
1<
/p>
）
76
×
74<
/p>
＝
（
2
）
31
×
39
＝
由例
1
看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数
乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之
积（不够两位时前面补
0
，如
1
×
9
＝
09
），积中从百位起前面的数
是被乘数（或乘数）的十位数与
十位数加
1
的乘积。“同补”速算法简单地说就是：
积的末两位是“
尾×尾”，前面是“头×（头
+1
）”
。
我们
在三年级时学到的
15
×
15
，
25
×
25
，…，
95
×
95
的速算，实际上就是“同补”速算法。
例
2
（
1<
/p>
）
78
×
38<
/p>
＝
（
2
）
43
×
63
＝
（
2
）与（
1
）类似可得到下面的速算式：
由例
2
看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因
数的个位数之积
（不够两位时前面补
0
，如
3
×
3
＝
09
），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被
乘
数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：
<
/p>
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头
+
< br>尾”
。
例
1
和例
2
介绍了两位数乘以两位数
的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，
情况会发生什么变化
呢
我们先将互补的概念推广一下。
当
两个数的和是
10
，
100
，
1000
，…时，这两个数互为补数，简称
互补
。如
43
与<
/p>
57
互补，
99
与
1
互补，
555
与
445
互补。
在一个乘法算式中，当被乘数与乘
数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是
“同补”型，即“头相同，尾
互补”型。例如
，
因为被乘数与乘数
的前两位数相同，都是
，
70
，后两位数互补，
77
＋
23
＝
100
，所以是“同补”型
。又如
等都是
“
同补
”
型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是
“
补同
”
型，即<
/p>
“
头
互补，尾相同
”
型。例如，
< br>等都是
“
补同
”
型。
在计算多位数的“同补”型乘法时，例
1
的方法仍然适用。
例
3
（
1<
/p>
）
702
×
70
8=
（
2
）
1708
×
1792
＝
解
：（
1
< br>）
（
2
）
计算多位数的“同补”型乘法时，
将“头×（头
+1
）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作
为乘
积的后几位。
注意：互补数如果
是
n
位数，则应占乘积的后
2n
位，不足的位补“
0
”。
在计算多位数的“补同”型
乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例
2
的方法
仍然适用（见例
4
）；
如果“补”与“同”的位数不相同，那么例
2
的方法不再适用，
因为没有简捷实用
的方法，所以就不再讨论了。
例
4
2865
×
7265
＝
解
：
练习
2
计算下列各题：
68
×
62=
93
×
97=
27
×
87=
79
×
39=
42
×
62=
603
×
607=
693
×
607=
4085
×
6085=
第
3
讲
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100
＝
老师出完题后，全班同学都在埋头
计算，小高斯却很快算出答案等于
5050
。高斯为什么算得又
快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋<
/p>
52
＝
50
＋<
/p>
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数
的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050<
/p>
。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于
“
等差数列
”
的求
和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，数列中的每一个数称为
一项，其中第一项称为
首项
，最后一项称
为
末项
。后项与前项之差都相等的数列称为
< br>等差数列
，后项与前项之差称为
公差
。例如：
（
1
< br>）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，…，
99
；（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中（
1
）
是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；（
2
）是首项为
1
，末项为
99
，公
差为
2
的等差数列；（
3
）是首项为
< br>8
，末项为
71
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的
求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
例
1
1
＋<
/p>
2
＋
3
＋…＋<
/p>
1999
＝
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个
加数是否构成等差数列。
例
2
11
＋
12
＋
13
＋…＋
31
＝
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这
时就需要先求出项数。根据首项、末
项、公差的关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差
+1
，
末项
=
首项
+
公差×（项数
-1
）
。
例
3
3
＋
7
＋
11
＋…＋
99
＝
例
4
求首项是
25
，公差是
3
的
等差数列的前
40
项的和。
例
5
在下图中，每个最小的等边三角
形的面积是
12
平方厘米，边长是
1<
/p>
根火柴棍。问：（
1
）最大
三角形的面积是多少平方厘米（
2
）整个图形由多少
根火柴棍摆成
例
6
盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成
3<
/p>
只球后放回盒子
里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变
成
3
只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十
只球，将每只球各变成
3
只球后放回到盒子里。这时
盒子里共有多少只乒乓球
练习
3
1.
计算下列各题：
（
1
）
2
＋
4
＋
6
＋…＋
200
（
2
）
17
＋
19
＋
21
＋…＋
39
（
3
）
5
＋
8
＋
11
＋
14
＋…＋
50
（
4
）
3
＋
1
0
＋
17
＋
2
4
＋…＋
101
2.
求首项是
5
，末项是
93
，公差是
4
的等差数列的和。
3.
求首项是
13
，公差是
5
的等差数列的前
< br>30
项的和。
4.
时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打
多少次
5.
求
100
以内除以
3
余
2
的所有数的和。
< br>6.
在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个
第四讲
整除
我们在三年级已经学习了能被<
/p>
2
，
3
，
5
整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能
被
4
，
8
，
9
整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：
性质
1
如果甲数能被乙数整除，乙数
能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除
。
例如，
48
能被
16
整除，
16
能被
8
整除，那么
48
一定能被
< br>8
整除。
性质
2
如果两个数都能被一个自然数
整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除
。
<
/p>
例如，
21
与
1
5
都能被
3
整除，那么
21
＋
15
及
21-15
都能被
3
整除。<
/p>
性质
3
如果
一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘
积
整除
。
例如，
126
能被
9
整除，又能被
7
整除，且
9
与
7
互质，那么
126
能被
9
×
7
＝
63
整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问
题。为了进一步学习数的整除
性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来
：
（<
/p>
1
）一个数的个位数字如果是
0
，
2
，
4
，
6
，
8
< br>中的一个，那么这个数就能被
2
整除。
< br>
（
2
）一个数的个位数字如果是
0
或<
/p>
5
，那么这个数就能被
5
整除。
（
3
）一个数各个数位上的数字之和如果能被
3
整除，那么这个数就能被
3
< br>整除。
< br>（
4
）一个数的末两位数如果能被
4
（或
25
）整除，那么这个数就能
被
4
（或
25
）整除。
（
5
）一个数的末三位数如果能被
8
（或
125
）整除，那么这个数就能被
8
（或
125
）整除。
（
6
）一个数各个数位上的数字之和如果能被
9
整除，那么这个数就能被
9
整除。
其中（
1
）（
2
）（
3
）是三年级学过的内容，（
4
）（
5
）（
6
）是本讲要学习的内容。
因为
100
能被
4
（或
25
）整除，所以由整除的性质
1
知，整百的数都能被
4
（或
25
）整除。因<
/p>
为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质
2
知，只要这个
数的后两位数能被
4
（或
25
）整除，这个数
就能被
4
（或
25
）整除。这就证明了（
4
）。
类似地可以证明（
5
）。
（
6
）的正
确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837
＝
8
00
＋
30
＋
7
＝
8
×
1
00
＋
3
×
1
0
＋
7
＝
8
×（
99
＋
1
）＋
3
×（
9
＋
1
）＋
7
＝
8
×
99<
/p>
＋
8
＋
3
×
9
＋
3
＋
7
＝（
8
×
99
＋
3
×
9
）＋（
8
＋
3
＋
7
< br>）。
因为
99
和
9
都能被
9
整除，所以根据整除的性质
1
和性质
2
知，（
< br>8x99
＋
3x9
）能被
9
整除。
再根据整除的性质
< br>2
，由（
8
＋
< br>3
＋
7
）能被
< br>9
整除，就能判断
837
能被<
/p>
9
整除。
<
/p>
利用（
4
）（
5
）（
6
）还可以求出一个数除以
4
，
8
，
9
的余数：
（
4
）一个数除以
4
的余
数，与它的末两位除以
4
的余数相同。
（
5
）一个数除以
8
的余数，与它的末三位除以
8
的
余数相同。
（
6
）一个数除以
9
的余数，与它的各位数字之和除以
9
的余数相同。
例
1
在下面
的数中，哪些能被
4
整除哪些能被
8<
/p>
整除哪些能被
9
整除
234 789 7756
8865 3728
8064
。
例
2
在四位
数
56
□
2
中
，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被
9
，
8
，
4
整除
例
3
从
0
，
2
，
5
，
7
四个数字中任选三个，组成能同时被
2
，
< br>5
，
3
整除的数，并将这些数从
小到大
进行排列。
例
4
五位数
例
5
六位数
例
6
要使六位数
练习
4
1
．
6539724
能被
4
，
8
，
9
< br>，
24
，
36
< br>，
72
中的哪几个数整除
2
．个位数是
5
，
且能被
9
整除的三位数共有多少个
3
．一些四位数，百位上的数字都是
3
，十位上的数字都是
6
，并且它们既能被
2
整除又能被
3
整
除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少
4
．五位数<
/p>
能被
12
整除，求这个五位数。
能被
72
整除，问：
A
与
B
各代表
什么数字
是
6
的倍数，这样的六位数有多少个
能被
36
整除，而且所得的商最小，问
A
，
B
，
C
各代
表什么数字
5
．有一个能被
24
整除的四位数□
23
□，这个四位数最大是几最小是几
6
．从
0
，
2
，
3
，
6<
/p>
，
7
这五个数码中选出四个，可以组成多
少个可以被
8
整除的没有重复数字的四
位数
7
．
在
123
的左右各添一个数码，使得到的五位数能被
72
整除。
8
．学校买了
72
只小足球，发票上的总价有两个
数字已经辨认不清，只看到是□□元，你知道每只
小足球多少钱吗
第
5
讲
弃九法
从第
4
讲知道，如果一个数的各个数位
上的数字之和能被
9
整除，那么这个数能被
9
整除；如
果一个数各个数位上的数字之和被
9
除余数是几，那么这个数被
9
除的余数也一定是几。利用这个
性质可以迅速地判断一个数能否被
< br>9
整除或者求出被
9
除的余数是
几。
例
如，
3645732
这个数，各个数位上的数字之和为
3
＋
6
＋
4
< br>＋
5
＋
7
＋
3
＋
2
＝
30
，
30
被
9<
/p>
除余
3
，所以
3
645732
这个数不能被
9
整除，且
被
9
除后余数为
3
。