高一数学函数总结大全
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一次函数
一、定义与定义式：
自变量
x
和因变量
y
有如下关系：
y=kx+b
则此时称
y
是
x
的一次函数。
< br>
特别地，当
b=0
时，
y
是
x
的正比例函数。
即：
y=kx
（
k
为常数，k≠0）
二、一次函数的性质：
1.y
的
变化值与对应的
x
的变化值成正比例，比值为
< br>k
即：
y=kx+b
（
k
为任意不为零的实数
b
取任何实数）
2.<
/p>
当
x=0
时，
b
为函数在
y
轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1
．作法与图形：通过如下
3
个步骤
（
1
）列表；
（
2
）描点；
（
3
）连线，可以作出一次函数的图像
——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道
2
点，并连成
直线即可。（通常找函数图像与
x
轴和
y
轴的交点）
2
．性质
：（
1
）在一次函数上的任意一点
P<
/p>
（
x
，
y
），都满足等式：
y=kx+b
。（
2
）
一次函数与
y
轴交点的坐标总是（
0
，
< br>b)
，与
x
轴总是交于（
-b/k
，
0
）正比
例函数的图像总
是过原点。
京翰教育
1
对
1
家教<
/p>
/
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3
．
k
，
b
与函数图像所在象限：
当
k
＞
0
时，直线必通过一、三象限，
y
随
x
的增大而增大；
当
k
＜
0
时，直线必
通过二、四象限，
y
随
x
的增大而减小。
当
b
＞
0
时，直线必通过一、二象限；
当
b=0
时
，直线通过原点
当
b
＜
0
时，直线必通过三、四象限。
特别地，当
b=O
时，直线通过原点
O
（
0
，
0
）表示的是正
比例函数的图像。
这时，当
k
＞
0
时，直线只通过一、三象限；当
k
＜
0
时，直
线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点
A
（
x1
，<
/p>
y1
）；
B
（<
/p>
x2
，
y2
），
请确定过点
A
、
B
的一次函数的表达式。
（
1
）设一次函数的表达式（也叫解析式）为
y=kx+b
。
（
2
）因为在一次函数上的任意一点
P
（
x
，
y
），都满足等
式
y=kx+b
。所以可以列
出
2
个方程：y1=kx1+b ……
①
和
y2=kx2+b ……
②
（
3
）解这个二元一次方程，得到
k
，
b
的值。
（
4
）最后
得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.<
/p>
当时间
t
一定，距离
s
是速度
v
的一次函数。
s=vt
。
2.<
/p>
当水池抽水速度
f
一定，水池中水量
g
是抽水时间
t
的
一次函数。设水池中原有
水量
S
。
g=S-ft
。
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对
1
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六、常用公式：（不全，希望有人补充）
1.
求函数图像的
k
值：（
y1-y2)/(x1-x2)
2.<
/p>
求与
x
轴平行线段的中点：
|x1-x2|/2
3.
求与
y
轴平行线段的中点：
|y1-y2|/2
4.
求任意线段的长：√(x1
-x2)^
2+(y1-y2)^2
（注：根号下（
< br>x1-x2)
与（
y1-y2)
的平方和）
二次函数
I.
定义与定义表达式
一般地，自变量
x
和因变量
y
之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（
a
，
b
，
c
为常数，a≠0，且
a
决定函数的开口方向，
a>0
时，开口方向向上，
a<0
时，
开口方向向下
,IaI
还可以决定开口大小
,IaI
越大开口就越小
,IaI
越小开口就越大
.
）
则称
y
为
x
的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.
二次函数的三种表达式
一般式：
y=ax^2+bx+c
（
a
，
b
，
c
为常数，a≠0）
顶点式：
y=a(x-h)^2+k [
抛物线的顶点
P
（
h
，
k
）
]
< br>交点式：
y=a(x-x
₁
)(
x-x
₂
) [
仅限于与
x
轴有交点
A
（
x
₁
，
0
）和
B
（
x
₂
，
0
）的抛
物线
]
注：在
3
种形式
的互相转化中，有如下关系
:
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对
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h=-b/2a
k=(4ac-b^2)/4a
x
₁
,x<
/p>
₂
=(-
b±√b^2
< br>-4ac)/2a
III.
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数
y=x^2
的图
像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.
抛物线的性质
1.
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a
。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点
P
。
特别地，当
b=0
时，抛物线的对称轴是
y
轴（即直线
x=0
）
2.
抛物线有一个顶点
P
，坐标为
P ( -b/2a
，
(4ac-b^2)/4a )
当
-b/2a=0
时，
P
在
y
轴上；当
Δ
= b^2-4ac=0
时，
P
在
x
轴上。
3.
二次项系数
a
决定抛物线的开
口方向和大小。
当
a
＞
0
时，抛物线向上开口；当
a
＜
0
时，抛物线向下开口。
|a|
越大，则抛物线的开口越小。
4.
一次项系数
b
和二次项系数
a
共同决定对称轴的位置。
< br>
当
a
与
b
同号时（即
ab
＞
0
），对称轴在
y
轴左；
当
a
与
b
异号时（即
ab
＜<
/p>
0
），对称轴在
y
轴右。
5.
常数项
c
决定抛物线与
y
轴交点。<
/p>
抛物线与
y
轴
交于（
0
，
c
）
6.
抛物线与
x
轴交点个数
Δ
= b^2-4ac
＞
0
时，抛物线与
x
轴有
2
个交点。
Δ
= b^2-4ac=0
时，抛物线
与
x
轴有
1
个
交点。
京翰教育
1
< br>对
1
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Δ
= b^2-4ac
＜
0
时，
抛物线与
x
轴没有交点。
X
的取
值是虚数
（
x=
-
b±√b^2－
4ac
的
值的相反数，乘上虚数
i
，整个式子除以
2a
）
V.
二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）
y=ax^2+bx+c
，
当
y=0
时，二次函数为关于
x
的一元二次方程（以下称方
程），
即
ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与
x
轴有无交点即方程
有无实数根。
函数与
x
轴交点的横坐标即为方程的根。
1
．二次函数
y=ax^2
，
y=a(x-h)^2
，
y=a(x-h)^2 +k
，
y
=ax^2+bx+c(
各式中，a≠0)的图
象形状相同，只
是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0
，
0)
(h
，
0)
(h
，
k)
(-b/2a
，
[4ac-b^2]/4a)
当
h>0
时，
y=a(x-h)^2
的图象可由抛物线
y=ax^2
向右平行移动<
/p>
h
个单位得到，
当
h<0
时，则向左平行移动
|h|
个单位得到
．
当<
/p>
h>0,k>0
时，将抛物线
y=ax^
2
向右平行移动
h
个单位，再向上移动
k
个单位，就可
以得到
y=a(x-h)^2 +k
的图象；
对
称
轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a <
/p>
京翰教育
1
对
1
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当
h>0
,k<0
时，将抛物线
y=ax^2
向
右平行移动
h
个单位，再向下移动
|k
|
个单位可得到
y=a(x-h)^2+k
的图象；
< br>当
h<0,k>0
时，将抛物线向左平行移动
|h|
个单位，再向上移动
k
个单位可得到
y=a(x-h)^2+k
的图象；
当
h<0,k<0
时，将抛物线向左平行移动
|h|<
/p>
个单位，再向下移动
|k|
个单位可得到
y=a(x-h)^2+k
的图象；
因此，
研究抛物线
< br>y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，
通过配方，
将一般式化为
y=a(x-h)^2+k
的形式，可确定其顶点
坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方
便．
2
．抛物线
y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当
a>0
时，开口向上，当
a<0
时开口向下，对
称轴是直线
x=-b/2a<
/p>
，顶点坐标是
(-b/2a
，
[4ac-b^2]/4a)
．
3
．
抛物线
y=ax^2+bx+c(a≠0
)，
若
a>0
，
当
x ≤
-b/2a
时，
y
随
x
的增大而减小；
当
x ≥
-b/2a
时，
y
随
x
< br>的增大而增大．
若
a<0
，
当
x ≤
-b/2a
时，
y
随
x
的增大而增大；
当
x ≥
-b/2
a
时，
y
随
x
的增大而减小．
4
．抛物
线
y=ax^2+bx+c
的图象与坐标轴的交点：
(1)
图象与
y
轴一定相交，
交点坐标为
(0
，
c)
；
(2)
当△
=b^2-4ac>0
，图象与
x
轴交
于两点
A(x
₁
，
0)
和
B(x
₂
< br>，
0)
，其中的
x1,x2
是一元二
次方程
ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离
AB=|x
₂
-x
₁
|
当△<
/p>
=0
．图象与
x
轴只有一个交点；
当△
<0
．
图象与
x
轴没有交点．当
a>0
时，图象落在
x
轴的上方，
< br>x
为任何实数时，都有
y>0
；
当
a<0
时，图象落在
x
轴的下方，
x
为任何实数时，都有
< br>y<0
．
< br>京翰教育
1
对
1
家教
/