高等数学单元教学设计
-
《高等数学》
课程单元教学设计
（
2012
～
2013
学年第
1
、
2
学期）
课程名称：
高
等
数
学
所属系部：
机
电
工
程
系
制
定
人：
程登彪
合
作
人：
数学教研室全体教师
制定时间：
2012
年
12
月
莱芜职业技术学院
1.1
函数
课程单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
函数
能力目标
教
学
目
标
单元教学学时
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
➀
函数概念
➁
定义域
➂
对应法则
➃
函数表示
➄
复合函数
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
4
第
1
、
2
次
素质目标
➀
能熟练把握函数的概念
,
确定变量关系
➁
能够了解并确定函数的定义域与对应法则
➂
能够熟练判断两个函数是不是同一个函数
➃
能够掌握复合函数分解与合成
任务
1
查阅资料，函数的历史
任务
2
理解函数的两个要素
任务
3
如何求解函数的定义域
任务
4
如何判断两个函数是同一个函数
任务
5
阅读教材第
3
页
总结函数的表示方法
任务
6
什么是分段函数？学生分组讨论，给出自己的想法
能
力
训
练
任
务
及
案
例
任务
7
函数四个特性回忆与加强
任务
8
复合函数分解与合成
案例
1
（速度距离问题）
一个物体速度是
v
，行驶路程是
s
，那么经过时间
t
，它形式了多么长的距
离？
案例
2
（纳税问题）
搜集中国的个人收入所得税纳税标准，设某人月工资
x
元，请建立他的纳税税
额函数。
案例
3
任意两个函数是否都能合成一个函数；如何分解一个复合函数。
案例
4
（人口问题）
< br>
1982
年底，我国人口<
/p>
10.3
亿，按照年均
20%
的自然增长率，到
2013
年底，
我国人口将是多少？
案例
5
（奖学金等级问题）
了解我们莱芜
职业技术学院的奖学金发放规则，建立奖学金的分段函数
案例
6
（贷款抵押模型）
设二室一厅的商品
房价值
100000
元，某人自筹资金
40000
元，要购房还需要借款
60000
< br>元，条件是每年还一些，
25
年还清，房子就归债权人，
该人具备什么能力才能借款？
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
二、教学设计
步骤
本单元学习目标：
➀
函数概念；
➁
定义域；
➂
对应法则；
➃
函数表
示；
➄
分段函数；
➅
函数性质；
➆
复合函数
查阅资料
函数概念发展历史
出示案例
1
，引入函数概念
函数的两个要素：对应法则、定义域
3
（任务
2
）
教学内容
教学
方法
教学
手段
学生
活动
时间
分配
1
（告
知）
陈述
板书
识记
5
分钟
学<
/p>
生
阅
读
自
主
讨论
教师
启发
讲解
教
师<
/p>
引
导
法
学
生
分
组
学习
学
生
演示
学
生
讨论
10
分钟
板书
师
生
研讨
教
师
提示
分
组
研讨
5
分钟
2
（引入
任务
1
）
什么是对应法则？
什么是定义域？
学生阅读课本总结
求解函数的定义域：
5
分钟
4
（任务
3
）
例
1
求<
/p>
y
2
x
1
定义域
3
x
x
2
x
6
例
2
求
y
定义域
x
2
x
-
1
2
例
3
求
y<
/p>
x
-
x
-
6
arcsin
定义域
7
如
何判断两个函数是同一个函数，判断下列函数是
5
（任务
4
）
教
师
重
复
提
示
函
数
的
两
个
要
素
，
引
导
< br>学
生
注意
不是同一个函数？
（
1
）
y
ln
x
,
y
2
ln
x
2
黑
板
演示
学
生
讨论
15
分钟
（
2
）
w
u
,
y
x
（
3
）
y
9
-
x
2
，
y
(3
-
x)(3
x)
阅读教材第<
/p>
3
页
总结函数的表示方法
（
1
）
图表法：列表表示
x,y
的关系
案例应用
：统计我们莱芜职业技术学院某月每天
的
6
（任务
5
）
学
生
根
据
函
数
含
义
自
行
举例
黑
板
展示
学
生
讨论
5
分钟
温度，做出温度和日期的对应图表。
（
2
）
图像法：画图表示
x,y
的关系
案例应用
：将上述温度和日期的对应图表用图像
表
示出来，
x
轴表示日期，
y
轴表示温度
（
3
）
解析法：用一个式子来表达函数，例如
y
x
2
2
x
7
（任务
6
）
分段函数
表达式以及定义域
学
生
阅
读
课
黑
板
展示
学
生
讨论
20
分钟
0
,-
1
<
/p>
x
0
2
例
f
(
x
)
x
,
1
x
3
，求
f(1),f(-0.5) ,
3
x
-
6
,
3
x
5
f(3.5)
本
，
自
主
学
习
x
2<
/p>
1
,
x
0
例
画出分段函数
y
2
,
x
0
3
x
,
x
< br>
0
函数的四个特性：
1
、
有界性
若存在正数
M
，使得
< br>f
(
x
)
M
，则称
f
(
x
)
在
I
上有界。例如
sin
x
在实数域上有界。
2
、
单调性
（
1
）
如
果
与
定
义
域
内
任
意
两
个
点
x
< br>1
,
x
2
且
x
1
x
2
，有
f
(<
/p>
x
1
)
f
(
x
2
)
，则
f
(
x
)
在
I
< br>上单调增加
（
1
）
如
果
与
< br>定
义
域
内
任
意
两
个
点
x
1
,
x
2
且
x
1
x
2
，有
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
，则
f
(
x
)
在
I
上单调减少
例
证明
y<
/p>
3
x
2
在其定义域内的单调性
8
（任务
7
）
3
、
奇偶性
设
I
是
个
对
称
区
域
，
如
果
任
意
的
x
< br>I
，
有
教
师
分
别
讲解
黑
板
演示
学
生
听讲
50
分钟
f
(-x)
f(x)
，则称
f
(
x
)
在
I
上是偶函数；如果任
意的
x
I
，有<
/p>
f(-x)
-f(x)
，则称
f
(
x
)
在
I
上是
< br>奇函数
例
判断下列函数的奇偶性
（
1
）
y
3
x
-
5
x
7
4
2
（
2
）<
/p>
y
2
x
sin
x
3
（
3
）
y
1
-
x
x
a
-
a
2
4
、
周期性
如果存在不为零的数
T
,
使得任意的
x
I
，
有
f
(x
T)
f
(
x
)
，则称
f
(
x
)
< br>在
I
上周期函数。
例如正弦函数
sin
(x
2
)
si
nx
，
2
是
最小正
周期。
复合函数的合成与分解
这是重点内容，直接涉及后面的复合函数求导
例
y
9
（任务
8
）
x
分解：
2
x
y
u
,
u
cos
v
,
v
2
cos
x
2
1
教
师
讲解
学
生
演练
黑
板
演示
黑
板
展示
<
/p>
学
生
讨
论
学习
45
分钟
例
y
e
sin
分解
<
/p>
y
e
u
,
u
sin
v
,
v
x
2
1
练习
：分解下列复合函数
(1)
y
2
x
2
x
2
e
x
2
(2)
y
2
x
1
< br>
(4)
(5)
y
cos
(6)
y
e
100
2
(3)
y
[sin(3x
5)]
y
sin
2
(1
2x
)
1
x
-
1
ln
sin
x
注意
：复合函数分解到简单函数为止。简单函数就
是有基本初等函数经过有限次四则运算合成
的函
数。
10
操练
深化
作业
课后
体会
应用案例在课堂进行中解答
学
生
自
行
研究
将案例
6
上作业
设二室一厅的商品房价值
100000
元，某人自筹资金
40000
元，要
购房还需要借款
60000
元，条件是每年还一些，
25
年还清，房子就归债权
人，该人
具备什么能力才能借款？
55
分钟
2.1
极限
单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
极限
能力目标
教
学
目
标
单元教学学时
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
8
第
3
、
4
、
5
、
6
次
素质目标
➀深刻思维能力
能够熟练掌握极限的六种过程
极限
6
种过程
➁团结合作能力
➂语言表达能力
任务
1
查阅资料，了解极限的含义
任务
2
阅读课本，学习极限
x
能
力
训
练
任
务
及
案
例
x
0
任务
3
在任务<
/p>
2
完成的基础上，自学
x
x
0
，
x
x
0
，
x
，
x
<
/p>
，
x
1
1
1
分给老大，
分给老二，
2
3
9
1
17
分
给老三，请问改怎么分？提示：采取极限思想，一头牛分
，剩下
。答案：老大
9
头，老二
18
18
案例
1
（老人分遗
产）
一个老人有
< br>17
头牛，他打算把这
17
头牛
的
6
头，老三
2
头牛。
案例
2
（无穷直角三角形面积）
案例
3
x
li
m
e
-
x
，<
/p>
lim
e
-
x<
/p>
，
lim
e
x<
/p>
，
lim
e
x<
/p>
x
-
x
x
-
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学
方法
教学
手段
学生
活动
时间
分配
1
（告
知）
本单元学习目标：
函
数
的
六
种
极
限
过
程
x
x<
/p>
0
，
x
x
0
，
陈述
板书
识记
2
分钟
x<
/p>
x
0
，
x
，
x
，
x
学
生
2
（引入
任务
1
）
查阅资料
了解极限含义
阅读课本，学习极限<
/p>
x
设一个函数
（
1
）
x
<
/p>
x
0
阅
读
自
主
讨论
教
师
提示
分
组
研讨
5
分钟
y<
/p>
f
(
x
)
，给定点
x
0
x
从右侧（数轴的正方向）
x
0
< br>表示自变量
趋向
x
0
，随着
x
从右侧趋向
x<
/p>
0
,f(x)
函数值趋向一个数，
这个数就是
f(x)
的极限，记作
（
2
）举例
例
1
计算
lim
(x
x
1
2
x
x
0
lim
f
(
x
)
。
1)
y
x
2
1
的图像是
10
8
6
画
图
法
教
师
启
板书
发
< br>讲
1
1
x
5
10
3
（任务
2
）
4
师
生
研讨<
/p>
30
分钟
<
/p>
2
可
见
，
随
着
x
1
时
，
x
1
2
。
因
此
2
解
<
/p>
2
lim
(x
2
1)
=2
x
1
注：此
极限
2
也就是把
x=1
代入
x
2
< br>1
所得到的。
x
2
-
1
例
< br>2
计算
lim
x
1
x
-
1
这个极限就不能直接把
x=1
导入到函数里面，因
为无意义。所以应当先分解
。
x
2
-<
/p>
1
lim
<
/p>
lim
(x
1)
2
<
/p>
x
1
x
-
1
x
1
练习
1
、
lim
(3x
x
-
4)
x
2
2
x
2
-
4
2
、
lim
x
2
x
-
2
x<
/p>
2
-
7
x
12
3
、
lim
2
x
4
x
-
5
x
< br>4
教
师
引
导
4
（任务
3
）
在任务
2
完成的基础上，自学
x
x
0
，
x
< br>x
0
，
法
学
生
演示
学
生
讨论
<
/p>
x
，
x
，
x
学
生
练
习
法
60
分钟
求解下列极限：
< br>-
x
,
x
0
例
1
f(x)
1
,
x
0<
/p>
，
画
出
函
数
图
像
，
讨
论
x
,
x
0
lim
-
f
(
x
)
，
lim
f
(
x
)
，
lim
f
(
x
)
<
/p>
x
0
x
0
x
0
5
（操练）
-
1
,
x
0
例
2
signx
0
,
x
0
1
< br>,
x
0
lim
f
(
x
)
，
l
im
f
(
x
)
x
0
x
0
，
讨
论
lim
-
f
(
x
)
x
0
，
< br>教
师
提
示
，
黑
板
学
生
讨论
30
分钟
n
引
导
演示
例
3
lim
n
n
1
学
生
2
x
1
,
x
< br>0
例
4
f(x)
，
lim
-
f
(
x
< br>)
，
lim
< br>f
(
x
)
注意
x
0
x
0<
/p>
x
,
x
0
a
0
x
n
a
1
x
n
-
1
a
n
例<
/p>
5
分析
lim
x
b
x
n
b
x
b
0
< br>1
n
-
1
n
,
m
n
a
0
x
n
a
1
x
n
-
1
< br>
a
n
a
0
K
ey:
lim
< br>,
m
n
x
b
x
m
b
x
m
-
1
b
0
1
< br>m
b
0
0
,
m
n
6
（案例）
案例在课堂进行中解答
作业
21
页
1
课后
体会
2.2
无穷小
无穷大
单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
无穷小
无穷大
能力目标
➀能够理解无穷小的概念
➁能够应用无穷小性质计算某些函数极限
➂能够理解无穷大的概念
➃能够掌握
无穷小和无穷大的倒数关系，
并相互求解
无穷小
无穷大
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
单元教学学时
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
4
第
7
、
8
次
素质目标
教
学
目
标
任务
1
无穷小概念
能
力
训
练
任
务
及
案
例
任务
2
阅读课本，学习无穷小性质及应用
任务
3
学习无穷大概念，理解无穷大与无穷小关系
1
x
0
x
2
1
1
案例
2
求
lim
sin
2
x
x
x
x
1
案例
3
求
f
(
x
)
在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。
x
-
1
案例
1
求
lim
x
cos
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方
法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告
知）
本单元学习目标：
无穷小，无穷大
陈述
板书
识记
5
分钟
学生阅读，无穷小概念
极限为零的函
数叫做在该极限过程下的
无穷小。特别注意，无穷小不是很小很
小的数。
2
（引入
任务
1
）
例
下列函数在什么情况下是无穷小？
（
1
）
y
学
生
阅
读
自
主
讨论
教师提示
分组研讨
15
分钟
1
x
-
1
x
（
2
）
y=2x-1
（
3
）
y
2
1
（
4
）
y
< br>
4
无穷小性质
（
1
）四条无穷小性质中
最重要的是什么？
a)
b)
c)
有限个无穷小的代数和是无穷小
无穷小与无穷小的积是无穷小
常数与无穷小的积是无穷小
有限个无穷小的积是无穷小
x
3
（任务
2
）
d)
（
2
）计算
教
师
启
发讲解
板书
师生研讨
30
分钟
1
x
0
x
3
1
3
例
lim
x
s
in
x
0
x
1
1
例
lim
s
in
x
x
x
例
lim
x
cos
无穷大
在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的
函数叫做在该极限
过程下的无穷大。
（
1
）无穷大就是很大很大的一个数吗？
（
2
）无穷大与无穷小什么关系
无穷大与无穷小是倒数关系。
教
师
引
导法
学
生
练
习法
学生演示
学生讨论
15
分钟
4
（任务
3
）
下列函数在怎么样的情况下是无穷大？
1
（
1
）
y
x
-
1
（
2
）
y=2x-1
（
3
）
y
2
, <
/p>
x
1
（
4
）
y
4
（
5
）
y=lnx
x
5
（操练
案例）
1
2
x
0
x
1
1
案例
2
求
lim
sin
2
x
x
x
x
1
案例
3
求
f
(
x
)
< br>
在什么情况下是无穷
x
-
1
案例
1
求
lim
x
cos
教
师
提
示
，
引
导
学
生
注意
学生讨论
30
分钟
小，在什么情况下是无穷大。
作业
22
页
2 5 6
课后
体会
2.3
两个重要极限
单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
单元教学学时
两个重要极限
能力目标
教
学
目
标
➀能够理解
lim
8
第
9
、
10
< br>、
11
、
12
< br>次
素质目标
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
掌握
lim
sin
x
< br>0
并应用
x
< br>
0
x
x
sin
x
0
x
0
x
x
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
< br>1
➁能够理解
lim
1
e
并应用
x
0
< br>x
➂能够运用无穷小替换求极限
1
掌
握
lim
1
e
<
/p>
x
0
x
掌握无穷小替换定理
任务
1
理解并证明
lim
任务
2
li
m
能
力
训
练<
/p>
任
务
及
案
例
sin
x
0
x
0
x
sin
x
0
在若干极限中的
应用
x
0
x
x
1
任务
3
理解
lim
1
e
x
0
x
1
< br>任务
4
lim
1
e
在若干极限中的
应用
x
0
x
任务
5
无穷小替换定理
-
< br>2
tan
x
3
< br>2
x
案例
1
求
lim
案例
2
求
lim
1
x
x
<
/p>
x
0
sin<
/p>
x
3
x
案例
3
求
证
x
0
，
e
-
1
与
x
是等价无穷小
1
3
sin
x
x
2
cos
x
注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决
案例
4
lim
x
0
1
cos
x
ln
1
<
/p>
x
x
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方
法
教学手段
学生活动
时间
分配
本单元学习目标：
1
（告
知）
l
im
sin
x
0
并应用
x
0
x
x
1
lim
1
e
并应用
x
0
x
运用无穷小替换求极限
陈述
板书
识记
5
分钟
<
/p>
学生阅读自学，
lim
sin
x
0
x
0
x
教
师
画
图讲解
（
1
）这个极限要注意三点，那三点？
2
（引入
任务
1
）
（
2
）这个
极限如何使用？
2
（
3
）这个极限如何证明？
教师提示
分组研讨
15
分钟
π
2
π
2
π
4
π
6
π
8
π
lim
sin
x
2
0
应用
x
0
x
学
生
先
讨
论
：
如
何
应
用
这
个
极
限<
/p>
？
3
（任务
2
）
sin
t
0
对吗？为什么？
t
< br>
0
t
4
sin
x
例
1
lim
x
0
2
x
sin
2
x
例
2
lim
6
x
0
x
sin
2
x
例
3
lim
x
0
3
x
tan
x
例
4
lim
8
x
0
x
lim
教
师
启
发讲解
板书
师生研讨
30
分钟
4
（任务
3
）
1
理解<
/p>
lim
1
<
/p>
e
x
0
x
x
教
师
画
图讲解
学生听讲
学生讨论
15
分钟
1
4
12
10
8
6
4
2
π
π<
/p>
π
3
π
3
π
（
1
）这个极限要
注意什么？
（
2
）你打算如何使用这个极限？
6
π
9
π
12
π
1
（
3
）
lim
1
e
??
t
0
t
1
lim
1
e
应用
x
0
x
1
例
1
lim
1
x
0
2
x
1
例
2
lim
1
< br>
x
0
x
例
3
x
x
x
t
教
师
提
示
，
引
导
学
生
注意
黑板演示
学生讨论
30
分钟
5
（任务
4
）
2
x
lim
1
x
1
x
（注：这个
也是公式）
x
1
例
4
lim
1
x
0
2
x
1
无穷小替换定理
设
~
，
~
< br>
lim
< br>lim
lim
lim
则
< br>
（
1
）无穷小替换要注意什么
事项？
6
（任务
5
）
（
2
）你都知知道那些常用等价无穷小
？总结
出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
教
师
讲
解
黑板演示
学生听讲
40
分钟
x
x
0
tan
2
x
tan
x
3
例
2
lim
x<
/p>
0
sin
x<
/p>
2
1
例
3
lim
x
sin
x
0
x
例
1
lim
ta
n
x
3
案例
1
求
lim
x
0
sin
x
3
案例
2
求
x
（要
求：两种方法）
-
2
2
x
lim
1
x
7
案例
案例
3
<
/p>
求
证
x
0
，
e
小
x
-
1
与
x
是等价无穷
教
师
指
导
45
分钟
案
例
1
3
sin
x
x
2
co
s
x
（注：这
4
lim
< br>x
0
1
cos
x
ln
1
x
个问题是个竞赛题，需要学生讨
论解
决）
作业
28
页
1 2
课后
体会
2.4
函数的连续性
单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
教
函数的连续性
能力目标
单元教学学时
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
4
第
13
、
14
次
素质目标
学
目
标
➀能够理解自变量增量、函数的增量概念
➁能够理解函数的连续的图像定义和两个公式定
义
➂能够理解函数的间断点并简单判断
掌握自变量增量、函数的
增量概念
掌握函数两个的定义
掌握间断点
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
任务
1
理解增量
任务
2
利用增量定义函数连续
能
力
训
练
任
务
及
案
例
任务
3
分辨间断点
案例
1
求
l
im
x
0
案
例
2
求<
/p>
lim
案例
3
x
1
1
x
2
x
1
-
1
< br>x
1
x
2
x
2
-
1
f
(
x
)
的间断点类型
x
(x
-
1)
案例
4
设
1
e
x<
/p>
,
x
0
，
问常数
a
何值时，
函数
f(x)
在
-
,
上连续
f
(
x
)
x
2
a
,
x
0
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方
法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告
知）
本单元学习目标：
增量
函数的连续性
陈述
板书
识记
5
分钟
间断点
增量
（
1
）自变量的增量
< br>
例
1
设一个物体以每秒
3
米的速度行
进
，
t
0
1
，
t
1
2
，
那
么
从
t
0
< br>1
到
t
1
2
时间增加了多少？这个增加的时
间
t
2<
/p>
-
1
1
就是时间的增量
例
2
y=2x+1,x
从
1
增加到
3.5
，
x
的增
量是多少？<
/p>
2
（引入
任务
1
）
<
/p>
（
2
）函数的增量
随着自变量的增量而改变的函数的增量
例
1
当
t<
/p>
0
1
到
t
1
2
时间增加时，路
程增加了多少？这就是时间
t
的函数路
程的增量。
例
2
x
从<
/p>
1
增加到
3.5
时，函数
y
增加
了多少？
以
后
自
< br>变
量
增
量
记
作
x
x
1
-
x
0
，
教
师
画
图讲解
教师提示
分组研讨
15
分钟
x
1
x
0
x
；
函
数
增
量
记
作
y
< br>
f
(
x
1
)
-
f
(
x
0
)
，
f
(
x
1
)
f
(
x
0
)
< br>
y
增量定义函数连续
y=f(x)
Δ
y
Δ
x
教
师
启
3
（任务
2
）
发讲解
函
数的连续，从图像上来说就是函数图
像不间断。
第
一
个
定
< br>义
：
函
数
在
x
0
连
续
，
那
么
x
0
x
0
x
0
+
Δ
x
注
意
< br>两
个
定
义
的过度
板书
师生研讨
30
分钟
l
im
y
0
第
二
个
定
义
：
函
数
在
x
0
连
续
，
x
< br>
x
0
lim
< br>f
(
x
)
f
(
x
0
)
根据连续性
求
lim
ln
(sinx)
，
lim
x
2
ln(1
x)
，
x
0
x
lim
arccos
(
x
2
x<
/p>
-
x
)
x
0
间断点
根据连续的第二个定义，启发学生，函
数在
一个点如果不连续，会有几种情
况：
（
1
）
lim
f
(
x
)<
/p>
与
lim
-
f<
/p>
(
x
)
均存在，
但
x
x
0<
/p>
x
x
0
是不相等
（
2
）
lim
f
(
x
)
与
lim
-
f
(
x
)
均存在（即
x
x
0
x
x
0
x
x
0
lim
f
(
x
)
< br>存在），但是不等于函数值
f
(
x
0
)
教<
/p>
师
画
x
x
0
4
（任务
3
）
（
3
）
lim
f
(
x
)
与
lim
-
f
(
x
)
至少一个不
x
x
0
图
讲
解
启
发
学
生
学生听讲
学生讨论
30
分钟
存在
1
例
1
判断
f
(
x
)
的间断点
x<
/p>
x
2
,
0
x
1
例
2
设
f
(
x
)
< br>
，讨论
f(x)
x
1
,
x
1
在
x=1
处的连续性，
1
是什么间断点
x<
/p>
4
,
x
0
例
3
f
(
x
)
x
，讨论
f(x)
在
1
,
x
0
x=0
处的连续性，
0
是什么间断点
案例应用
案例
1
求
l
im
x
0
5
（案例）
案例
2
求
lim
案例
3
x
1
1
x
2
2
x
1
-
1
< br>x
1
x
2
教
师
提
示
，
引
导
学
生
注意
黑板演示
学生讨论
50
分钟
x
-
1
f
(
x
)
的间断点类
型
x
(x
-
1)
x
案例
4
设
1
e
,
x
0
f
(
x
)
，
< br>问常数
x
< br>2
a
,
x
0
a
何值时，函数
f(x)
在
-
,
上连续
作业
34
页
7 8 9 10
课后
体会
3.1
导数概念
单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
导数概念
能力目标
单元教学学时
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
4
第
15
、
16
次
素质目标
教
学
目
标
➀能够变速直线运动速度、切线斜率
➁能够抽象出导数概念
➂能够利用导数概念计算导数
➃能够计算高阶导数
➄能够总结基本函数的导数运算公式
导数概念
左右导数
计算导数
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
任务
1
理解
变速直线运动速度、切线斜率
<
/p>
能
力
训
练
任
务
及
案
例
任务
2
抽象导数概念
任务
3
简单计算导数、高阶导数
任务
4
总结基本函数的导数运算公式
案例<
/p>
1
（电流强度模型）
电流强度模型
设在时间
[0,
t
0
]
这段时间内通过导线横截面的电流
是
Q
Q
(
< br>t
)
，利用导数概念分析电流强度
案例
2
（
细杆的线密度模型）
设一根质量非均匀分布的细杆放在
x
轴上，在
[0,x]
上的
质量是
x
的函数
m=m(x),
求杆上点<
/p>
x
0
处的线密度
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
二、教学设计
步骤
本单元学习目标：
瞬时速度，切线斜率
导数概念，高阶导数
教学内容
教学
教学
学生
时间
分配
方法
手段
活动
1
（告
知）
陈述
板书
识记
5
分钟
（<
/p>
1
）瞬时速度
设一个物体的路程与时间的函数是
s=s(t)
，试研究在
时刻
t
0
时的瞬时
速度
v
t
0
lim
s
(
t
0
t
)
-
s
(t)
t
0
t
学
生
< br>教师
画图
讲解
教师
提示
认
真
听讲
50
分钟
分
组
研讨
<
/p>
（
2
）切线斜率
2
（引入
任务
1
）
<
/p>
函数
y=f(x)
在
x
0
处的切线斜率
f
(
x
0
< br>
x
)
-
f
(x)
tan
lim
< br>
x
0
x
M
1
M
(
x
0
,
f
(
x
0
))
α
x
0
T
N
x
0
+
Δ
x
导数
< br>
通过任务
2
，抽象出任意函数
f=f(x)
在
x
0
的导数概念
3
（任务
2
）
f
(
x
0
x
)
-
s
(x
)
x
0
x
f
(
x
)
-
f
(
x
0
)
<
/p>
lim
x
x<
/p>
0
x
-
x
0
f
(
x
0
x
)
-
s
(x
)
< br>f
x
0
l
im
x
0
x
右导数
：
f
(
x<
/p>
)
-
f
(
x
0
)
lim
x
x
0
x
-
x
0
f
(
x
0
x
)
-
s
(x
)
f
-
x
0
lim
-
x
0
x
左导数：
f
(
x
)
-
f
(
x
0
)
lim
-
x
x
0
x
-
x
0
f
<
/p>
x
0
lim
例
求
y
x
在
x=2
处的导数
例
求
y
sin
x
在
x
0
处的导数
例
求
y
cos
x
在
x
0
处的导数
例
设
f
(
x
)
x
x
1
x
2
x
< br>3
x
n
,
求
f
0
求
f
a
< br>3
教师
启发
讲解
注意
两个
定义
公式
板书
师
生
研讨
50
分钟
例
设
f
(
x
)
x
a
x
< br>
,
其中
x
在
x
a
处连续，
例
设
函
数
f
x
在
x
a
处
可
导
，
且
lim
h
0
h
1
，求
f
a
f
(
a
2
h
)<
/p>
f
(
a
)
4
高阶导数
在一阶导数的基础上再求导就是二阶导数
在二阶导数的基础上再求导就是三阶导数
以此类推
4
（任务
3
）
dy
dx
d
2
y
二阶导数记作：
< br>y
,
2
dx
d
3
y
三阶导数记作：
y
,
3
dx
n
(
n
)
d
y
n
阶导数记作：
y
,
n
dx
3
例
<
/p>
计算
y
x
的二阶导数
一阶导数记作：
y
,
例
< br>
计算
y
sin
x
的二阶导数
例
计算
y<
/p>
cos
x
的二
阶导数
总结基本初等函数的导数运算公式
1
(
C
)
0
(
x
)
x
< br>
(1)
(2)
(3)
(sin
x
< br>)
cos
x
< br>
(4)
(cos
x
)
sin
x
2
2
(tan
x
)
sec
x
(cot
x
)
csc
x
(5)
(6)
教师
启发
讲解
板书
师
生
研讨
40
分钟
(7)
(8)
5
（任务
4
）
(sec
x
)
sec
x
tan
x
(csc
< br>x
)
csc
x
cot
< br>x
x
x
x
x
(
a
)
a
ln
a
(
e
)
e
(9)
(10)
(11)
学生
讨论
总结
30
分钟
(
log
a
x
)
1<
/p>
x
ln
a
1
(ln
x
)
x
，
(12)
(14)
(13)
(arcsin
x
)
1
1
x
2
1
1
< br>x
2
(arccos
x
)
1
1
< br>x
2
1
1
x
2
(16)
(15)
(arctan
x
)
(arccot
x
)
案
例应用
案例
1
电流强度模型
< br>设在时间
[0,
t
0
]
这段时间内通过
学生
分
组
自主
学习
法
学
生
讨论
35
分钟
5
（案例）
导线横截面的电流是
Q
Q
(
t
)
，利用导数概念分析电
流强度
案例
2
细杆的线密度模型
设一根质量非均匀
分布的细
杆放在
x
轴上，在
[0,x]
上的质量是
x
的函数
m=m(x),
求
杆上点
x
0
处的线密度
作业
默写基本初等函数导数公式
课后
体会
3.2
求导法则
单元教学设计
一、教案头
单
元
标
题：
授课班级
求导法则
能力目标
教
学
目
标
➀能够掌握导数的四则运算并运用
➁能够掌握复合函数求导数法则并运用
➂能够掌握反函数求导法则并运用
➃能够掌握隐函数求导法则并运用
➄能够掌握对数求导法则并运用
➅能够掌握参数方程求导法则并运用
导数运算法则
6
条
单元教学学时
在整体设计中的位置
上课地点
知识目标
8
第
17-20
次
素质目标
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
任务
1
导数的四则运算
任务
2
复合函数求导数法则
任务
3
反函数求导法则
任务
4
隐函数求导法则
能
< br>力
训
练
任
务
及
案
例
任务
5
对数求导法则
任务
6
参数方程求导法则
案例
1
f(
x
)
x
sin
x
，求
f
(
x
)<
/p>
，
f
(
x
)
1
cos
x
案例
2
（注水问题）
若水以
2
立
方米
/
分的速度灌入一个高为
10
米的、底面半径是
5
米的圆锥形水槽中，问
当水深为
6
米时，水位的上升速度是多少？
案例
3
求方程
x
a
cos
t
dy
的值，再求二阶导数
(0
t
2
)
所确定的一阶导数<
/p>
dx
y
c
sin
t
d
2
y
dx
2
案例
4
求由方程
x
y
-
e
2
x<
/p>
e
y
0
确定的隐函数的导数
教
学
材
料
高等数学教材
侯风波主编
高等教育出版社
高等数学习题集
张天德主编
山东科技出版社
高等数学应用
205
例
李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础
顾静相主编
高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方
法
教学手段
学生活动
时间
分配
本单元学习目标：
导数的四则运算
1
（告
知）
复合函数求导数法则
反函数求导法则
隐函数求导法则
对数求导法则
参数方程求导法则
陈述
板书
识记
10
分钟
导数的四则运算
（
< br>1
）学生阅读教材
47
页内容<
/p>
（
2
）学生总
结导数如何四则运算
（
3
）
u
(
x
)
v
(
x
)
u
(
x<
/p>
)
v
(
x
)
u
(
x
)
v
(
x
)
u
(
x<
/p>
)
v
(
x
)
u(x)
v
(x)
2
（引入
任务
1
）
<
/p>
u
(
x
)
u
(
x
)
v
(
x
)
-
u
(
x
)
v
(
x<
/p>
)
2
v
(
x
)
v
(
x
)
3
2
例
y
2<
/p>
x
x
1
,
求
y
x
例
y
xe
2
x
，求
y
dy
例
y
log
a
x
，求
dx
dy
x
例
y
e
sin
x
，求
dx
例
y<
/p>
求
y
复合函数求导数
（
1
）学生阅读
49
< br>页内容总结如何求复
合函数的导数
（
2
）
设
y
f
[
<
/p>
(x)]
，
则
分
解
成
教
师
讲
解
学
生
认
真
教师提示
听讲
分组研讨
45
分钟
x
cos
4
x
4
ln
x
<
/p>
sin
7
，<
/p>
y
f
(
u
),
u
(
x
)
。所以
y
x
< br>y
u
u
x
3
（任务
2
）
（
3
）例
<
/p>
y
sin
例<
/p>
y
2
2
x
，求
y
a
-
x
，求
y
x
例
y
ln
tan
< br>，求
y
2
例
y
sin
ln
2<
/p>
x
1
，求
y
例
假设气体以
100
立方厘米
/
秒的速度
注入气球，假定气体的压力不变，那么
当半径是
10
厘米时，气球半径增加的
速率是多少？
教
师
启
发讲解
板书
师生研讨
45
分钟