九年级下册人教版数学知识点归纳教学提纲
-
学习资料
第二十二单元
二次函数
一、二次函数概念：
1
．二次函数的概念：一般地，形如
y
ax
2
bx
c
（
a
< br>，
b
，
c
是常数，
a
0
）的函数，叫做二
次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数
a
0
，而
b
，
c
可以为
零．二次函数的定义域是全体
实数．
2.
二次函数
y
ax
2
bx
c
< br>的结构特征：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是
2
．
⑵
a
，
b
，
c<
/p>
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一次项系数，
c
是常数
项．
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式
y
< br>a
x
h
2
k
的性质：
a
的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
向上
h<
/p>
，
k
X=h
x
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
< br>h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
h
时，
y
有最小值
k
．
a
0
向下
h<
/p>
，
k
X=h
x
h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
< br>h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
h
时，
y
有最大值
k
．
三、二次函数图象的平移
1.
平移步骤：
方法一：⑴
将抛物线解析式转化成顶
点式
y
a
x
h
2
k
，确定其顶
点坐标
h
，
k
；
⑵
保持抛物线
y
ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
h
，<
/p>
k
处，具体平移方法如下：
y=ax
2
向上
(
k
>
0
)
【或向下
(
k
<0)
】平移
|k
|<
/p>
个单位
y=ax
2
+
k
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
向右
< br>(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位
平移
|
k|
个单位
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<0)
】
平移
|k
|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<0)
】平移
|k
|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
+k
各种学习资料，仅供学习与交流
2.
平移规律
在原有函数的基础上
“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移
”
．
概括成八个字“左加右减，上加下减”
．
方法二：
⑴
y
ax
2
bx
c
沿<
/p>
y
轴平移
:
向上
（下）平移
m
个单位，
y
ax
2
bx
c
变成
y
ax
< br>2
bx
c
m
（或
y
ax
2
bx
c
m
）
⑵
y
ax
2
bx
c
沿轴平移：向左（右）平移
m
个单位，
y
ax
2
bx
c
变成
y
a
(
x
m
)
2
b
(
x
m
)<
/p>
c
（或
y
a
(
x
m
)
2
b
(
x
< br>
m
)
c
）
四、二次函数
y
a
x
h
2
k
与
y<
/p>
ax
2
bx
c
的比较<
/p>
从解析式上看，
y
a
x
h
2
<
/p>
k
与
y
ax
2
bx
c
是两种不同的表达形式，
后者通过配方可
2
以得到前者，即
y
a
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
x
2
a
4
a
，其中
h
2
a
，
k
4
a
．
五、
二次函数
y
ax
2
bx
c
图象的画法
五点绘图法：利用配
方法将二次函数
y
ax
2
bx
c
化为顶点式
y
a
(
x
h
)
2
k
，
确定其
开口方向、对称轴及顶
点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.
一般我们选
取的
五点为：顶点、与
y
轴的交点
0
，
c
、以及
0
，
c
关于对称轴对称
的点
2
h
，
c
、与
x<
/p>
轴的
交点
x<
/p>
1
，
0
，
x
2
，
0
（若与
x
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）
.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点
< br>.
六、二次函数
y
ax
2
bx
c
的性质
1.
当
a
0
时，抛
物线开口向上，对称轴为
x
b
b
4
ac
b
2
2
a
，顶点坐标为
2
a
，
4
a
．
当
x
b
2
a
时，
y
随
x
的增大而减小；
< br>当
x
b
2
a
时，
y
随
x
的增大而增大；
当
x
b
2
a
时，
y
有最小值
4
ac
< br>
b
2
4
a
．
2.
当
a
0
时，
抛物线开口向下，
对称轴为
x
b
b
4
ac
b
2
< br>
b
2
a
，
顶点坐标为
< br>
2
a
，
4
a
．
当
x
2
a
学习资料
<
/p>
时，
y
随
x
的增大而增大；当
x
b
2
a
时，
y
随
x
的
增大而减小；当
x
b
2
a
时，
< br>y
有最大值
4
ac
b
2
4
< br>a
．
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式：
y
ax
2
bx
c
（
a
，<
/p>
b
，
c
为常数，
a
0
）
；
2.
顶点式
：
y
a
(<
/p>
x
h
)
2
k
（
a
，
h
，
k
为常数，
a
0
）
；
3.
两根式：
y
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
（
a
0
，
x
1
，
x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）
.
注意：任何二次函数的
解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成
交点式，只有抛物
线与
x
轴有交点，即
b
2
4
ac
< br>
0
时，抛物线的解析式才可以用交点式
表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.
二次项系数
a
二次函数
y
ax
< br>2
bx
c
中，
a
作为二次项系数，显然<
/p>
a
0
．
a
决定了抛物线开口的大小
和方向，
a
的正负决定开口方向，
a
的大小决定开口的大小．
2.
一次项系数
b
在二次
项系数
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线的对称轴．
ab
< br>的符号的判定：对称轴
x
<
/p>
b
2
a
在
y
轴左边则
ab
<
/p>
0
，在
y
轴的右
侧则
ab
0
，概
括的说就是“左同右异”
3.
常数项
c
c
决定了抛物线与
< br>y
轴交点的位置．
总之，只要
a
，
b
，
c
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定
的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解
析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.
已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.
已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.
已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. <
/p>
已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式
．
九、二次函数与一元二次方程：
1.
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
x
轴交点情况）：
一元
二次方程
ax
2
bx
c
0
是二次函数
y
< br>ax
2
bx
< br>
c
当函数值
y
0
时的特殊情况
.
图象与
x
轴的交点个数：
各种学习资料，仅供学习与交流
①
当
b
2
4
ac
0
时，图象与
x
轴交于两点
A
x
1
，<
/p>
0
，
B
x
2
，
0
(
x
1
x
2
)
，其中的
x
1
< br>，
x
2
是一
2
的两根．
这两点间的距离
AB
x
b
2
元二次方程
ax
bx
c
<
/p>
0
a
0
4
ac
2
x
1
a
.
②
当
0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
③
当
0
时，图象与
x
轴没有交点
.
1'
当
a
0
时，图象落
在
x
轴的上方，无论
x
为任何实数，都有
y
0
；
2
'
当
a
<
/p>
0
时，图象落在
x
轴的下方，
无论
x
为任何实数，都有
y
0
．
2.
抛物线
y
ax
2
bx
c
的图
象与
y
轴一定相交，交点坐标为
(0<
/p>
，
c
)
；
3.
二次函数常用解题方法总结：
⑴
求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵
求二次函数的最大（小）值需要利
用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶
根据图象的位置判断二次函数
y
ax
2
bx
c
中
a
，
b
，
c
的符号，或由二次函数中
a
，
b
，
c
的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷
二次函数的图象关于对称轴对称，
可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与
x
轴的
一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
.
第一单元
二次根式
1
、二次根式
式子
a
(
a
0
)
叫做二次根式，二次根式必须满
足：含有二次根号“
”
；被开
方数
a
必须是非负数。
2
、最简二次根式
< br>若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开
得尽
方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
< br>（
1
）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用
商的算数平方根的性质
把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（
2
）
如果被开方数是整数或整式，
先将他们分解因数或因式，
然后把能开得尽
方的因数或因式开出来。
3
、同类二次根式
< br>几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫
做同
类二次根式。
4
、二次根式的性质
学习资料
（
1
）
(
a
)<
/p>
2
a
(
a
0
)
a
(
a
< br>0
)
（
2
）
a
2
a
a
(
a
0
)
（
3
）
ab
a
•
b
(
a
0
,
b
0
)
（
4
）<
/p>
a
b
a
b
(
a
0
,
b
0
)
5
、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，
有括号的先算括号里的（或先去括号）
。
第二单元
一元二次方程
一、一元二次方程
1
、一元二次方程
< br>含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的整式方程
叫做一元二次方程。
2
、一元二次方程的一般形式
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数
x
的二次多项
式，等式右边是零，其中
ax
2
叫做二次项，
a
叫做二次项系数；
bx
叫做一次项，
b
叫
做一次项系数；
c
< br>叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1
、直接开平方法
< br>利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接
开平方法适用于解形如
(
x
a
)
2
b
的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
x
a
是
b
的平方根，当
b
0<
/p>
时，
x
a
b
，
x
a
b
，当
b<0
时，方程没有
实数根。
各种学习资料，仅供学习与交流
2
、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在
数
学
的
其
他
领
域
也
有
< br>着
广
泛
的
应
用
。
配
方
法
的
理
论
根
据
是
完
全
平
方
公
式
a
2
< br>2
ab
b
2
(
a
b
)
2
，<
/p>
把
公
式
中
的
a
看
做
未
知
数
x
，
并
用
x
代
替
，
则
有
x
2
2<
/p>
bx
b
2
(
x
b
)
2
。
3
、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般
方法。
一元二次方程
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
的求根公式：
x
b
b
< br>2
4
ac
2
a
(
b
2
4
ac
0
)
4
、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易
行，是
解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一
元
二
次
方
程
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
中
，
b
2
4
ac
叫
做
一
元
二
次
方
程
ax
2
bx
c
0
(<
/p>
a
0
)
的根的判别式，通常用“
”来表示，即
b
2
4
ac
①当△
>0
时，一元二次方程有
< br>2
个不相等的实数根；
②当△
=0
时，一元二次方程有
2
个相同的实数根；
③当△
<0
时，一元二次方程没有实数根
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程
ax
2
< br>bx
c
0
(
a
0
)
的两个实数根是
x
1
，
x
2
，那么
x
1
x
2
b
a
，
x
c<
/p>
1
x
2
a
。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于
方程
的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项<
/p>
系数所得的商。