苏科版-数学-九年级上册- 导学案 12课时
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初中
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数学
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第一课时
一元二次方程
一
、学习目标
1
正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2
知道一元二次方程的一般形式是
ax
bx
c
0
(
a
、
b
、
c<
/p>
是常数，
a
0
）
，
能说出
二次
项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3
理解并会用一元二次方程一般形式中
a
≠
0
这一条件
4
通过问题情境，进一步体会学习和探究
一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，
又能为生活服务，从而激发学习热情
，提高学习兴趣。
二
、知识准备：
1
、只含有
____________
个未知数，且未知数的最高次数是
___________
的
整式方程叫一元一
次方程
2<
/p>
、方程
2
（
x+
1
）
=3
的解是
________________
3
、
方
程
3x+2x=0.44
含
有
_______
个
未
知
数
，
含
有
未
知
数
项
的
最
高
次
< br>数
是
_______________
，它
____________
（填“是”或“不是”）一元一次方程。
三
、学习内容
1
、
根据题意列方程：
⑴正方形桌面的面积是
2
㎡，求它的边长。
设正方形桌面的边长是
xm
，根据题意
,
得方程
_______________
，这个方程含有
_____
个未知
数，未知数的最高次数是
_____
。
⑵如图
4-1
，矩形花园一面靠墙，另外三
面所围的栅栏的总长度是
19m
，如果花园的面积是
24
㎡，求花园的长和宽。
设花园的宽是
xm,
则花园的长是（
19
－
2x
）
m,
根据题意，得：
x(19
－
2x)=24
，去括号，
得
:______________
这个方程含有
____________
个未知数，含
有未知数项的最高次数是
________
。
< br>
⑶如图，长
5m
的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是
3m
。若梯子
底端向右滑动的
距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（
3
＋
x
）＋设梯子滑动的
距离是
xm
，
根据勾股定理，滑动的梯
子的顶端离地面
4m
，则滑动后梯子的顶端离地面（
4
－
x
）
m
，梯子的底
端与墙的距离是（
3
＋
x
）
m
。
2
（
4
x
）
（
3
x
）
25
根据题意，得：
去
括号，得：
_____________________
移项
，合并同类项，得：
-_________________
此
方程含
有
_____________
个未知数，含有未知数项的最高次数是
______
。
2
、概括归纳与知识提升：
⑴像
2
x<
/p>
19
x
24
0
，
x
x
0
，
x
2
这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最
高次
数是
2
的方程叫一元二次方程。
〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。
2
2
2
2
2
初中
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数学
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初中<
/p>
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数学
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1
x
2
2
y
3
，
x
2
x
3
< br>4
0
，
x
2
2
x
3
x
2
，
x
2
1
.
3
(2)
任何一个关于
x
的一元二次方程都可以化成下面的形式：
ax
b
x
c
0<
/p>
(
a
、
b
、
c
是常数，
a
0
）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中
2
ax
2
、
bx
、
c
分别叫做二次项、一次项和常数项，
a
、
b
分别叫做二次项系数和一次
项系数。
练习：
把下列方程化成一元
二次方程的一般形式，
并写出它的二次项系数、
一次项系数和常
数
项：
（
1
）
x
（
11<
/p>
－
x
）
=30
（
2
）（
20
＋
2x
）（
4
0
－
x
）
=1
200
（
3
）
3
x
(
x
2
)
2
(
x
2
)
（
4
）
x
x
3
四、
知识梳理
含有
_____________
个未知数，
并且含有未知数的最高次数是
_____________
< br>的整式方程叫一元
二次方程，
它的一般形式是
_______________________
，
二次项是
_________
，
一
次项是
_________
，
常数项是
_________
。
五
、达标检测
1
、方程
x
（
4x+3
）
=3x+1
化为一般形式为
_____________
，它的二次项系数是
______
________
，
一次项系数是
__
_____________
，常数项是
__________
__________
2
、
(1)<
/p>
方程
x
nx<
/p>
7
n
中，有一个根为
2
，则
n
的值
.
(2)
一元二次方程
m
<
/p>
1
x
x
m
1
0
有一个解为
0
，试求
2
m
1
的解
2
2
2
2
3
、根据题意列方程
（
1
）一个矩形纸盒的一个面中长比宽多
2
㎝，这个面的面积是
15
㎝
2
，求这个矩形的长与宽；
(2)
两个连续正整数的平方和是
313
，求这两个正整数；
(3)
两个数的和为
6
，积为
7<
/p>
，求这两个数；
(4)
一个长方形的周长是
30
㎝，面积是
< br>54
㎝
2
，求这个长方形的长与
宽。
（六）、学习反馈：
1
、本节课有困惑的题目是：
2
、本节课的学习收获是：
初中
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第二课时
一元二次方程的解法
一、学习目标
2
x
h
1
、了解形如
k
(
k
0
)
的一元二次方程的解法
——
直接开平方法。
2
< br>、会用直接开平方法解一元二次方程。
3
、理解直接开平方法与平方根的定义的关系。
4<
/p>
、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元思想。
二、知识准备
1
、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（<
/p>
1
）
5
4
x
x
（
2
）
5
3
x
2
（
3
）
y
y
1
y
2<
/p>
y
2
2
2
2
2
、要求学生复述平方根的意义。
（
3
）
4
的平方根是
，
81
的平方根是
，
100
的算术平方根是
。
三、学习内容
1
、如何解方程
x
4
0
呢？
由平方根的定义可知
x
4<
/p>
即此一元二次方程两个根为
x
1
2
,
x
2
2
< br>。我们把这种解一元
二次方程的方法叫直接开平方法。
2
形如方程
x
k
0
(<
/p>
k
0
)
可变形为
x
k
(
k
0
)
的形式，用直接开平方法求解。
2<
/p>
x
h
2
、形如
2
2
2
k
(
k
0
)
的方程的解法。
k
(
k
0
)
的方程时，可把
<
/p>
x
h
看成整体，然后直开平方程。
2
x
h
说明：（
1
）解形如
（
2
）注意对方程进行变形，方程左边变为一
次式的平方，右边是非负常数，
2
x
h
（
3
）如果变形后形如
2
x
h
（
4
）如
果变形后形如
k
中的
K
是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。
<
/p>
k
中的
k=0
这时可得方程两根
x
1
,
x
2
相等。
3
、试一试
解方程（
1
）
x
4
0
（
2
）
4
x
1
0
2
2
（
3
）（
x
＋
1
）
－
4
＝
0
；
（
4
）
12
（
2
－
x
）
－
9
＝
0.
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2
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四、知识梳理
1
、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；
2
a
(
x
k
)
b
（
a
≠
0,a
b
≥
0
）的方程，只要把
(
x
k
)
看作一个整体，就可转化为
2
、对于形如
x
2
n
（
n
≥
0
）的形式用直接开平方法解。
< br>3
、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？
五、达标检测
1
、解下列方程：
< br>2
2
2
2
（
1
）
x
＝
169
；
（
2
）
45
－
x
＝
0
；
（
3
）
12
y<
/p>
－
25
＝
0
；
（
4
）
4
x
+16
＝
0
2
、解下列方程：
< br>2
2
2
2
（
1
）（
x
＋
2
）
－
16
＝
0
（
2
）
(x
－
1
)
－
18
＝
0
；
（
3
）
(1
－
3x)<
/p>
＝
1
；
<
/p>
（
4
）
(2x<
/p>
＋
3)
－
25<
/p>
＝
0
（六）、学习反馈：
1
、本节课有困惑的题目是：
2
、本节课的学习收获是：
初中<
/p>
-
数学
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第三课时
一元二次方程的解法
一、学习目标
1
、经历探究将一元二次方程的一般（
n
≥
< br>0
）形式的过程，进一步理解配方法的意义
2
、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3
、会用配方法解二次项系数为
1
的一元二次方程，体会转化的思想方法
二、知识准备
1
、请写出完全平方公式。
2
2
（
a
＋
b
）
=
（
< br>a
-
b
）
=
2
、用直接开平方法解下例方程：
<
/p>
（
1
）
(
x
3
)
5
（
2
）
(
x
5
)
4
13
3
、思考：如何解下例方程
（
1
）
x
4
x
< br>4
16
（
2
）
x
10
x
25
9
三、学习内容
2
问
题
1
、
请
你
思
考
方<
/p>
程
(
x
3
)
5
与
x
6
x
4
0
有
什
么
关
系
，
如<
/p>
何
解
方
程
2
2
2
2
2
x
2
6
x
4
0
呢？
2
问题
2
、能否将方程
x
6
x
4
0
转化为（
x
m
)
n
的形式呢？
2
2
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为
（
x
＋
m
）
=
n
的形式（其中
m
、
n
都是常数），
如果
n
≥
0
，再通过直接
开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做
配方法
。
四、典型例题
< br>例
1
、解下例方程
（
1
）
x
－
4x
＋
3
< br>＝
0.
（
2
）
x
＋
< br>3x
－
1 = 0
2
2
例
2
、解下
列方程
（
1
）
x
－
6x
－
7
＝
0
；
（
2<
/p>
）
x
＋
3x
＋
1
＝
0.
四、知识梳理
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
初中
-
数学
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2
2
初中
-
数学
-
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1
、把常数项移到方程右边；
2
、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3
、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次
项系数一半的平方？
五、达标检测
1
、将下列各式进行配方：
⑴
x
＋
8x
＋
_____
＝
（
x + ____
）
⑵
x
－
5x
＋
_____
＝（
x- ____
）
2
2
（
3
）
x
－
6
2
x
＋
_____
＝
（
x - _____
）
2
2
2
2
2
、
.
填空：
2
2
（
1
）
x
6
x
< br>
（
）＝（
）
（
2
）
x
－
8x
＋（
）＝（
）
2
2
（
3
）
x
＋
x
＋（
）＝（
）
（
4
）
4
x
－
6x
＋（
）＝
4
（
）
3
、用配方法解方程：
（
1
）
x
＋
2x
＝
5
；
（
2
）
x
－
4x
＋
3
＝
0.
（
3
）
x
＋
8x
－
2
＝
0
（
4
）
x
－
5 x
－
6
＝
0.
（<
/p>
5
）
x
7
6
x
4
、试用配方法证明：代数式
x
+3x-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
15
的值不小于
-
。
2
4
（六）、学习反馈：
1
、本节课有困惑的题目是：
2
、本节课的学习收获是：
初中
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数学
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初
中
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数学
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打
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第四课时
一元二次方程的解法
一、
知识目标
2
1
、会用配方法二次项系数不为
1
的一
元二次方程
2
、经历探究将一般一元
二次方程化成（
x
m
)
n
(
n
0
)
形式的过程，进一步理解配方法的意
义
3
、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为
1
的一元二次方程
2
难点：把一元二
次方程转化为的
（
x
＋
m
）
=
n
< br>（
n
≥
0
）
形式
二、知识准备
1
、用配方法解下列方程：
2
2
(1)x
-6x-
16=0
；
(2)x
+3x-2=0
；
2
、请你
思考方程
x
-
2
5
2
x+1=0
与方程
2x
-5x+2=0
有什么关系？
< br>
2
三、学习内容
2
如何解方程
2x
-5x+2=0
？
点拨：
对
于二次项系数不为
1
的一元二次议程，我们可以先将两边同时除
以二次项系数，再利用
配方法求解
四、典型例题
例
1
、解方程：
3
x
8
x
1
0
例
2
、
-
3
x
4
x
1
0
< br>
五、知识梳理
1
、对于二次项系数不为
1
的一元二次方程，用配方法求解时
要注意什么？
2
、用配方法解一元二
次方程的步骤是什么？
系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程
六、达标检测
1
、填空：
初中
-
数学
-
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2
2
初中
-
数学
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(1)x
-
< br>2
2
1
2
2
2
x+ =(x- )
,
(2)2x
-3x+ =2(x- )
.
3
2
2
2
（
3
）
a
+b
+2a-4b+5=(a+ )
+(b-
)
2
2
、用
配方法解一元二次方程
2x
-5x-8=0
的步骤中第一步是
。
2
3
、方程
2(x+4)
-10=0
的根是
.
2
4
、用配方法解方程
2x
-4x+3=0
，配方正确的是（
）
2
2
A.2x
-4x+4=3+4 B.
2x
-4x+4=-3+4
C.x
-2x+1=
2
3
3
< br>2
+1 D.
x
-2x+1=-
+1
2
2
2
5
、用配方法解下列
方程：
（
1
）
2
t
7<
/p>
t
4
0
；
（
2
）
3
x
1
6
x
2
（
3
）
x
15
10
x
（
4
）
3y
-y-2=0
2
2
2
2
6
、已知
(a+
b)
=17
，
ab=3.
求
(a-b)
的值
.
（六）、学习反馈：
1
、本节课有困惑的题目是：
2
、本节课的学习收获是：
初中
-<
/p>
数学
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初中
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第五课时
一元二次方程的解法
一、知识目标
1
、会用公式法解一元二次方程
2
2
、
体验用配方
法推导一元二次方程求根公式的过程，
明确运用公式求根的前提条件是
< br>b
－
4
ac
≥
0
3
、在公式的推导过程中培养学生的符号感
重点：掌握一元二次
方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
难点：求根
公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误
二、知识准备
1
、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
2
、用配方法解下例方程
（
1
）
2
x
7
x
2
0
（
2
）
2
x
4
x
5
0
三、学习内容
2
如何解一般形式的一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
= 0
（
a
≠
0
）？
1
、阅读下列解方程的过程：
2
2
b
c
x
0
a
a
b
c
2
移项，得
x
x
a
a
b
b
c
b
2
配方，得
x
2
•
•
x
(
)
2
< br>
(
)
2
2
a
2
a
a
2
a
因为
a
0
，方程两边都除以
a
，得
x
2
b
2
b
< br>2
4
ac
)
即
(
x
2
a
4
a
2
当
b
4
ac
0
，时，
2
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
，即
x
。
x
2
a
2
a
2
a
2
、思考：
（
1
）为什么要求
b
4
ac
0
？
(2)
这个公式说明了什么？
（这个公式说明方程的根是由方程的系数
a
、
b
、
c
所确定
的，利用这个公式，我们可以由
初中
-
数学
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2
初中
-
数学
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一元二次方程中系数
a
、
b
、
c
的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。）
2
（
3
）若
b
–
4ac
＜
0
，方程还有根吗？
3
、请你利用求根公式
解下列方程：
2
2
⑴
x
＋
3x
＋
2
= 0
⑵
2
x
－
7x = 4
四、知识梳理
1
、用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2
、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
2
3
、若解一个一元二次方程时，
< br>b
－
4
ac
＜
0
，请说明这个方程解的情况。
五、达标检测
2
2
2
1
、把方程
4-x
=3x
化为
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
形式为
，
b
-4ac=
.
2
、用公式法解下列方程：
2
2
2
（
1
）
x
-2x-8=0
；
（<
/p>
2
）
x
+2x-
4=0
；
（
3
）
2x
-
3x-2=0
；
（
4
）
3x(3x-2)+1=0. <
/p>
（
5
）
2
x
x
6
0
（
6
）
x
4
x
2
3
、已知等腰三角形的底边长为
9
，腰是方程
x
10
x
24
0
的一个根，求这个三角形的周长。
2
2
2
（六）、学
习反馈：
1
、本节课有困惑的题目是：
2
、本节课的学习收获是：
初中
-
数学
-
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初
中
-
数学
-
打
印版
第六课时
一元二次方程的解法
一、学习目标
2
1
、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式
b
－
4
ac
对
根的情况的判断作用
2
2
、能用
b
－
4
ac
的值判别一元二次方程根的情况
3
、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
重点：一元二次方程根与系数的关系
难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值
二、
知识准备
1
、一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
= 0
（
a
≠
0
）当
b
4
ac
0
时，
X
1,2
=
2
、运用公式法解下例方程：
2
（
1
）
x
2
-4x+4=0 <
/p>
（
2
）
2x
2
-3x -4=0 (3)
x
+3x+5=0
2
2
三、学习内容
1
、情境创设
1
、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
2
2
2
⑴
x
＋
2x<
/p>
－
8 = 0
⑵
x
=
4x
－
4
⑶
x
－
3x =
－
3
2
、探索活动
1
、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗
？能
否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
3
、
解下列方程：
2
2
2
⑴
x
＋
x
－
1 = 0
⑵
x
－<
/p>
2
3
x
＋
3 = 0
⑶
2
x
－
2x
＋
1 = 0
4
、通过
解上述方程你能得出什么结论？
2
探索一元二次方程的根的情况与
b
－<
/p>
4
ac
的符号有什么关系？
四、知识梳理
2
1
、一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
= 0
（
a
≠
0
）
2
有两个不相等的实数根时
，
b
－
4
ac
2
有两个相等的实数根时，
b
－
4
ac
2
没有实数根时，
b
－
4
ac
初中
-
数学
-
打印版
初中
-
数学
-
打印版
2
、反过来呢？
3
、方程的根与系数又有怎样的关系？
五、达标检测
1
、不解方程，判断下列方程根的情况：
（
1
）
2
x
x
6
0
；
（
2
）
x
4
x
2<
/p>
；
（
3
）
4
x
1
3
x
（
4
）
3
x
－
x
＋
1 = 3x
2
2
2
2
（
5
）<
/p>
5
（
x
＋
1
）
= 7x
（
6
）
3
x<
/p>
－
4
3
x
=
－
4
2
2
2
2
2
、方程
3x
+2=4x
的判别式
b
-4ac=
，所以方程的根的情况是
.
2
3
、一元二次方程
x<
/p>
-4x+4=0
的根的情况是（
）
A.
有两个不等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
不能确定
4
、下列方程中，没有实数根的方程式（
）
2
2
A.x
=9
B.4x
=3(4x-1)
2
C.x(x+1)=1
D.2y
+6y+7=0
2
5
、方程
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
有实数根，那么总成立的式子是（
）
2
2
A.b
-4ac
＞
0 B.
b
-4ac
＜
0
2
2
C.
b
-4ac
≤
0
D. b
-4ac
≥
0
2
6
、如果方程
9x
-(k+6)x+k+1=0
有两个相等的实数根，那么
k= .
2
7
、关于
x
的方程
x
+2
k
x+1=0
有两个不相
等的实数根，则
k = .
8
、
已
知
方
程
x
-mx+n=0
有
两
个
相
等
的
实
数
根
，
那
么
符
合
条
件
的
一<
/p>
组
m
，
n
的
值
可
以
是
m= ,n= .
9<
/p>
、若关于
x
的一元二次方程
mx
2
x
1
0
有两个相等的实数根，则
m
满足
_
__________
。
10
、当
k
为何值时，关于
x
的方程
k
x
－（
2k
＋
1
）
x
＋
k
＋
3 = 0
有两个不相等的实数根？
2
2
2
（六）、学习反馈：
1
、本节课有困惑的题目是：
2
、本节课的学习收获是：
初中
-
数学
-
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