北师大版九年级数学上册全册教案
-
第一章特殊平行四边形
1.1
学习目标：
①
通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。
②
通过学生间的交流、计论、分析、
类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征
教学重点：菱
菱形的性质与判定（一）
形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。
教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。
学习过程：
活动一：
自学课本例题以上的内容，完成下列问题：
_
_____________________
的四边形叫做
菱形，生活中的菱形
有
_
___________________
2.
按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形
?
②菱形为什么是轴对称图形？
有
_
________
对称轴。
图中相等的线段有：
_
_________________________________
图中相等的角有：
_
__________________________________
③
你能从菱形的轴对称性中得到菱形
所具有的特有的性质吗？自己完成证明
证明
:
活动二：对比菱形与平行四边形的对角线
菱形的对角线：
平行四边的对角线
:
活动三：菱形性质的应用
1.
菱形的两条对角线的长分别是
6cm
和
8cm
，求菱形的周长和面积
性质
:
2.
如图，菱形花坛
ABCD
勺边长为
20cm,
/
ABC=60
沿菱形的两条对角线修建了两条小路
AC
和
BD
,
求两条小路的长和花坛的面积。
课效检测：
一、填空
（
1
）
菱形的两条对角线长分别是
于
_
______
。
（
2
）
菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是
3
：
2
,
菱形的四个内角是
_
______________
。
（
3
）
已知：菱形的周长是
20cm
，两个相邻的
角的度数比为
1
：
< br>2
,
则较短的对角线长
是
。
（
4
已知：菱形的周长是
< br>52 cm
,
—条对角线长是
24
cm,
则它的面积是
________________
。
12cm
,
16cm
，它的周长等于
____________
，面积等
、解答题
已知：如图，在菱形
ABCD
中，周长为
8cm
< br>, /
BAD=120
°
对角
线
AC,
BD
交于点
0
,
求这个菱形的对角线长和面积。
0
C
教学设计反思
本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。
学生已经学习了平行四边形的性质，
这
是本节的知识基础。关于菱形的定
义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条
件得到的。
1.1
菱形的性质与判定（二）
教学目标：
1
•探索并掌握菱形的判定方法，积累经验，并能综合运用，形成解决问题的能力；
2
•经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意
识和主动探究的习惯，初
步掌握说理的基本
< br>方法，发展有条理表达的能力
•
3
•通过设置问题情境丰富学生的生活经验，激发学生学习数学和应用数学的兴趣和意
识
教学重点：菱形的
判定方法
•
教学难点：菱形的判定方法的综合运用<
/p>
•
教学设计：模仿
-
猜想
-
论证
-
运用
教学过程：
一、
知识回顾
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的性质：
1.
四条边都相等；
轴对称图形。
二、
新课学习
1.
思考
（
1
）
：
除了运用菱形的定义，你能找出判定菱形的其他方法
吗？
猜想
1
:
如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么
^
这个平行四边形是菱形。
已知：平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
互相垂直
•
判定定理
< br>1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
.
2
.
两条对
角线互相垂直；
3
.
菱形是
]
求证：四边形
ABCD
是菱形
.
2
得出结论
:
3.
实际应用
:
4•
思考（
2
）：
除了运用对角线，你还有其他判定菱形的方法吗
?
猜想
2
：四边相等的四边形是菱形
.
已知：如图，四边形
ABCD
，
AB=BC=CD=DA
求证：四边形
ABCD
是菱形
思考：这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，<
/p>
形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道
,
这个结
论是不成立的
.
有三条边相等的四边
5.
得出结论：
判定定理
2
四条边都相等的四边形是菱形
.
三、随堂练习
1
、用两个边长为
a
的等边三角形纸片拼成的四边形是
（
）
A
.
等腰梯形
B
.
正方形
）
C
.
矩形
D
.
菱形
2
、下列说法中正确的是（
B
、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱
<
/p>
C
、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形
< br>
A
、有两边相等的平行四边形是菱形
D
、四个角相等的四边形是菱
形
四、课堂小结
判定四边形是菱形共有哪几种方法
?
五、板书设计
六、布置作业
教材
P7
习题
1.2
1
、
2
、
3
复习
（课题）
判定
1.
例
1.
判定
2.
判定
3.
例
2.
賣）
探究
（学生板演
七、教学反思
本节课，课前布置的任
务为本节课的探究做了有效的铺垫，学生资源的灵活运用提高
了学生参与探究
的兴趣，在证明思路的分析过程中体会了逆向思维、
一题多解等的数学思
想，另外
，学生通过经历“实
验一猜想一证明一应用”的探索过程提高了自身的科学素养。
1.2
矩形的性质与判定（一）
教学目标
知识与技能：了解矩形的有
关概念，理解并掌握矩形的有关性质
.
过程与方法：经过探索
矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；
情感态度
与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值
.
重难点、关键
重点：掌握矩形的性质，并学会应用
.
难点：理解矩形的特殊性
.
关键：把
握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行
四边形
.
教学准备
教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具
.
学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容
.
学法解析
1
.
认知起点：
已经学习了三角形、平行四边形、菱形，
？
积累了一定的经验的基础上学习
本节课内容
.
2
.
知识线
索：
情境与操作一平行四边形一矩形一矩形性质
.
3
.
学习方式：
观祭、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点
.
教学过程
一、联系生活，形象感知
矩形是平行
四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质
.
由此归纳直角三角形的一
个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
.
、范例点击，应用所学
例
1
如图，矩形
ABCD<
/p>
勺两条对角线相交于
0
：
线的长
.
（投影显示）
【问题探究】（投影显示）
如图，△
ABC
中，
/
A=2/ B, CD
l^
ABC
的高
,
AB
的中点，求证：
DE=1/2AC
思路点拨：
本题可从
E
是
AB
的中点切入，
考虑应用
三角形中位
线定理
.
应用三角形
中位线必需找到另一个中点
.
分析可知：可以取
BC
中点
F
，也
可以取
AC
的中点
G
为尝试
.
D
E
三、随堂练习，巩固深化
【探研时空】
已知：如图，从矩形<
/p>
ABCD
勺顶点
C
作对角线
BD
的垂线与
/
BAD
的平分线相交于点
E.
< br>求
证：
AC=CE
四、课堂总结，发展潜能
1
.
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，
特例，具有平行四边形所有性质
.
？
矩形是平行四边形的
2
.
性质归纳：
(1)
边的性质：对边平行且相等
.
(2)
角的性质：四个角都是直角
.
(3)
对角线性质：对角线互相平分且相等
.
(4)
对称性：矩形是轴对称图形
.
教学设计反思：
本节课依据新课标的要求
，设计的每
个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手
探究完成，以便
提高学生的探索创新思维和创造能力。
< br>
1.2
教学目标：
矩形的性质与判定（
二）
1.
理解并掌握矩形的判定方法
.
2.
使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学
生的分析能力。
重点、难点：
1.
重点：矩形的判定
.
2.
难点：矩形的判定及性质的综合应用
.
例题的意图分析
本节课的三个例题都是补充题，
例
1
的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的
条件，老师们
在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；
例
2
是利用矩形知识进行计
算；例
3
是一道矩形的判定
题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用
矩形定义及判定
等知识的
.
课堂引入
1.
什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2.
矩形有哪些性质？
3.
矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4.
事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物
，于是找来两根长度相等的
短木条和两根长度
相等的长木条制作，
你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看
谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法
.
矩形判定方法
1
：对角钱相等的平行四边形是矩形
.
矩形判定方法
2
：有三个角是直角的四边形是矩形
.
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了
.
因为由四边形内
角和可知，这时
第四个角一定是直角
.
）
例习题分析
例
1
（补充
）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（
1
）有一个角是直角的四边形是矩形；
（
2
）有四
个角是直角的四边形是矩形；
（马
(3)
四个角都相等的四边形是矩形；
(4)
对角线相等的四边形是矩形；
(5)
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
(6)
对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
(
为
(
为
(7)
对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
(8)
—组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
(
话
(9)
相等的四边形是矩形
.
(1)
所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
(%
两组对边分别平行，且对角线
(
力
指出：
(2)
所给四边形添加的条件是三个
独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义
和判定方法
证明
或举反例，才能下结论
.
例
2
(
补充
)
已知平行四边形
< br>ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于
-
点
0
,A
A
0B
是等
边三角形，
AB=4
cm
，求这个平行四边形的面积
.
分
析：首先根据厶
A0B
是等边三角形及平行四边形对角线互相<
/p>
平分的性质判定出
ABCD
是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值
.
例
3
(
补充
)
已知：如图
(
1
),
二
ABCD
< br>的四个内角的平
分线分别相交于点
D
E
，
F
，
G, H
.
求证：四边形
EFGH
是矩形
.
分析：要证四边形
EFGH
是矩形，由于此题目可分解出
基本图形，
如图
(
2
),
因此，可选用
三个角是直角的四边形
是矩形”来证明
.
随堂练习
1.
(
选择
)
下列说法正确的是
(
).
(
A
)
有一组对角是直角的四边形一定是矩形
(
B
)
有一组邻角是直角的四边形一定是矩
形
(
C
)
对角线互相平分的四边形是矩形
是矩形
(
D
)
对角互补的平行四边形
E
.
2.
已知：如图，在△
ABC
中，
/
C
=
90
°
CD
为中线，延长
CD
到点
E
,
使得
DE
二
CD
.
连结
AE
,
BE
，则四边形
< br>ACBE
为矩形
.
B
课后练习
1.
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行
:
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图
①），使
AB
=
CD
,
EF
=
GH
;
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是
_
_______________________
形，根据的数学道理
是：
____________
;
⑶
将直角尺靠紧窗框的一个角（如图
③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与
是：
________
:°
-u
CD
观
窗框无缝隙时（如图
④），说明窗<
/p>
AB=2AC
，求
/
A
、
/
B
的度数
.
框合格，这时窗框是
______________________________________________
形
，根据的数学道理
2.
在
Rt
A
ABC
中，
/
C=90°
,
教学反思
1.
灵活处理教材
2.
充分给学生以时间和空间
3.
应当注意的问题
1.2
矩形的性质与判定（
三）
【设计理念】
根据新课程标准要求，
学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。
学生是
学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。结合九年级学生的
实际情况，本节课教学过
程的教学设
计分以下几点：
1
、
充分考
虑了为学生提供动手实践、
研究探讨的时间与空间，
让学生经历
知识发生、
发展的全过程，
并能学以致用。
2
、
根据本
节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活
动性、开放性、
探究性、合作性、生成性。
3
、
教
师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。
4
、
学生积极参与到课堂教学中来，
动手动口动脑相结合，
使他们“听”有所思，“学” 有所获
.
【教材分析】
1.
在教材中的地位与作用
生活中随处可
见矩形，矩形的应用非常广泛。前面两节学习了矩形的性质与
判定，为
< br>
以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。
2.
对教材的处理
本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，
利用这节课来培养学
生
自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。转变学生的学习方式，使学生经历实践、推
理、交流等数学活
动过程，亲身体验数学思想方法
及数学观念，培养学生能力，促进学生
发展。在选题时
,
遵循学生的认识规
律
,
照顾学生的接受能力
,
配置由浅入深、由易到难的
练习题。教学中，通过有效措施让学生在对解决问题
过程的反思中，
获得解决问题的经验，
进行富有个性的学习。
3.
教学目标
知识与技能：通过探索与交
流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发
生过
程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的
方法。
过程与方法：
通过动手实践、合作探
索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
情感态度与价值观
：
在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动
中获得成功的体验，增强自信心，在合作学
习中增强集体责
任感。
4•
教学重点与难点
重点：理解矩形判定定理的应用
难点：矩形判定定理的应用
【教学方法与教学手段】
1
.
教学方法
探究发现、合作学习的方法
2.
教
学手段
采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率。
【教学过程】
环节一：回顾交流，温故知新
通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题
1
、矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？
<
/p>
（通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。）
性质定理：（
1
）矩形的四个角都是直角
;
（
2
）矩形的对角线相等。
2
、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（
1
）是不是平行四边形，（
2
）再
看它有无直角。
判定定理：
（
1
）
对
角线相等的平行四边形是矩形；
（
2
）
有三个角是直角的四边形是矩形。
环节二：应用辨析，巩固定理
教师讲
解教材
P16
例
3
，以加深学生对矩形性质定理的应用的认识；讲解
加深学生对矩形判定定理的应用的认识。
环节三：课堂练习，巩固提高
A
E
B
D
F
C
P14
例
4
,
1.
如图，
EF
是四边形
ABCD
勺对角线的交点
0,
且分别交
AB
CD
于
E<
/p>
、
F
,
那么阴影
部分的面积是矩形
ABCD
勺面积的（
2.
矩形
ABCD
< br>勺两条对称轴为
EF
，
MN
其中
E
、
F
、
M N
分别
）
在
AB
、
DC
、
AD
BC
上，连结
ME,EN,NF,FM,AB=J6cm,BC= 73
cm,
则四边形
ENFlM
勺周
长和面积各是多少
?
（
练习一
，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理
解和掌握，
使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件，
辨析判定定理的题设，以
便更好地应用定理。这两个问题的解决
分别应用所学定理，使学生能够学习致
D
C
H
G
E
/
7
F
用。这两道题的解决方法
是先采用独立完成形式，有困难的学生可以求助老师
A
或同学，
学
生互助完成，派学生代表板书讲解。
）
环节四：反思小结，体验
收获
今天你学到了什么？谈谈你的收获
（
再现知识，教师点评，对学生在课堂上的积极合作，大胆思考给与肯定，提出希望。
教学设计反思
1.
灵活处理教材，在精不在多
2.
分层次教学
3.
充分给学生以时间
B
）
1 .
3
正方形的性质与判定（一）
【学习目标】
掌握正方形的概念和性质，并会用它们进行有关的计算
【学习过程】
第一步：课堂引入
1•
做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形
.
问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等，
并且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形
.
2.
【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，
又是有一个角是直角的菱
形
.
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质
.
正方形性质定理
1
：正方形的四个角都是<
/p>
_
________________
，四条边都
_____________
。
<
/p>
正方形性质定理
2
：正方形的两条对角线
相等并且
_
__________
___________________________
第二步：应用举例
例
1
求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
.
|
已知：四边形
ABCD
是正方形，对角线
AC
、
BD
相交于点
O
（如图）
.
求证：
△
ABO
、△
BCO
、△
CDO
、△
DAO
是
全等的等腰直角三角形
.
x
例
2
•已知：如图，点
E
是正方形
ABCD
的边<
/p>
CD
上一点
,
点
F
是
CB
的
延长线上一点，且
DE=BF
.
求证：
(
1
)
EA=AF
;
(
2
)
EA
丄
AF
.
第三步：随堂练习
1.
_________________________
⑴正方形的四条边
_____
，
四个角
条对角线
_________________________
⑵正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的
⑶正方形的边长为
6
,
则面
积为
__________________
⑷正方形的对角线长为
6
,
则面积为
_______________
2.
< br>如右图，
E
为正方形
ABCD<
/p>
边
AB
上的一点
,
已知
EC=30,
EB=10,
则正方形
ABCD
的面
积为
_____________________
,
对角线为
_________________
.
3.
如
右图，
E
为正方形
ABCD
内一点，且△
EBC
是等边三角形
,
求
/
EAD
与
/
ECD
的度数
.
知识再现
:
r
⑴对边平行
⑵四边相等
，两
_______________________
5
⑶四个角都是直角
⑷对角线相等
互相垂直
互相平分
平分一组对角
正方形
对角线
教学设计反思：
1
：要智慧的用教材
：
2
：给学生提供充分展示自己的机会
1.3
正方形的性质与判定（二）
教学目标
：
1
、
知
道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有
关的论证和计算
.
2
、
经
历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习
惯，逐步掌握说
理的基本方法
< br>.
3
、
理解特
殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点
方形的判定条件
.
< br>教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算
教学过程
:
、创设问题情景，弓
I
入新课
. <
/p>
教学重点：掌握正
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，
那么思考一下，它们之间有怎样的包
含关系？请填入下图中
行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形
;
矩形、
菱形都是特殊的平行四边形
.
三个角
是巨堵
1
、
怎
样判断一个四边形是矩形？
2
、
怎样判断一个四边形是菱形？
形
一
2
也
四边相等
驰形
一
f
正月
3
、
怎样判断一个四边形是平行四边形？
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，
也是特殊的菱形，还是特殊的平
I
定义
4
、怎
样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1
．探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，
进行
引导、
质
疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四
边形是正方形的基本方法
.
(1)
直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边
形有一个角是直
角，并且有一组邻边相等，那
么就可以判定这个平行四边形是正方形；
(2)
先判定一个四边形是矩形，再
判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
(
3
)
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是
矩形，那么这个四边形是正方形
.
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理
< br>.
矩形和菱形的判定定理是判定正方形的
基础
.
这三个方法
还可写成
：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有
一组邻边相等的矩形是正方形；有
一个角是直角的菱形是正方形
.
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，
可当作判定定理用，
但由于判
定平行四边形、
矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是
不是正方形的具体条件也相应可
作变化，在应用时要仔细辨别后
才可以作出判断
2
．正方形判定条件的应用
【例
1
】判
断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
.
三、
随堂练习
教材
P24
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用
.
四、
课时小结
师生共同总结，归纳得出正
方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步
加深理解正方形
判定方法的应用
.
五、
课后作业
习题
1.8
的
1-3
题
< br>.
六、
板书设计：
（课题）
复习：
判定方法：
例
1.
讨论
:
正方形与矩形
例
2.
补例
.
正方形与菱形
教学设计反思
1.
要创造性的使用教材
2.
充分利用现代技术，提高课堂容量
3.
注意改进的方面
二章一元二次方程
2
.
1
认识
一元二次方程
(
1
)
【学习目标】
1
、知识与技能：理解一元二次方程的定
义，会判断满足一元二次方程的条
件。
2
、能
力培养：能根据具体情景应用知识。
3
、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】
1
、一元二次方程的定义；
2
【学习过程】
、一元二次方程的一般形式。
」、前
置准备：
1
、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？
2
、多项式
2<
/p>
X
2
-3
X
+1
是几次几项式？每项的系数和次数分别是几
?
二、自学探究：
理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：
(1)
________________________
___________________________________________
如果设未铺地毯
区域的宽为
xm
，那么地毯中央长方形图案的长为
__________________________________
m
,
宽为为
m.
根据题意，可得方程
_______
________________________________________________
(2)
试
再找出
(
10
、
11
、
12
、
13
、
14
以外
)
其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等
于
后
两
个
数
的
平
方
和
:
_____________
__________________________________________________
______
;
如果设五个连续整数中的第一个数为
X
，那么后面四个数依次可表示为
_________________
、
_______
、
_______
、
_________
，根据题意可得方程：
__________________________________________________
(3)
知，滑动前梯子底端距墙
根据图
2-2
，由勾股定理可
< br>，如果设梯子底端滑动
xm
那么滑动后梯子底端距墙
m
，梯子顶端距地面的垂直距离为
―
m
，根据题
意，可得方程：
_________
__________________________________________________
____
三、合作交流：
观察上述三个方程，它们的共同点为：①
__________________
:
②
________________
;
这样的方程叫
做
____________________
。其中我们把
_
___________________________
称
为一元二次方程的一般形
式，
ax
2
,
bx
,
c
分别称为
_________________
、
_______________
、
_____________
,
a
、
b
分别称
为
_____________
、
_
____________
。
1
、分别
把上述三个方程化为
ax
2
+bx+c
=0
的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项
系数和常数项：
(1)
(2)
(3)
四、归纳总结：
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？与同学交流一下。
1.
一元二次方程的定义；
2
、
一元二次方程的一般形式。
五、当堂训练
:
1
< br>、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，说明二次项及二次项系数、一次项及一
次项系数和常数项：
(1)
2x
2
+3x+5
(3)
(
2
)(
x+5
)(
x+2
)
=x
2
+3x+1
(
2x-1
)(
3x+5
)
=-5
(
4
)(
3x+1
)(
x-2
)
=-5x
2
、把方程
(
3x+2)
2
=4(x-3)
2
化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次
项系数和常数
项。
< br>3
、关于
x
的方程
(
k-3
)
x
2
+2x-1=0
，当
k ____________
时，是一元二次方程。
【课下训练】
1
、根据题意，列出方程：
(1)
有一面积为
< br>54
平方米的长方形，将它的一边剪短
5
米，另一边剪短
2
米，恰好
变成一个正方
形，这个正方形的边长
是多少？
(2)
三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为
< br>242
,
这三个数分别是多少？
2
、把下
列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常
数项：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3
X
2
=5
X
-1
(
X
+2)
(
X
-1)=6
4-7
X
2
=0
2<
/p>
2
3
、关于
x
的方程
(
k
-1
)
X
+2
(
k-1
)
x+2k+2=0.
当
k _____
时是一元二次方程；当
k
_________
时是一元一次方程
4
、
把
方程
2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3
< br>化成
a/+bx+c=0
的形式后
，
a,b,c
的值分别是
(
A.3
、
7
、
1
C.1
、
-5<
/p>
、
-1
5
、
方程①
x
2
-
仁
X
;
是
(
)
②
2x
2
-y-
仁
0;
)
B.2
、
-5
、
-1
D.3
、
-7
、
-1
2
③
3
X
2
-+
仁
0;
④—
1
5
中
.
其中是一元二次方程的
A.
①④
B.
①③④
C.
①
D.
①②
【
链接中考】关于
X
的方程
(
k-
)
x
2
+(m-3)x-1=0
，是一元二次方程。则
k
和
m
的取值范
围分别是什么？
教学反思
我们学校地处城乡结合部，
生源成分复杂，针对学生的基础如此设计，但是时间还是
很紧。
建议基础薄弱的地区：课前复
习整式的乘法、完全平方公式，熟知
10-20
的平方；在
第四环节中，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称后，举例反问，以加强对概念的
理解及其对各部
分名称的认识。
2
.
1<
/p>
认识一元二次方程
(
2
< br>)
【学习目标】
1
、知识与技
能：经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。
2
、
能力培养：能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。
3
、
情
感与态度：渗透“夹逼”思想，发展估算意识和能力，培养克服困难的
勇气。
【学习重点】用估算方法求一元二次方程的近似解。
【学习过程】
、前置准备：
1
、什么是方程的解
?
二、自学探究：通过估算未铺地毯区域的宽，理解探索方程解的过程。
根据上节课的学习，如果设未铺地毯区域的宽为
X
m
，则可得方程
(
8
< br>—
2
X
)(5
< br>—
2
X
)=18
，化
为一般形式为：
__
__________________________________________________
___________
。
你能求
出
X
吗？根据本题实际情况，思考下列问题：
< br>
(1)
X
< br>可能小于
0
吗？说说你的理由；
_______________________________________
__
(2)
X
可
能大于
4
吗？可能大于
2.5
吗？为什么？
_____________
____________________________
。
由以上两题可知
X
的取值范围是
___________________________
o
(3)
完成下表
X
(8
—
2
X<
/p>
)(5
—
2
X<
/p>
)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
(4)
你知道未铺地毯区域的宽
x(m)<
/p>
是多少吗？还有其他求解方法吗？
思考下面的方法可以吗？
因为
8
—
2
X
比
5
—
2
X
多
3
,
将
18
分解为
6
X
3
,
8
—
2
X
=6
,
x=1
。
说说你的观点，与同伴交流一下。
三、合作交流：
阅读课本
33
页“做一做”，设梯子底端滑动的距离
X
(
m
)<
/p>
满足方程
(
X
+
6)
2
+7
2
=10
2
化为一般形式为：
。
(
1
)
小明认为底端也滑动了
1
米，他的说法正确吗？为什么？
(2)
底端滑动的距离可能是
2
米，
3
米吗？为什么
?
(3)
你能猜出滑动距离
x(
m)
的大致范围吗？
(4)
x
的整数部分是几？十分位是几？
x
x
+12x-15
2
0
0.5
1
1.5
2
所以
_______
< x < ______ <
进一步计算
x
x
2
+12x-15
所以
_______
< x <
______
1.1
1.2
1.3
1.4
因此
x
的整数部分是
__________
十分位是
________
注意
：
(
1
)
估算
的精度不要求过高；
(
2
)
计算时提倡使用计算器。
四、归纳总结
:
你学到了哪些知识？与同学交流一下。
怎样用估算方法求一元二次方程的近似解
？
五、当堂训练
:
1
< br>、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数
吗？
2
、一个面积为
120
平方米的矩形苗圃，它的长比宽多
2
米，求苗圃的周长。
【学习笔记】通过本节课的学习，你认为学得比较好的内容是什么？不足又是什么？
< br>
【课下训练】
1
、一名跳水运
动员进行
10m
跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在<
/p>
距水面
5m
以
前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动
员起跳后的运动时间
t(s)
和运动员距水面的高
度
h(m)
满足关系：
h=10+2.5t-5t
2
,
那么他
最多有多长时间完成规定的动作？
2
、方程
x
2
=
x
的解是
(
A.1
)
B.1
或
-1
C.0
D.1
或
0
3
、在一幅长
80cm
、宽
50cm
的矩形风景
画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。如
果要使整个挂
图
的面积是
5400cm
2
，设金色纸边的宽为
xcm
,
那么满足的方程是（
）
A.
X
2
+130<
/p>
X
-1400=0
< br>B.
X
2
+65
X
-350=0
C.
X
2
-130
X<
/p>
-1400=0
D.
X
2
-65
X
-350=0 <
/p>
【链接中考】已知两个数的和为
10
,<
/p>
积为
9
,
求这两
个数。
教学反思
1
、
关
注只是发生发展过程、关注数学活动过程
2
、
创
造性使用教材
3
、
相
信学生并为学生提供充分展示自己的机会
4
、
注
意改进的方面
课题
配方法
（
一
）
第
课时
1
、
理
解“配方”是一种常用的数学方法，
会用配方法解二次项系
数为
1
的一元
教学目标
二次方程。
2
、
在
用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会
化归的思想方
法。
教学重点
会用配方法解二次项系数为
1
的一元二次方程。
用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的
方程。
教学难点
教学过程
学
一、
引
生活
动
教师活动
1
、
a
2
±
2ab+b
2
=?
2
、
用两种
方法解方程
（
X
+3
< br>）
2
-5=0
。
二、
探
自主探究
P10-12
1
、完成
P10
做一做
2
、
如
何解方程
x
2
+6
x+4=0
呢
？
思考：
x
2
+6x+ ____
是一个完全平方式？可得
x
+6x+ ___
- __
+4=0
即
2
(x+__)
2
-
___ =0
就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。试试看
3
、
揭
示配方法的定义和关键点
当二次项系数为“
1
”时，只要在二次项和一次项之后加上
,
再减去这个数，使得含未知数的项
在一个
____________________
，这种做法叫作
_
______________
就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法
< br>
叫作
。
4
例题探究
例
1
把下列二次多项式配方
(1)
x
2
+2x-5
(
2
)
x
2
-4x+1
例
2
解方程
(
1
)
x
2
+10x+9=0
三、结
(2
)
x
2
-12x-13=0
1
、
怎样将二次项系数为“
1
”的一元二次方程配方
?
2
、
用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
四、用
1
、
2
、
解方程：
(
1)
X
2
-6
X
+10=0
；
(3)
X
2
-
X
-
仁
0
。
课本
P.12,
练习。
L
(2)
X
2
+
X
+
4
=0
；
<
/p>
作业布置：课本习题
1.2
中
A
组第
4
题
(1)
⑵⑶。
板书设
计
教学反思
1
、
创造性地使用教材
2
、
相信学生并为学生提供充分展示自
己的机会
3
、
注
意改进的方面
课题
配方
法
（
二
）
第
课时
1
、理解用配方法解一元二次方程的
基本步骤。
教学目标
2
、会用配方法解二次项系数为
1
的一
元二次方程。
3
、进一步体会化归的思想方法。
教学重点
教学难点
会用配方法解一元二次方程
.
使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程
学
生
活
动
教师活动
一、引
1
、、用配方法解二次项系数为
1
的一元
二次方程的基本步骤是什么
？
2
、用配方法解方程
X
2
+
X
-1=0
< br>3
、练习后再完成课本
P13
的
“做一做”.
二、探
1
、自主探究教材
P13-15
2
、探究：我们已经会用配方法解二次项系数为
1
的
于二次项系数不为
解方程：
2
X
2
-4
X
-6=0
■兀二次方程，而对
1
的一元二次方程能不能用配方法解
?
3
、思考：解方程
< br>2
X
2
-4
X
-6=0
的方法：对于二次项系数不为
< br>1
的一元二次
方程，可将方程两边同
除以
，把二次项系数化为
，然后按上一节课所学的方法来解。让学生进
步体会化归的
思想。
3
4
、尝试
解方程
3
X
2
+9
X
+4
=0
三、结
1
、
用
配方法解一元二次方程的基本步骤是什么
？
2
、
归
纳解一元二次方程的算法。
四、用
1
将
下列方程配成
(
x+a
)
2
=b
的形式
(1)
4x
2
+4x+1=0
；
(2)
x
2
-2x-5=0
；
2
、课本
P.
15
,
练习。
布置作业
习题
1.2
中
A
组第
3
题的⑷，选做
B
组第
2
,
3
题。
板书设
计
教学反思
1
、
创造性的使用了教材
2
、
注
意改进的方面
课
题
2
.
3
公式法一
1
.
一元二次方程的求根公式的推导
课型
新授课
教学目标
2
•会用求根公式解一元二次方程
教学重点
教学难点
教学方法
一元二次方程的求根公式
.
求根公式
的条件：
b
2
-4ac
0
讲练结合法
教学后记
教学内容及过程
学生活动
一、复习
1
、用配方法解
-
-
元二次方程的步骤有哪些？
学生演板
2
、用配方法解方程：
x
2
—
7
X
-
18=0
X
1
=9,
X
2
=
—
2
二、新授：
1
、推导求根公式：
ax+bx+c=0
@
工
0)
b c
解：方程两边都作以
a,
得
x
2
+a x+a =0
移项，得：
b
c
x
2
+a
X
=
—
a
b
b
c
b
配方，得：
/+a
x+
（
2a
）
2
=
—
a
+
（
旁
）
2<
/p>
b
b
2
—
4ac
即：（
x+2a
）
2
=
4a
2
••• a
^
0
,
所以
4a
F
>0
当
b
2
—
4ac
>
0
时，得
/
b
—
4ac
p
b
—
4ac
2
A
V
4a
=
±
2a
x+2a
=
±
—
b±
p
b
—
4ac
-
X
=
2
2
2
2a
注意：符号
一般地，对于一兀二次万程
ax+bx+c=0 (a
^
0)
—
b±
p
b
—
4ac
当
b
—
4ac
>
0
时，它的根是
X
=
2
2
2a
注意：当
b
2
4ac<0
时，一元二次方程无实数根。
2
、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3
、例题讲析：
例：解方程：
x
2
—
7
X
—
18=0
解：这里
a=1
,
b=
—
7
,
c=
—
18
•••
b
2
—
4ac=(
—
7)
2
—
4
X
1
x
(
—
18)=121>0
7±
p
121
X
=
2
X
1
即
：
X
1
=9, X
2
=
—
2
这里
a=1
,
b=
—
7
,
c=
—
18
例：解方程：
2
X
2
+7
X
=4
解：移项，得
2
X
2
+7
X
—
4=0
这里，
a=1 ,
b=7 , c=
—
4
学生小结
步骤
：
•••
b
2
—
4a
c=7
2
—
4
X
1
x
(
—
4)=81>0
< br>
—
7±
/81
—
7
±
9
(1)
指出
a
、
b
、
c<
/p>
(
2
)
求出
b
2
—
4ac
.
X
=
2
X
2
,
=
4
X<
/p>
2
=
—
4
1
即
:X
1
=2
(3)
求
X
(
4
)
求
X
1
,
X
2
三、巩固练习：
< br>P58
随堂练习：
1
、
2
四、小结：
看课本
P56
〜
P
57
,
然
—
b±
j
b
2
—
4ac
(
1
)
求根公
式：
X
=
后小结
(
b
—
4ac
>
0
)
2
2a
(
2
)
利用求根公式解一元二次方程的步骤
这节课我们探讨了一
兀二次方程的另一种
五、作业：
(
一
)
P59
习题
2.6
(
二
)
预习内容：
P59
〜
P61
解法
公式法。
(
1
)
求根公式的
1
、
2
推导，实际上是“配
方”与“开平方”的
板书设计：
综合应用。对于
a 0
,
知
4a
2
>0
等条件在推
导过
一、
复习
二、
求根公式的推导
三、
练习
四、
小结
五、
作业
程中的应用，也
要弄清其中的道理。
(2)
应用求根公
式
解一元二次方程，通
常应把
方程写成一般
形式，并写出
a
、
b
、
c
的数值以及计算
b
2
—
<
/p>
4ac
的值。
当熟练掌握
求
根公式后，可以简化
求解过程
教学反思
1
、
要
创造性的使用教材
2
、
要
为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性
的问题加以归纳、
总结的数学建模意识，亲身体会公
式推导的全过程，提高学生推理技能
和逻辑思维能力
；进一步发展学生合作交
流的意识和能力
.
帮助学生形成积极主动的求知态度
2.3
公式法二
一教学目标
1
•知识与能力
通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力，会用公式法解简单的数
字系数的一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关实际问题
2
•过程与方法在解一元二次方程的过程中体会转化、归纳等数
学思想
3
•情感与态度
体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，
式，养成严谨、认真的科学态度和学风
二教学重点与难点
•教学重点用公式法解一元二次方程
体会从一般到特殊的思维方
2
•教学难点用配方法推导求根公式的过程
三教学过程
•创设情境，导入新课
2x
2
-7x+2=0
请你说出利用配方法解一元二次方程的一般步骤
2
•师生互动，学习新课
你能用配方法解方程
ax
2
+bx+c=0
(
a
M
0
)
吗？
<
/p>
1
、二次项系数化为
1
< br>:
x
2
b
x
a
c
0; a
2
、
移项，得
x
2
b
x
a
c
■
5
a
3
、
配方
2
x
(x
b
2
2a
c
b
2
(
)
x
<
/p>
(
b
)
2
a
2a
a
2a
要进行开平方运算，被开方数必须是非负数，由于
4ac
2
b
4a
2
>
0
4a
恒成立，
所以只须
< br>b
2
-4ac
>
0
4
、
如
果
b
2
4ac
0
,
那么
x
b
■■■. b
2
4ac
2a
般地，对于一元二次方程
ax
2
bx c 0(a
0)
，当
b
2
4ac 0
时，它的根是
X
b
Vb
2
4ac
2a
上式称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的的
方法称为公式法
当
b
2
-4ac=0<
/p>
时，方程有两个相等的实数根；
X
1 <
/p>
当
b
2
-4ac
>
0
时，方程有两个不相等的实数根；
当
b
2
-4ac
v
0
时，方程没有实数根；
b
2a
；
X
2
利用公
式法解一元二次方程时，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解
例
1
解方程
(
1
)
x
2
7
X
18 0
(
2
)
4
X
2
9
12
X
(
3
) (
X
-2
)
(1-3
X
)=6
3
•巩固练习，知识反馈
练一练：利用配方法解下列一元二次方程：
(
P5
8
随堂练习：
1
、
)
(1)
(2)
(3)
2
X
2
-9
X
+8
=0
；
9
X
2
+6
X<
/p>
+1=0
；
1
6
X
2
+8
X
=3
；
<
/p>
P58
随堂练习：
2
、
P59
习题
2.6
：
1
、
2
、
4
•知识梳理，形成系统
(1)
解一元二次方程有哪些方法？
配方法、公式法，有时还可以估算方程的解
(2)
求根公式是利用配方法通过推
导得到的，掌握求根公式的关键是掌握公式的推
导过程
(3)
利用公式法解一元二次方程时
，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公
式
(4)
根据根的判别式
b
2
< br>-4ac
的值可以判断一元二次方程的根的情况
5
•布置作业
见作业本
教学反思
1
、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题
，
以导为主，层层深入，以问题串
<
/p>
的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。弓
I
入新课时，提出了这样的问题：在一
块长为
16
m
宽
为
12
m
的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面
积的一半。提出问题：你觉得这个
方
案能实现吗？若可以实现，
你能给出具体的设计方案
吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，
接
着提出问题：
你的设计一定符合要求
吗？怎样知道
你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符
合上面条件的？剩
下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，
学生的热情、思维与探究并
进。
2
、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思
路。
课题
2.4
分解因式法
课型
新授课
1
•能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问
题方法的多样性。
教学目标
2 <
/p>
•会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元
二次方程。
教学重点
教学难点
教学方法
教学后记
掌握分解因式法解一兀二次方程。
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
讲练结合法
教学内容及过程
学生活动
一、回顾交流
［
课堂小测
］
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
学生练习。
1.
5
X<
/p>
-2
X
-1=0
2.
10(
X
+1)
-25(
X
+1)+10=0
观察比较：一个数的平方与这个数
的
3
倍有可能
相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来
注：课本中，小颖、小明、
小亮的解法由学生在探讨中比
较，对照。
的？
概念：课本议一议，让学生
分析小颖、小明、小亮的解法：
自己理解。
小颖：用公式法解正确；
小明：两边约去
X
< br>，是非同解变形，结果丢掉一
根，错误。
小亮：利用“如果
ab=0,
那么
a=0
或
b=0
”来求
解，正确。
分解因式法：
利用分解因式来解一兀二次方程的方法叫分解因式
法。
解：
（
1
）原方程可变形为：
、范例学习
例：解下列方程。
5
X
2
—
4
X
=0
X
(5
X
—
4)=0
X
=0
或
5
X
=4=0
1.
5
X
=
4
X
想一想
2.
X
-2=
X
(
X
-2)
4
X
1
=0
或
X
2
=5
(2)
原方程可变形为
你能用几种方法解方程
X
-4=0,(
X
+1)
-25=0
三、随堂练习
随堂练习
X
—
2
—
X
(
X
—
1
、
2
2)=0 (X
—
2)(1
—
X
)=0
［
拓展题
］
分解因式法解方程：
X
-4
X
=0
X
—
2=0
或
1
—
X
=0
四、课堂总结
利用因式分解法解一元
二次方程，
能否分解是关
键，
因此，
要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因
式分解的能力，来提高
用分解因式法解方程的能力，
在使用因式分解法时，先考虑有无
公因式，
如果没有
再考虑公式法。
(1)
在一元二次方程的一
边
为
0
,
而另一边易于分解成
两
个一次
板书设计
:
因式时，就可用分解因式
法来解。
(2)
分解因式时，用公式
法
2
一
世纪教育网
五、布置作业
提公式因式法
P62
习题
2.7
二、例题
四、练习
五、
小结
六、
作业
1
、
2
21
世纪教育网
21
世纪教育网
教学反思
1.
评价的目的是为了全面了解学生的学习状况
< br>，
激励学生的学习热情
，
促进学
生的全面发
，
能否清楚的表达自己的观
展
.
所以本节课在评价时注重关注学生能否积极
主动的思考
点
,
及时发现学生的闪光点
，
给予积极肯定地表扬和鼓励增强他
们对数学活动的兴趣和
应用数学知识解决问题的意识
，
帮助学生形成积极主动的求知态度
2.
这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际
生活中的应用
思路
,
培养了学生的综合运用知识解决问题的能力
.
.
拓展了学生的
3.
本节中应着眼干学生能力的发展
，
因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学
中应注意进一
步渗透
，
才能更好地达到提高学生数学能力的目标
.
2.5
一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
知识技能目标
1.
能说出根与系数的关
系；
2.
会利用根与系数的关系解有关的问题
.
过程性目标
在经历观察、归纳、猜想
、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路
,
体会应用自己
探索成果的喜悦
.
情感态度目标
1.
通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的
习惯；
2.
通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神
重点和难点：
重点：一元二次方程两根之和，及
两根之积与原方程系数之间的关系；
难点：对根与系数这一性质进行应用
.
教学过程：
一、创设情境
.
1
•请说出解一元二次方程的四种解法
.
2.
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格
中两个解的和与积和原
来的方程有什么联系？
(1)
x
2
-
2
X
=
0
；
二、探究归纳
方程
(2)
X
2
+
3
X
-
4
=
0
；
(3)
x
2
-
5
X<
/p>
+
6
=
0.
X
1
0
1
2
X
2
X
1
X
2
2
-3
5
X
1
?X
2
0
-4
6
X
2
-
2
X
=
0
X
2
+
3
X
—
4
=
0
X
2
-
5
X
+
6
=
0
2
-4
3
可以得到；两个解的和等于一次项
系数的相反数，两个解的积等于
常数项
.
一
般地，对于关于
X
的方程
X
2
+
px
+
q
=
0
(
p
,
q
为已知常数，
p
2
-
4q
一般地，对于关
于
X
的方
程
X
2
+
px
+
q
=
0
(
p
,
q<
/p>
为已知常数，
p
2
-
4q
>
0
),
试用求根公式求出
它的两个
解
X
1
、
X
2<
/p>
，算一算
X
1
+
X
2
、<
/p>
X
1
?X
2
的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致
.
结论：两根之和等于一次项系数的
相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是
致的
.
三、实践应用
例
1
已知关于
x
< br>的方程
x
2
—
< br>
px
+
q
=
0
的两个根是
0
和一
3
,
求
p
和
q
的值
.
<
/p>
解法一：因为关于
x
的方程
x
2
—
px
+
q
=
0
的两个根是
0
和一
3
,
所以有
0
2
p 0 q 0
(3)
2
p ( 3) q 0
解这个方程组得
p 3
q 0
所以
p 3
,
q 0.
解法二：由
X
1
X
2
p
,
人
？<
/p>
X
2
q
,
方程
x
2
—<
/p>
px
+
q
=
0
的两个根是
0
和—
3
,
可得
0
+
(
—
3)
=
—
p
0 ( 3) q
即得
p 3
,
q 0.
例
2
写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x
2
7x
1
0
(3)2x
(2)X
2
14x
0
21
0
0
2
x
3
(4)X
2
nx
n 5
1
—
21
一
3
解
⑴
X
1
X
2
7
,
X
1
?X
2
14
,
X
1
?X
2
1<
/p>
⑵
X
1
X
2
©)X
1
X
2
，
1
?
2
X
X
2
⑷
X
1
X
2
n
,
x-
!
?x
2
n
2
5
课堂练习
1.
写出下列方程的两根和与两根积：
(1)
2 2
x
2
5x 2
0
(2)x
2
1
1x 44 0
(3)2x 3x
5 0
(4)x mx m 3 0
2.
已知关于
x
的方程
x
2
—
6x
+
p
2
—
2p
+
5
=
0
的一个根是
2
,
求方程的另一个根和
p
的
值
.
四、交流反思
1.
通过这节课的学习，掌
握探索的步骤：观察一一归纳一一猜想一一证明；
2.
与系数的关系
五、检测反馈
通过本节课探索出一元二次方程的根
.
1.
已
知关于
X
的方程
x
2
—
2
X
+
m
i
+m
—
2
=
0
的
一个根是
2,
求方程的另一个根和
m
的值
.
2.
写出下列方程的两根和与两根积：
(1)
X
7
X
4
(3)2
X
2
5
X
1
2
2
0
0
(2)
X
mx n 0
(4)
X
2
.
3
X
m 0
3.
已知关于
X
的方程
2
X
2
—
mx- m
=
0
有一个根是
1
,
求
m
的值
.
六、布置作业
习题
2.8
教学反思
本节课充分以学生为主体进行教学，
采用
实践一一观察一一发现一一猜想一一证明
的过程教学。让
学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并
从中
体验成功的乐趣。引导学生发现
问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法
及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。
2.6
应用一元二次方程
(
一
)
教学目标：
1
、
掌握列
出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
2
、
理解将
一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角
度提出问题、理
解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
一、情境问题
问题
< br>1
、一根长
22cm
的铁丝。<
/p>
(1)
能否
围成面积是
30cm
2
的矩形？
(2)
能否围成面积是
32
cm
2
的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是
xcm
,
那么矩形的宽是
_____________________
。
根据相等关系：
矩形的长
x
矩形的宽
=
矩形的面积
，
可以列出方程求解。
问题
2
、如图，在矩形
ABCD
中，
AB=6cm
,
BC=3cm
。点
P
沿边
AB
从点
A
开始向点
B
以
2cm/s
的
速度移动，点
Q
沿边
DA
从点
< br>D
开始向点
A
以
1cm/s
的速度移动。如果
P
、
Q
同时出发，用
t
(
s
)
表示移
练一练
动的时间
(
0
W
t
<
3
)
。那么，当
t
为何值时，△
QAP
的面积等
于
2cm
2
?
1
、用长为
100 cm
的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是
600
cm
2
？
能制成面积是
800
cm
2
的矩形框子吗？
C
2
、如图
，在矩形
ABCD
中，
AB=6
cm
,
BC=12 cm
,
点
P
从点
A
沿边
AB
向点
B
以
1cm/s
的速度
移动；同时，点
Q
从点
B
沿边
BC
向点
C
以
2cm/s
的速
度移动，几秒后厶
PBQ
的面积等于
8 cm
2
？
三、课后自测
:
B
Q
1
、如图，
A
、<
/p>
B
、
C
、
D
为矩形的四个顶点，
AB=16cm
,
BC=6cm
，动点
P
、
Q
分别从点
A
、
C
出发，点
P
以
3cm/s
的速度向
点
B
移动，一直到达
B
为止；点
Q
以
2cm/s
的速度向点
D
移
动。经过多长时间
P
、
Q
两点之
间的距离是
10c
m
？
B
C
2
、如图，在
Rt
A
ABC
中，
< br>AB=BC=12cm
，点
D
从
点
A
开始沿边
AB
以
2cm/s
的速度向点
B
移动，移动过程中始终保持
DE
//
BC
,
DF
//
AC
,
F
<
/p>
问点
D
出发几秒后四边形
DFCE
的面积为
20cm
2
?
B
3<
/p>
、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置
O
点的正北方向
10
海里外的
A
点有一涉嫌走私船只正
以
24
海里
/
时的速度向正东方向航行，
为迅速实施检查，巡逻艇调整好<
/p>
航向，以
26
海里
/
时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向
< br>
和航速的前提下，问需要几小时才能追上
(
点
B
为追上时的位置<
/p>
)
？
D
4
、
如图，
把长
AD=10cm
,
宽
AB=8cm
的矩形沿着
AE
对折
,
使
D
点
E
落在
BC
边的
F
点上，求
< br>DE
的长。
5
、
如图，
有长为
24
米的篱笆，一面利用墙
(<
/p>
墙的最大可用
长度为
< br>a
为
15
米
)
，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
(1
)
如果要围成面积为
4
5
平方米的花圃，
AB
的长是多少米<
/p>
?
(2)
能围成面积比
45
平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如
果不能，请说明理由
C
B
_
___________
C
教学反思
本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，
学生在七八年级已经进行过方程
应用
的训练，对
于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对
学生而言还是有一定的难度。本课
采用启
发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式
，
引
导学生从已有的知识和生活经验出发，
以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行
迁移，找出解决
问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，
能更好地调动
学生的学习积极性，可以更好地根
据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律。
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学
生动脑、动手、动口，为学生提
供展
示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问
题、解决问题
的独到见解以及思
维的误区，更好地进行学习指导。
2.6
应用一元二次方程
(
二
)
教学目标：
知识技能目标
通过探索，学会解决有
关增长率的问题
.
过程性目标
经历探索过程，培养合作
学习的意识，体会数学与实际生活的联系
情感态度目标
通过合作交流进一步感
知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交
流互动，逐步培
养合作的意识及严谨的治学精神
.
重点和难点：
重点：列一元二次方程解决实际问题
.
难点：寻找实际问题中的相等关系
.
教学过程：
一、
创设情境
我们经常从电视新闻中听到
或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入
.
Q
元，
比去
年同期增长
x%
环境污染比去年降低
y
%
某厂预计两年后使生产总值翻一番……由
< br>此我们可以看出，增
长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长
率问题
.
二、
探究归纳
例
1
阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收
入的平均年增长率应为多少？
分析
翻一番，即为原净收入的
2
倍
.
若设原值为<
/p>
1
,
那么两年后的值就是
2
.
解
< br>设原值为
1
，平均年增长率为
x
,
则根据题意得
1 (1
x)
2
解这个方程得
X
1
,2 1 ,
X
2
因为
X
2
2
2 1
.
.2 1
不合题意舍去，所以
x
、
2
1
41.4%
.
答这两年的平均增长率约为
41.4%.
探索
若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的
1.5
倍、
1.2
倍、…，那
么两年
中的平均年增长率相应地调整为多少？
又若第二年的增长率为第一年的
2<
/p>
倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政
净收入翻一番？
例
2
为了
绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已
成活了
2000
棵
.
已知这些学生在初一时种了
400
棵，若平均成活率
95%
，求这个年级每年
植树数的平均增长率
.
(
精确
到
0.1%
)
分析
至今已成活
2000
棵，指的是连续三年春季上山植树的总和
.
解设这个年级每年植树数的平均增长率为
X
,
则
第二年种了
400(1+x)
棵；
第三年种了
400(1+x)
2
棵；
三年一共种了
400
+
400(1+
X
)
+
400(1+<
/p>
X
)
2
棵；
三年一共成活了
[400
+
400(1+
X
)
+
400(1
+
X
)
2
]
x
95
%
棵
.
根据题意列方程得
[400
+
400(1+x)
+
400(1+x)
2
]
x
95
%=
2000
解这个方程得
X
1
~
0.624=62.4%
X
2
~
-3.624=-362.4%
但
X
2
=-362.4%
不合题意，舍去，
所以
x=62.4%
.
答
这个年级每年植树数的平均增长率为
62.4% .
课堂练习
1.
某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率
.(
< br>精确到
0. 1%
)
2.
某服装店花
1200
元进了一批服装，
按
40
%<
/p>
的利润定价，
无人购买，
决定打折出售，
但仍无
人购买，
结果又一次打折后才售完，
经结算这批服装
共盈利
280
元，
< br>若两次打折相
同，
问每次打了多少折？
三、
交流反思
这节棵学习了两个有关增长
率的问题，通过探索，掌握了增长率问题的解题方法，学
会了解相同增长率和不同增长率的问题
.
四、
检测反馈
1.
水果店花
1500
元进了一批水果，按
50%
的利润定价，无人购买
.
决定打折出售，但
仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利
500
元
.
若两次打折相