一元一次方程知识点归纳
-
* *
一元一次方程
方程的有关概念
夯实基础
一．等式
用等号（“
=
”）来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示
①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可
以
表示不同的意义。
②不能将等式与
代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不
含等号，它只
能作为等式的一边。如
5
x
3
7
2
x
才是等式。
二．等式的性质
性质
1
：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果
a
b
，
那么
a
c
b
c
< br>。
性质
2
：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为
0
的数，结
果仍相等。即如果
a
b
，那么
ac
bc
；如果
a
b
c
0
，那么
温馨提示
a
b
。
c<
/p>
c
①等式类似天平，
当天平两端放有相同
质量的物体时，
天平处于平衡状态。
若在天平的两端
各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。所以运用等式性质
1
时，当等式
两边都加上
（或减去）同
一个数或同一个整式时，
才能保证所得的结果仍是等式，
应特别
注
意“都”和“同一个”。如
1
x
3
，左边加<
/p>
2
，右边也加
2
，则有
1
x
2
3
<
/p>
2
。
②运用等
式的性质
2
时，等式两边不能同除以
0
，因为
0
不能作除数或分母。
③等式性质的延伸：
a.
对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果
a
b
，
* *
那么
b
a
。
b.
传递性：如果
a
b
,
b
< br>
c
，那么
a
< br>
c
（也叫等量代换）。
例
1
：用适当的数或整式填空，使所得的结
果仍为等式，并说明根据等式哪一条
性质，以及怎样变形得到的。
（
1
）如果
4
4
x
1
1
5
，那么
x
5
；
3
3
（
2
）如果
ax
by
c
，那么
ax<
/p>
c
；
4
3
（
3
）如果
t
，那么
t
。
3
4
三．方程
含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示
方程有两层含义：
①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如
x
2
1
。
四．方程与等式的区别与联系
概念及其特点
含有未知数的等式叫做
方
程。一个式子是方程，要
方程
满足两个条件：
一是等式，
二含有未知数。
用等号来表示相等关系的
等式
式子叫做等式。等式的主
体是相等关系。
五．方程的解与解方程
等式不一定是
方程，因为
等式不一定含有未知数。
方程和等式的关系式从属
关系，且有不可逆性。
区别
方程一定是等式，并且是
含有未知数的等式。
联系
方程是特殊的等式。
* *
内容
使方程中等号左右两边相等的未知
实质
方程的解
数的值叫做方程的解
解方程
温馨提示
求方程的解的过程叫做解方程
具体的数值
变形的过程
①检验一个数是否是方程
的解，
只要用这个数代替方程中的未知数，
如果方程两边的值相
等，
那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。
< br>
②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
③等式的基本性质是解方程的依据。
④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。
<
/p>
例
3
：下列方程中解为
< br>x
2
的是（
< br>
）
A.<
/p>
3
x
3
x
B.<
/p>
x
3
0
C.
2
x
6
D.
5
x
2
8
例
4
：利用等式的性质解下列方程：
（
1
）
< br>6
x
2
7
x
（
2
）
5
x
6
2
x
3
< br>
掌握方法
一．等量关系的确定方法
列方程解应
用题是初中数学的一个重点也是一个难点，
要突破这一难关，
学
会寻找等量
关系是关键，那么怎样寻找应用题中的等量关系呢？
（
1
）从关键词中找等量关系；
（
2
）对于同一个
量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系；
（
3
）运用基本公式找等量关系；
* *
（
4
）运用不变量找等量关系。
例
1
：某村原有林地
108
公顷，旱地
54
公顷，为保护环境，需把一部分旱地改
造为
林地，使旱地面积占林地面积的
20
％，设把
< br>x
公顷旱地改为林地，则可列
方程为（
< br>
）。
A.
54
x
20
%<
/p>
108
B.
54
x
20<
/p>
%(
108
x
)
C.
54
x
20
%
162
D.
108
x
20
%
(
54
x
)
二．利用方程的解求待定字母的方法
利用方程的解求方程中的待定字母时，
只要将方程的解代入方程
，
得到关于待定字母的
方程，即可解决问题。
< br>
x
1
则
k
的值应为
（
）
。
k
k
(
x
2
)
的解，
3
1
A.
9
B.
9
1
C.
D.
1
3<
/p>
例
2
：
已知
x
2
是关于
x
的方程
* *
一元一次方程
解一元一次方程
夯实基础
一．
一元一次方程
< br>1.
定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是
1
，等号两边都是整式，这样的方程
叫做一元一次方程。
2.
标准形式：方程
ax
b
0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，并且
a
0
）叫做一元<
/p>
一次方程的标准形式。
温馨提示
①一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。
②一元一次方程只含有一个未知数，
未知数的次数都为
1<
/p>
。
如
1
3
，
x
y
6
，
x
2
x
2
x
6
0
都不是一元一次方程。
例
1
：下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？
（
1
）
5
4
x
11
；（
2
）
2
x
y
5
；（
3
）
x
2
5
x
6
0
；
（
4
）
二．移项
1.
定
义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
2.<
/p>
示例：
解方程
3
x
2
2<
/p>
x
5
时，
可在方程的两边先加
2
，
< br>再减
2
x
，
得
3
x
2
2
2<
/p>
x
2
x
y
1
y
3
；（
5
）
< br>
1
。
x
2
3
2
x
5
2
2
x
，即变形为
3
x
2
x
5
2
。
与原方程比较，这个变形过程如下：
3
x
2
<
/p>
2
x
5
3
x
2
x
5
2
* *
温馨提示
①移项的原理就是等式的性
质
1
。
②移
项所移动的是方程中的项，
并且是从方程的一边移到另一边，
而
不是方程的一边交换两
个项的位置。
③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。如解方程
3
x
5
x
< br>
10
，
若移项，得
5
x
3
x
10
就出错了，原因是被移动的项“
5
x
”的符号没有改变，而改变
了没有被移动的项“
3
x
”的符号。
④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。
例
2
：下列各题中的变形为移项的是（
）。
A.
由
1
1
(
x
2
)
1
，得
x
1
< br>1
2
2
B.<
/p>
由
5
x
3
7
x
5
，得
7
x
5
< br>5
x
3
C.
由
<
/p>
x
5
2
x
6
，得
2
x
x
5
< br>6
D.<
/p>
由
x
5
8
x
，得
x
x
8
5
< br>
三．去括号与去分母
解一元
一次方程的最终目标是要得到“
x
a
”这一结果。为了达到这一目标，方程中
有括号就要根据去括号
法则去掉括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质
2
去
掉分母，即为去分母。
温馨提示
（
1
）解含有括号的一元一次方程时，去括号时一般遵循去括号
的基本法则。但在实际去括
号时，
应根据方程的结构特点利用一
些方法技巧，
恰当地去括号，
以简化运算。对于一些特
殊结构的方程，可采用以下去括号的技巧：
①
先去外再去内。即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。
* *
②整体合并去括号。有些方程，把含有的某些多项式看
作整体，先合并，再去括号，往往会
简单。如，解方程
x
1
3
(
x
8
)
(
x
8
)
时，可把
x
8
看作整体先合并，再去括号。
2
2
（
2
）去分母时，在方程两边要同时乘
以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。
当分母时小数时，需要把分母化整。
同时注意分母化整只与这一项有关，而与其他项无关，
要与去分母区分开。
例
3
：下列方程去括号正
确的是（
）。
A.
由<
/p>
2
x
3
(
4
2
x
)
6
得
2
x
12
2
x
6
B.
由
2
x
3
(
4
2
x
)
6
得
2
x
12
6
x
6
C.
由<
/p>
2
x
3
(
4
2
x
)
6
得
2
x
12
6
x
6
D.
由
2
x
3
(
4
2
x
)
6
得
2
x
3
6
x
6
<
/p>
例
4
：方程
3<
/p>
x
2
x
1
x
1
，去分母正确的是（
）。
3<
/p>
3
2
A.
18
x
2
(
2
x
1
)
18
3
(
x
1
)
B.
3
x
(
2
x
1
)
3
(
x
1
)
C.
18
x
(
2
x
1
)
18
(
x
1
)
D.
3
x<
/p>
2
(
2
x
1
)
3
3
(
x
1
)
四．解一元一次方程的一般步骤
步骤
去分母
具体做法
在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质
2
先去小括号，再去中括号
，最后去大括
去括号
号
把含有未知数的项移到方程的一边
，其
移项
它各项都移到方程的另一边
（记住移项
等式性质
1
去括号法则、分配律
变形依据
* *
要变号）
合并同类项
把方程化为
ax
b
(
a
0
)
的形式
在方程的两边都除以未知数的系数
a
，
系数化为
1
合并同类项法则
b
< br>得到方程的解
x
a
等式性质
2
温馨提示
1.
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重
复使用，不一定按顺序进行，
根据方程的特点灵活运用。
2.
在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
（
1
）分子是多项
式的，去分母后要加括号；
去分母
（
2
）不要漏乘不含分母的项
（
1
）括号前的数要
乘括号内的每一项；
去括号
（
2
）括号前面是负数，去掉括号后，括号内
各项都要变号
（
1
< br>）移项时不要漏项；
移项
<
/p>
（
2
）将方程中的项从一边移到另一边要
变号，而在方程同一边改变项的位置
时不变号
合并同类项
按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
<
/p>
（
1
）未知数的系数为整数或小数时，方
程两边同除以该系数；
系数化为
1
（
2
）未知数的系数为分数时，方程两
边同乘该系数的倒数
例
5
：解一元一次方程
x
1
2
x
1
1
。
3
2
掌握方法
一．一元一次方程概念的应用
原方程
为一元一次方程，即未知数的次数为
1
，系数不为
0
，由此来确定原方程中待定