五年级 第5讲 长方体与正方体的表面积(教师版)【修订版1.0】
-
第
5
讲
长方体与正方体的表面积
一、教学目标
1
．掌握长方体与正方体表面积的求法，并熟记公式．
2<
/p>
．掌握长方体与正方体表面积变化规律．
3
．培养学生三维平面的想象能力．
二、知识要点
1.
长方体：
长方体共有六个面（每个面都是长方形），
八个顶点，十二条棱．
在六个面中，两个对面是全等的，即三组对
面两两全等．
（叠放在一起能够完全重合的两个
图形称为全等图形．两个全等
图形的面积相等，
对应边也相等）．
如果长方体的长、宽、高分别为
a
、
b
、
c
，
那么可
得：
长方体的表面积：
S
长方体
＝
2
（
ab
＋
bc
＋
ac
）．
2.
正方体：
我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长
方体，它的六个面都是正方形．
正方体共有六个面
(
每个面都是全等的正方形
)
，
八个顶点
，十二条棱．
如果它的棱长为
a
，那么可得：
正方体的表面积：
S
正方体
=6a
2
．
3.
表面积变化规律：
c
b
a
a
某一条棱长度增加，
则该边所构成的四个面表面积增加，
且增加面积为增
加长度乘不变棱长度积的四倍．
沿某一边垂直切开，增加的表面积为横截面积的两倍．
将两个立体图形拼在一起，减少的表面积为较小图形拼接面积的两倍．
4.
三视图：
三视图是观测者从上面、
左面、
正面三个不同角度观察同一个
空间几何体
而画出的图形．由于长方体和正方体正好分为上下左右前后六个面，故正方<
/p>
体（或长方体）的不规则堆积图形可藉由三视图求表面积．
三、例题精选
【例
1
】
<
/p>
求下列图形的表面积（单位：
cm
）．<
/p>
4
（
1
）
【
★★★★★<
/p>
】
3
5
（
2
）
【解析】（
1
）
9
4cm
2
；（
2
）
384cm
2
。
< br>
（
1
）（
3
×
5+3
×
4+4
×
5
）×
< br>2=94
（
cm
2
）；
（
2
）
6
×
8
×
8=384
（
cm
2
）。
【巩固
1
】
求下列图形的表面
积（单位：
cm
）．
5
5
（
1
）
【
★★★★★
】
（
2
）
5
【解析】（
1
）
228cm
2
；（
2
）
150cm
2
。
（
1
）（
9
×
6+9
×
4+6
×
4
）×
2=228
（
cm
2
）；
（
2
）
6
×
5
×
5=150
（
cm
2
）。
【例
2
】
<
/p>
如果一个棱长为
5
厘米的正方体的表面积
减少
126
平方厘米后仍是正方
体，则
棱长减少多少厘米？
【
★★★★★<
/p>
】
【解析】
3
厘米．
原来表面积：
5
×
5
×
6=150
（平方厘米），<
/p>
150
-
126=24
< br>（平方厘米），
24
÷
6=4<
/p>
（平方厘米），
4=2
×
2
，故棱长减少
5
－
2=3
（厘米）
<
/p>
【巩固
2
】
如果
一个棱长为
2
厘米的正方体的表面积增加
192
平方厘米后仍是正方
体，则棱长增加多少厘米？
【
★★★★★
】<
/p>
【解析】
4
厘
米．
原
来
表面积
2
×
2
×
6=24
（平方厘米），后来表面积
24+192=216
（平方厘
米），
216
÷
6=36
（平方厘米），
36=6
×
6
，故
棱长增加
6
－
2=4
< br>（厘米）。
【例
3
】
<
/p>
一个棱长为
1
米的正方体木块，
在它的八个角上各挖去一个棱长
0.3
米的
小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
< br>【
★★★★★
】
【解析】
6
平方米．
因为挖去的正方体棱长为
0.3
米，不到大正方体棱长的一半，
所以八个角
挖去后的形状与原正方体相比较，
类似于平面图形中
四个角各剪去一个小
正方形的大正方形纸片，
平面图形中这样的
剪法不影响该图形周长．
同理，
立体图形中，这样的挖法不影响
图形表面积，故表面积不变：
1
×
1<
/p>
×
6=6
（平方米）．
< br>
【巩固
< br>3
】
一个棱长为
50
厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为
5
< br>厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【
★★★★★
】
【解析】
15000
平方厘米．
对
于和长方体相关的立体图形表面积
，一般从上下、左右、
前后三组方向
考虑，变化前后的表面积不
变：
50
×
50
×
6=15000
（平方厘米）．
【例
4
】
<
/p>
在一个棱长为
5
分米的正方体表面上挖去
一个棱长为
4
分米的小正方体，
这个立
体图形的表面积是多少？
【
★★★★★
】
【解
析】
150
平方分米或
214
平方分米．
①挖去正方体正好与大正方体某一
角重合：则同上例，表面积不变，仍为
5
×
5
×
6=150
（平方分米）．<
/p>
②从顶面
中挖，
除了顶面小正方体任一面不与其他面重合：
我们把上面的
小正方体底面想象成是可以向上推的，
上推后我们发现，
小正方体顶面与
大正方体被挖掉的部分重合（都是小正方体一面的面积
），这样，这个立
体图形的表面积就可以分成两个部分：
大正方
体的六个面和小正方体的四
个面．
大正方体六个面为：
5
×
5
×
6=150
（平方分米）
，
小正方体五个面为：
4
×
4
×
4=64
（平方分米）
，
故整个图形表面积为：
150+64=214
（平方分米）
．
【巩固
4
】
如图，
在一个棱长为
5
分米的正方体上放一个棱长
为
4
分米的小正方体，
这个立体图形的
表面积是多少？
【
★★★★★
】
【解析】
214
平方分米．
我们把挖去的小正方体底面想象成是可以向下压的，
下压后我们发现，
小
正方体底面与大正方体被遮挡住的部分重合
（都是小
正方体一面的面积）
，
这样，
这个立体
图形的表面积就可以分成两个部分：
大正方体的六个面和
小正方
体的四个面．大正方体六个面为：
5
×
5
×
6=150
（平方分米），小正<
/p>
方体五个面为：
4
×
4
×
4=64
（平方分米）
，
故整个图形表面积为：
150+64=21
4
（平方分米）．
【例
5
】
<
/p>
有八个大小一样的正方体，用胶粘接成如下的大正方体，表面积比原来
减少了
24
平方厘米．请问，大正方体的表面积是多少平方
厘米？
【
★★★★★
】
【解析】
24
平方厘米．