2016全国卷II(数学理)解析版
-
绝密★启用前
20
15
年普通高等学校招生全国统一考试课标
II
理
科
数
学
注意事项：
1
．本试卷分第
I
卷（选择题）和第
I
I
卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、
准考证号码填写在答题卡上。
2
．回
答第
I
卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效
。
3
．回答第
II
卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共
12<
/p>
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
（
1
）
已知集合
A=
｛
-
2
，
-1,0
，
1,2
｝
，
B=
｛
x|
（
X-1
< br>）
（
x+2
）＜
0
｝
,
则
A∩B=
（
）
（
A
）
｛
--1,0
｝
（
B
）
｛
0,1
｝
（
C
）
｛
-1,0,1<
/p>
｝
（
D
）
｛
,0,
，
1
，
2
｝
【答案】
A
【解析】由已知得
B
x
2
x
1
，故
A<
/p>
I
B
1,0
，故选<
/p>
A
（
2
）若<
/p>
a
为实数且（
2+ai
< br>）
（
a-2i
）
=-4i,
则
a=
（
）
（
A
）
-1
（
B
）
0
（
C
）
1
（
D
）
2
【答案】
B
（
3
）根据下面给出的
2004
年至
2013
年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）
柱形图。以下结论不正确的
是
(
)
（
A
）
逐年比较，
2008
年减少二氧化硫排放量
的效果最显著
（
B
）
2007
年我国治理二氧化硫排放显现
（
C
）
2006
年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
< br>
（
D
）
2006
年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】
D
【解析】由柱
形图得，从
2006
年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，
故年排放量与年份负相关．
（
4
）等比数列｛
a
n
｝满足
a
1
=3
，
a
1
a
3
a
5
=21
，则
a<
/p>
3
a
5
a
7
(
)
（
A
）
21
（
B
）
42
（
C
）
63
（
D
）
84
【答案】
B
1
log
2
(2
x
),
x
1,
（
5
）设函数
f
(
x
)
x
1
,
f
(
2)
f
(log
2
12)
(
) <
/p>
2
,
x
1,
（
A
）
3
（
B
）
6
（
C
）
9
（
D
）
12
【答案】
C
【解析】由已知得
f
(
2)
1
log
2
4
3
，又
log
2
12
1
，所以
f
(log
2
12)
<
/p>
2
log
2
12
1
2
log
2
6
6
，故
f
(
2)
f
(log
2
12)<
/p>
9
．
（
6
）一个正方体被一个平面截去一部分后，
剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积
的比值为
（
A
）
1
1
1
1<
/p>
（
B
）
（
C
）
（
D
）
8
7
6
5
【答案】
D
【解析】由三视图得，在正方体<
/p>
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中，截去四面体
A
A
1
B
1
D
1
，如图
所示，
，设正方体棱
长为
a
，则
V
A
A
1
B
1
< br>D
1
1
1
3
1
3
1
5
a
a
，故剩余几何体体积为
a
3
a
3
a
3
，所以截去部分体积与剩余
3
2
6
6
6
部分体积的比值为
1
．
5
D
1
C
1
A
1<
/p>
D
B
1
C
A
B
（
7
）过三点
A
（
1,3
）
，
B
（
4,2
）
，
C
（
1,-7
）的圆交
于
y
轴于
M
、
N
两点，则
MN
=
（
A
）
2
6
（
B
）
8
（
C
）
4
6
（
D
）
10
【答案】
C
（
8
）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章
算术》中的
“
更相减损术
”
。执行该程序框图，
若输入
a,b
分别为
14,18
，则输出的
a=
A.0
B.2
C.4
D.14
【答案】
B
【解析】
程序在执行过程中，
a
，
b<
/p>
的值依次为
a
14
，
b
1
8
；
b
4<
/p>
；
a
10
；
a
6
；
a
2
；
b
2
< br>，
此时
a
b
2
程序结束，输出
a
的值为
2
，故选
B
．
（
9
）
已知
A,B
是球
O
的球面上两点，
∠
AOB=90,C
为该球面上的动点，
若三棱锥
O-ABC
体积的最大值为
36
，则球
O
的表面积为
A
．
36π
B.64π
C.144π
D.256π
【答案】
C
【解析】如图所示，当点
C
位于垂直于面
AOB
的直径端点时，三棱锥
O
A
BC
的体积最大，设球
O
的
半径为
R
，此时
V
O
ABC
V
C
AOB
1
1
2
1
R
R
R
3
36
，故
R
6
，则球
O
的表面积为
3
2
6
S
4
R
2
144
，故选
C
．
C
O
A
B
10.
如图，
长方形
ABCD
的边
AB=2
，
BC=1
，<
/p>
O
是
AB
的中点
，
点
P
沿着边
BC
，
CD
与
DA
运动，
记∠
BOP=x
．
将
动点
P
到
A
、
B
< br>两点距离之和表示为
x
的函数
f
（
x
）
，则<
/p>
f
（
x
）的图像
大致为
【答案】
B
的运动过程
可以看出，轨迹关于直线
x
2
对称，且
f
(
)
f
(
)
，且轨迹非线型，故选
B
．
4
2
（
11
）已知
A
，
B
为双曲线
E
的左，右顶点，点
M
在
E
上，
∆
ABM
为等腰三角形，且顶角为
120
°
，则
E
的离心率为
< br>
（
A
）
√5
（
B
）
2
（
C
）
√3
（
D
）
√2
【答案】
D
（
12
）设
函数
f’(x)
是奇函数
f
(
x
)(
x
R
)
的导函数，
f
（
-1
）
=0
，当
x
0
时，
xf
(
x
)
f
(
x
)
0
，则使得
'
f
< br>(
x
)
0
成立的
x
的取值范围是
（
A
）
（
B
）
（
C
）
【答案】<
/p>
A
【解析】
（
D
）
xf
'
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
'
记函数
g
(
x
)
，则
g
(
x
)
，因为当
x
0
时，
xf
'
(
x
)
f
(
x<
/p>
)
0
，故当<
/p>
x
0
时，
2
x
x
g
'
(
x
)
0
，所以
g
(
x
)
在
< br>(0,
)
单调递减；又因为
函数
f
(
x
)
(
x
R
)<
/p>
是奇函数，故函数
g
(
< br>x
)
是偶函数，
所以
g
(
x
)
在
(
,0)
单调递减，且
g
(
1)
g
(1)
0
．当
0
x
1
时，
g
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
0
；当
x
1
时，
g
(
x
)
<
/p>
0
，则
f
(
x
)
0
，综上所述，使得
f
(
x
)
0
成立
的
x
的取值范围是
< br>(
,
1)
U
(0,1)
，故选
A
．
二、填空题
r
r
r
r
r
r
（
13
）设向量
a
，
b
不平行，向量
a
b
与
a
2
b
平行，则实数
< br>_________
．
【答案】
1
2
r
r
r
r<
/p>
r
r
r
r
k
，
1
k
a
2
b
）
【解析】因为向量
a
b
与
a
2
b
平行，所以
a
b
（
，则
所以
．
< br>2
1
2
k
,
x
y
1
0
，
（
14
）若
x
，
y
满足约束条件
<
/p>
x
2
y
0,
，则
z
x
y
的最大值为
____________
．
x
2
y
2
< br>
0,
【答案】
3
2
4
< br>3
2
1
–4
–3
–2
–1
y
< br>B
D
1
2
3
4
O
–1
–2
–3
–4
4
x
C
（
1
5
）
(
a
<
/p>
x
)(1
x<
/p>
)
的展开式中
x
的奇数次幂项的系数之和为
32
，则
a
__________
．
【答案】
3
【解析】由已知得
(1
x
)
1
4
x
6
x
4
x
x
，故
(
a
x
)(1
x
)
的展开式中
x
的奇数次幂项分别为
4
2
3
4
4
4
ax
，
4
a
x
3
，
x
，<
/p>
6
x
3
，
x
5
，其系数之和为
4
a
4
a<
/p>
1+6+1=32
，解得
a
3
．
< br>
（
16
）设
< br>S
n
是数列
< br>a
n
的前
n
项和，且
a
1
< br>
1
，
a
n
1
S
n
S
n
1
，则
S
n
________
．
【答案】
1
n
【解析】
由已知得
< br>a
n
1
S
n
1
S
n
S
n
1
S
n
，
两边同时除以
S
n
1
S
n
，
得
1
1
1
1
，
故数列
是
S
n
1
S<
/p>
n
S
n
以
1
为首项，
1
为公差
的等差数列，则
1
1
1
(
n
1)
<
/p>
n
，所以
S<
/p>
n
．
n
S
n
三．解答题
（
17
）
∆
ABC
中，
D
是
BC
上的点，
AD
平分∠
BAC
，
∆
ABD
是
∆
ADC
面积的
2<
/p>
倍。
(
Ⅰ
)
求
sin
B
;
sin
<
/p>
C
2
求
BD
和
AC
的长
.
2
(
Ⅱ
) <
/p>
若
AD
=1
，<
/p>
DC
=
(18)
某公司为了解用户对其产品的满意度，从
< br>A
，
B
两地区分别随机调查了<
/p>
20
个用户，得到用户对产品的
满意度评
分如下：
A
地区：
62
73
81
92
95
85
74
64
53
76
78
86
95
66
97
78
88
82
76
89
B
地区：
73
83
62
51
91
46
53
73
64
82
93
48
65
81
74
56
54
76
65
79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图
，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值
及分散程度（不要求计算出具体值，得出
结论即可）
；
（Ⅱ）根据用户满意度
评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
满意度等级
低于
70
分
不满意
70
分到
89
分
满意
不低于
90
分
非常满意
记时间
C
：
“A
地区用户的满意度等级高
于
B
地区用户的满意度等级
”
。假设两地区用户的评价结果相互独
立。根据所给数据，以事件发生的频
率作为相应事件发生的概率，求
C
的概率
19
．
（本小题满分
12
分）
如图，长方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
=
16
，
BC
=
10
，
AA
1
= 8
，点
E
，
F
分别在
A
1
B
1
，
D
1
C
1
上，
A<
/p>
1
E
=
D
1
F
=
4
，过点
E
，
F
的平面
α
与此长方体的
面相交，交线围成一个正方形。
（
1
）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）
；
（
2
）求直
线
AF
与平面
α
所成的角的正弦值。
A
B
D
1
F
C
1
A
1
E
D
B
1
C