2016全国卷Ⅰ高考理科数学试卷及答案与解析(word版)
-
2016
年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
★祝考试顺利★
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分
，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
（
1
）
<
/p>
设集合
A
x<
/p>
x
4
x
3
0
，
B
x
2
x
3
0
，则
A
B
（
A
）
（
3
，
3
3
3
3
）
< br>
（
B
）
（
3
，
）
（
C
）
（
1
，
）
（
D
）
（
，
3
）
2
2
2
2
（
2
< br>）
设
(
1
i
)
x
1
yi<
/p>
，其中
x
,
y<
/p>
是实数，则
x
yi
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2
（
3
）
已知等差数列
a
n
前
9
项的
和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
（
4
）
某公司的班车在
7:30,8:00,8:30
发车，
小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，
且到达发车
站
的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
< br>分钟的概率是
（
A
）
（
B
）
1
3
1
2
3
（
C
）
（
D
）
2
3
4
x
2
y
2
2
1
表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距离为
4
，
则
m
的取值范围是
（
5
）
已知方程
2
m
<
/p>
n
3
m
n
（
A
）
（
1
，
3
）
（
B
）
（
1
，
3
）
（
C
）
（
0
，
3
）
（
D
）
（
0
，
3
）
（
6
）
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
< br>径．若该几何体的体积是
28
，则它的表面积是
3
（
A
）
17
π
（
B
）
18
π
（
C
）
20
π
（
D
）
28
π
2
的图象大致为
（
7
）
函数
y
2
x
e
在
2
，
2
x
y
1
-2
O
2
x
-2
1
O
y
1
2
x
-2
O
y
1
2
x
-2
O
y
2
x
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
理科数学试卷
A
型
第
1
页（共
5
页）
（
8
）
若
a
b
1
，
0
c
1
< br>，则
（
A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
（
9
）
执行右图的程序框图，如果输入的
x
0
,
y
1
,
n
1
，则输
出
x
,
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
5
x
否
开始
输入
x
,
y
,
n
n
n
1
x
x
n
< br>1
,
y
ny
2
x
2
y
2
36
是
输出
x<
/p>
,
y
（
10
）
<
/p>
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
,
B
两点，交
C
的准线于
D
,
E
两
点．已知
AB
4
2
，
DE
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
结束
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
6
（
D
）
8
（
11
）
<
/p>
平面
过正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
∥平面
CB
1
D
1
，
<
/p>
∩平面
ABCD
m
，
∩平
面
ABB
1
A
1
n
，则
m
,
n
所成角的正弦值为
（
A
）
1
3
2
3
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
3
2
（
12
）
已知函数
f
(
x
)
sin(
x
)
(
0
,
)
，
x
为
f<
/p>
(
x
)
的零点，
x
为
y
f
(
x
)
图象
2
4
4
的对称轴，且
f
(
x
)
在
(
5
,
)
单调，则
的最大值为<
/p>
18
36
（<
/p>
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部
分。第
(13)
～
(21)
题为必考题，每个试题都必须作答。第
(22)
～
(24)
题为
选考题，考生根据要求作
答。
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分。
（
13
）
<
/p>
设向量
a
(<
/p>
m
,
1
)
，
b
(
1
,
2
)
，且
a
b
< br>（
14
）
(
2
x
2
a
b<
/p>
，则
m
．
2
2
（用数字填写答案）
< br>x
)
5
的展开式中，
x
3
的系数是
．
（
15<
/p>
）
设等比数列
a
n
满足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
4
5
，则
a
1
a
2
< br>
a
n
的最大值为
．
（
16
）
<
/p>
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料
.
生产一件
A
需要甲材料
1.5kg,
乙材料
1kg
，
用
5
个工时；
< br>生产一件
B
需要甲材料
0.5k
g,
乙材料
0.3kg
，
用
3
个工时
.
生产一件
A
产品的利
理科数
学试卷
A
型
第
2
页（共
5
页）
润为
210
0
元，
生产一件
B
产品的利润为
900
元
.
该企业现有甲材料
150kg
，
乙材料
90kg
，
则在不超<
/p>
过
600
工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的利润之
和的最大值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（
17
）
<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
△
ABC
的内角
A
,
B
,
< br>C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
2
cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
.
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c
（
18
）
<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
7
，
△
ABC
的面积为
3
3
.
求
△
ABC
的周长
.
2
AFD
90
，
如图，
在以
A
,
B
,
C
,
D
,
E
< br>,
F
为顶点的五面体中，
面
ABEF
为正方形，
AF
< br>
2
FD
，
且二面角
D
AF
E
与二面角
C
BE
F
都是
60
°
.
（Ⅰ）证明：平面
ABEF
⊥平面
< br>EFDC
；
（Ⅱ）求二面角<
/p>
E
BC
A
的余弦值
.
（
19
）
<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
某公司计划购买
2
台机器，该
种机器使用三年后被淘汰
.
机器有一易损零件，在购买机器时，
可
以额外购买这种零件为备件，
每个
2
00
元
.
在机器使用期间，
如果备件不足再购买，
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件
，为此搜
集并整理了
100
台这种三年
使用期内更换的易损零件，得
下面柱状图：
< br>以这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器
更换的易损零件数发生的频率，
记
X
表示
2
台机器三年内
O
频数
C
D
E
A
F
B
40
20
8
9
10
11
更换的
易损零件数
共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数
.
（Ⅰ）求
X
的分布列；
0
.
5
，确定
n
的最小值；<
/p>
（Ⅱ）若要求
P
（
X
n
）
（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在
n
19
与
n
20
之中选其一，应选用哪
< br>个？
理科数学试卷
A
型
第
3
页（共
5
页）
（
20
）
<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
设圆
x
< br>2
y
2
2
x
1
5
0
的圆心为
A
，
直线
l
过点
B
(
1
,
0
)
且与
x<
/p>
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
,
D
两
点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
< br>于点
E
.
（Ⅰ）证明
EA
EB
为定值，并
写出点
E
的轨迹方程；
（Ⅱ）
设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，
直线<
/p>
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，
过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交
于
P
,
Q
两点
，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
（
21
）
<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
已知函数
f
(
x
)
< br>(
x
2
)
e
x
a
(
x
1
)
2
有两个零点
.
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
2
.
请考生在第（<
/p>
22
）
、
（
23
）
、
（
24
）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（
22
）
<
/p>
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图，
△
OAB
是等腰三角形，
AOB
120
.
以
O
为圆心，
（Ⅰ）证明：直线
< br>AB
与⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明：<
/p>
1
OA
为半径作圆
.
2
D
O
A
C
AB
∥
C
D
.
（
23
）
<
/p>
（本小题满分
10
分）选修
4-4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
B
x
a<
/p>
cos
t
,
(<
/p>
t
为参数，
a
0
).
在以坐标原点
< br>
y
1
a
sin
t
,
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐
标系中，曲线
C
2
：
< br>
4
cos
< br>
.
理科数学试卷
A
型
第
4
页（共
5
页）
（Ⅰ
）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）
直线
C
3
的极坐标方程为
0
，
其中
0
满足
tan
0
2
，
若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在<
/p>
C
3
上，求
a<
/p>
.
（
24
）
<
/p>
（本小题满分
10
分）选修
4-5
：不等式选讲
已知函数
f
(
x
)
x
<
/p>
1
2
x
3
.
（Ⅰ）在答
题卡第（
24
）题图中画出
y
f
(
x
)
的图像；
（Ⅱ）求不等
式
f
(
x
)<
/p>
1
的解集
.
y
1
o
1
x
理科数学试卷
A
型
第
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5
页）
2016
年
全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析
一、选择题
【答案】
（
1
）
D
（
2
）
B
（
3
）
C
（
4
）
B
（
5
）
A
（
6
）
A
（
7
）
D
（
8
）
C
（
9
）
C
（
10
）
B
（
11
）
A
（
12
）
B<
/p>
【解析】
2
（
1
）
A
x
x
4
x
3
0
x
< br>1
x
3
，
B
x
2
x
3
0
x
x
< br>
3
，∴
2
3
<
/p>
A
B
x
x
3
．
2
（
2
）∵
(
1
i
)
x
1
yi<
/p>
即
x
xi
1
yi
∴
x
1
x
1
2
2
，
解得：
，
∴
x
yi
x
y
2
．
x
y
y
1
（
3
）∵
S
9
9
(
a
1
a
9
)
9
2
a<
/p>
5
a
a
5
9
a
5
27
∴
a
5
< br>3
，∵
a
10
< br>
8
∴
d
10
1
，∴
2
2
10
5
a
100
a
10
9
0
d
98
．
（
4
）如图
所示，画出时间轴：
7:30
7:40
7:50
A
8:00
C
8:10
8:20
D
8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中
线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才
< br>能保证他等车的时间不超过
10
分钟，
< br>
根据几何概型，所求概率
p
10
10
1
．
40<
/p>
2
x
2
y
2
2
1
表示双曲线，则
(
m<
/p>
2
n
)(
3
m
2
n
)
0
，∴
m
2
n
3
m
2
，
（
5
）
2
m<
/p>
n
3
m
n
∵
2
c
4
2
2
2
2
c
(
m
n<
/p>
)
(
3
m
n
)
4
m
2
解得
m
1
< br>，∴
1
n
3
．
（
6
）原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
1/8
后的三视图，表面积是
7/8
的球面面积和三个扇形面
积之和，
理科数学试卷
A
型
第
6
页（共
5
页）
∴<
/p>
S
7
1
4
2
2
3
2
2
17
8
4
（
7
）
f
(
2
)
8
e
2
8
2
.
8
< br>2
0
，排除
< br>A
；
f
(
2
)
8
e
2
8
2
.
< br>7
2
1
，排除
B
；
1
1
x
0
时，
f
(
x<
/p>
)
2
x
2
e
x
，
f
(
x
)
4
x
e
x
，当
x
(
0
,
)
时，<
/p>
f
(
x
)
4
e
0
0
∴
4
4
1
f
(
x
)
在
(
0
,<
/p>
)
单调递减，排除
C
；
4
故选
D
<
/p>
c
c
（
8
）对
A
：由于
0
c
1
，∴函数
y
x
c
在
R
上单调递增，
因此
a
b
1
a
b
，
A
错误；
对
B
：由于
1
c
1
0
，∴函数
y
x
c
1
在
1,
上单调递减，
∴
a
b
1
a
c
< br>1
b
c
1
ba
c
ab
c
，
B
错误
对<
/p>
C
：要比较
a
l
og
b
c
和
b
log
a
c
，
只需比较
和
a
ln
a
构造函数
a
< br>ln
c
b
ln
< br>c
ln
c
ln
< br>c
和
，只需比较
和
，只需
b
ln
b
ln
a
b
ln
b
a
ln
a
ln
b
f
x
x
ln
x
x
1
，则
f
'
x
<
/p>
ln
x
1
1
0
f
x
1,
，
在
上单调递增，因此<
/p>
1
1
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
< br>b
log
a
c
< br>
a
log
b
< br>c
，
C
正确
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
对
D
：要比较
log
a
< br>c
和
log
b
< br>c
，只需比较
和
ln
a
ln
b
1
1
而函数
y
ln
x
在
1,
上单调递增，故
a
b
1
ln
a
ln
b
0
ln
a
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
< br>c
1
得
ln
c
0
，∴
log
a
c
log
b
c
，
D
错
误
ln
a
l
n
b
f
a<
/p>
f
b
0
a
ln
a
b
ln
b
0
故选
< br>C
．
1
【
2
°用特殊值法，令
a
3
,
b
2
,
c
得
3
2
2
2
，排除
A
；
3
2<
/p>
2
2
3
2
，排除
B
；
2
3
log
2
1
1
1
2
log
3
2
，
C
正确；
log
3
log
2
，排除
D
；∴选<
/p>
C
】
2
2
2
循环节运
行次数
运行前
第一次
第二次
第三次
n
1
x
x
x
2
1
1
< br>1
1
（
9
）如下表：
判断
<
/p>
y
y
ny
1
x
2
y
2
36
/
否
否
是
是否
输出
/
否
否
是
n
n
n
1
1
0
0
1
2
6
2
3
1
2
3
2
理科数学试卷
A
型
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