2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案
-
一、选择题
(
本大题共
12
小题，共
60.0
分
)
1.
已知
z=
（
m+3
）
+
（
m-1
）
i
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m
的取值范围是（
）
A.
（<
/p>
-3
，
1
）
B.
（
-1
，
3
）
C.
（
1
，+∞）
D.
（
-
∞，
-3
）
2.
已知集合
A={1
，
2
，
3}
，
B=
{x|
（
x+1
）
（
x-2
）＜
0
< br>，x∈Z}，则
A∪B=（
）
A.{1}
B.{1
，
2}
C.{0
，
1
，
< br>2
，
3}
D.{-1
，
0
，
1
，
2
，
3}
3.
已知
向量
=
（
1
，
m
）
，
=
（
3
，
-2
）
，且（
+
）⊥
，则
m=
（
）
A.-8
B.-6
C.6
D.8
4.
圆
x
2<
/p>
+y
2
-2x-8y+13=0
的圆心到直线
ax+y-1=0
的距离为
1
，则
a=
（
）
A.-
B.-
C.
D.2
5.
如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小
红会合，
再一起到位于
G
处的老年公寓
参加志愿者
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
A.24
B.18
C.12
D.9
6.
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何
体的表面积为（
）
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
7.
若将函数
y=2sin2x
的图
象向左平移
A.x=
-
（k∈Z）
B.x=
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（
）
-
（k∈Z）
D.x=
+
（k∈Z）
+
（k∈Z）
C.x=
高中数学试卷第
1
页，共<
/p>
15
页
8.<
/p>
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的
x=2
，
n=2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输
出的
s=
（
）
A.7
B.12
C.17
D.34
9.
若
cos
（
-
α）
=
，则
sin2α=（
）
A.
B.
C.-
D.-
1
0.
从区间
[0
，
1]
随机抽取
2n
个数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，
y
1
，
y
2
，…，
y
n
构成
n
个
数对（
x
1
，
y
1
）
，
（
x
2
，
y
2
）…（
x
n
，
y
n
）
，其中两数的平方和小于
1
的数对共有
m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π
的近似值为（
）
A.
<
/p>
11.
已知
F
1
，
F
2
是双曲
线
E
：
-
=1
的左、右焦点，点
M
在
E
上，
MF
1
与
x
B.
C.
D.
轴垂直，sin∠MF
2
F
1
=
，则
E
的离心率为（
）
A.
12.
已知函数
f
（
x
）
（x∈R）满足
f
（
-x
）
=2-f
（
x
）
，若函数
y=
与
y=f
（
x
）图象的交点为（
x
1
，
B.
C.
D.2
y
1
）
，
（
x
2<
/p>
，
y
2
）
，…，
（
x
m
，
y
m
）
，则
（
x
i
+y
i
）
=
（
）
A.0
B.m
C.2m
D.4m
二、填空题
(
本大题共
4
小题，共
20.0
分
)<
/p>
13.△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
cosA=
，
cosC=
，<
/p>
a=1
，则
b= ______
．
14.α，β
是两个平面，
m
，
n
是两条直线，有下列四个命题：
①如果
m⊥n，m⊥α，n∥β，那么
α⊥β．
<
/p>
②如果
m⊥α，n∥α，那么
m⊥n．<
/p>
③如果
α∥β，
m
⊂
α，那么
m∥β．
④如果
m∥n，α∥β，那么
m
与
α
所成的角和
n
与
β
所成的角相等．<
/p>
其中正确的命题是
______
（填序号）
15.
< br>有三张卡片，分别写有
1
和
2<
/p>
，
1
和
3
，
2
和
3
．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的
卡片后说：“我与乙的卡片
上相同的数字不是
2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同
< br>的数字不是
1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是
5
”，则甲的卡片上的数字是
______
．
16.
若
直线
y=kx+b
是曲线
y=lnx+
2
的切线，也是曲线
y=ln
（
x+1
）的切线，则
b= ______
．
高中数学试卷第
< br>2
页，共
15
页
三、解答题
(
本大题共
8
小题，共
94
.0
分
)
1
7.S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
=1
，
S
7
=28
，记
b
n
=[lga
n
]
，其中
[x]
表示不超过
x
的最大整
数，如
[0.9]=0
，
[l
g99]=1
．
（Ⅰ）求
b
1
，
b
11
，
b
101
；
（Ⅱ）求数列
{b
n
}
的前
10
00
项和．
18.
某保险的基本保费为
a
（单位：元）
，继续购买该保险的投保人成为
续保人，续保人本年度的保
费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险
0
次数
保费
0.85a
1
a
2
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
≥5
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险
0
次数
概率
0.30
1
0.15
2
0.20
3
0.20
4
0.10
≥5
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19.
如
图，
菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，
AB=5
，
AC=6
，
点
E<
/p>
，
F
分别在
AD
，
CD
上，
A
E=CF=
，
EF
交于
BD
于点
M
，将
△DEF
沿
EF
折到△D′
EF
的位置，OD′=
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面
ABCD
；
（Ⅱ）求二
面角
B-
D′A
-C
< br>的正弦值．
．
高中数学试卷第
3
页，共
15
页
20.
已知椭圆
E
：
+
=1
的焦点在<
/p>
x
轴上，
A
是<
/p>
E
的左顶点，斜率为
k
< br>（
k
＞
0
）的直线交
E
于
A
< br>，
M
两点，点
N
在
E
上，MA⊥NA．
<
/p>
（Ⅰ）当
t=4
，
|AM|=|AN|
时，求△AMN
的面积；
（Ⅱ）当
2|AM|=|AN|
< br>时，求
k
的取值范围．
21.
（
Ⅰ）讨论函数
f
（
x
< br>）
=
e
的单调性，并证明当
x
＞
0
时，
（
x-2
）
e
+x+2
＞
0
；
（
x
＞
0
）有最小值．设
g
（
x
）的最小值
x
x
（Ⅱ）证明：当
a∈[0，
1<
/p>
）时，函数
g
（
x
）
=
为
h<
/p>
（
a
）
，求函数
h
（
a
）的值
域．
22.
如图，在正方形
ABCD
中，
E
，
G
分别在边
DA
，
DC
上（不与
端点重合）
，且
DE=DG
，过
D
点作
DF⊥CE，垂足为
< br>F
．
（Ⅰ）证明：
B
，
C
，
G
，
F
四点共圆；
（Ⅱ）若
AB=1
，
E
为
DA
的
中点，求四边形
BCGF
的面积．
23.
在
直角坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为（
x+6
）
2<
/p>
+y
2
=25
．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
C
的极坐
标方程；
（Ⅱ）直线
l
的参数方程是
斜率．
（
t
为参数
）
，
l
与
C<
/p>
交与
A
，
B
两点，
|AB|=
，求
l
的
高中数学试卷第
4
页，共
15
页
24.
已知函数
f
（<
/p>
x
）
=|x-
|
+|x+
|
，
M
为不等式
f
（
x
）＜
2
的解集．
（Ⅰ）求
M
；
（Ⅱ）证明：当
a
，b∈M
时，
|a+b|
＜
|1+
ab|
．
2016
年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）
（理科）
答案和解析
【答案】
1.A 2.C
3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D
10.C 11.A 12.B
13
.
14
.②③④
15
.1
和
3
16
.1-ln2
17
.
解：
（Ⅰ）
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
=1
，<
/p>
S
7
=28
，<
/p>
7a
4
=28
．
可得
a
4
=4
，则公差
d=1
< br>．
a
n
=n
，
b
n
=[lgn]
，则
b
1
=[lg1]=0
，
b
11
=[lg11]=1
，
b
101
=[lg101]=2
．
< br>（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
b
1
=b
2
=b
3
=…
=b
9
=0
，
b
10
=b
11
=b
12
=…=b
99
=1
．
b
100
=b
101
=b
102
=b
103
=…=b
999
=2
，
b
10
，
00
=3
．
数列
{b
n
}
的前
1000
项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．
18
.
解：
（Ⅰ）∵某保险的基本保费为
a
（单位：元）<
/p>
，
上年度出险次数大于等于
2
时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p
1
=1-0.30-0.15=0.55
．
（Ⅱ）
设事件<
/p>
A
表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，
事件
B
表示“一续保人本年度的保
费比基本保费高出
60%”，
由题意
P
（
A
）
=0.55
，
P
（
AB
）
=0.10+0.05=
0.15
，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出
60%
的概率：
p
2
=P
（
B|A
）
=
=
=
．
（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
=1.23
，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
1.23
．
19
.
（Ⅰ
）证明：∵ABCD
是菱形，
高中
数学试卷第
5
页，共
15
页
∴AD=DC，又
AE
=CF=
，
∴
，则
EF∥AC，
又由
ABCD
是菱形，得
AC⊥BD，则
EF⊥BD，
∴EF⊥DH，则
EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又
< br>AB=5
，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH=
2
2
，则
DH=D′H=
3，
2
∴|OD′|
=|OH|
+|D′H|
，则
D′H⊥OH，
又
OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面
ABCD
；
（Ⅱ）解：以
H
为坐标原点，建立如图
所示空间直角坐标系，
∵AB=5，
AC=6
，
∴B（
5
，
0
，
< br>0
）
，
C
（
1
，
3
，
0
）
，D′（
0
，
0
，
3<
/p>
）
，
A
（
1
，
-3
，
0
）
，
，
设平面
ABD′的一个法向量为
，
，
由
∴
，得
．
，取
x=3
，得
y=-4
，
z=5
．
同理可求得平面
A
D′C
的一个法向量
设二面角二面角
B-
D′A
-C
的平面角
为
θ，
，
则|cosθ|=
．
∴二面角
B-
D′A
-C<
/p>
的正弦值为
sinθ=
．
20
.
解：
（Ⅰ）
t=4
时，椭圆
E
的方程为
+
=1
，
A
（
-2
，<
/p>
0
）
，
2
2
2
2
直线
AM
的方程为
y=
k
（
x+2
）
，代入椭圆方程，整理可得（
3+4k
）
x
+16k
x+16k
-12=0<
/p>
，
解得
x=
-2
或
x=-
，则
|AM|=
•|2
-
|=
•
，
由
AN⊥AM，可得
|AN|=
•
< br>=
•
，
高中数学试卷第
6
页，共
15
页
由
|AM|=
|AN|
，
k
＞
0
，可得
2
•
2
=
•
，
整理可得（
k-1
）
< br>（
4k
-k+4
）
=0
，由
4k
-k+4=0
无实根，可得
k=1
，
即有△AMN
的面积为
|
AM|
=
（
（Ⅱ）直线
AM
的方程为
y=k
（
x+
可得（
3+tk
）
x
+2t
2
2
2
2
2
2<
/p>
•
）
=
2
；
）
，代入椭圆方程，
k
x+t
k
-3t=0
，
解得
x=-
即有
|AM|=
或
x=-
•|
，
-
|=
•
，
< br>
|AN|═
•
=
•
，
由
2|AM|=|AN|
，可得
2
•
=
•
，
整理得
t=
，
＜
0
，
<
/p>
由椭圆的焦点在
x
轴上，则
t
＞
3
，即有
＞
3
，即有
可得
＜
k
＜
2
，即
k
的取值范围是（
，
2
）
．
21
.
解：
（
1
）证明：
f
（
x
）
=
f'
（
x
）
=e
（
x
）
=
∵当
x∈（
-
∞，
-2
）∪（
-2
，+∞）时，
f'
（
x
）＞
0
< br>∴f（
x
）在（
-
∞，
-2
）和（
-2
，+∞）上单调递增
∴x＞
0
时，
x
＞
f
（
0
）
=-1
即（
x-2
）
e
+x+2
＞
0 <
/p>
（
2
）
g'
（
x
）
=
a∈[0，
1]
由
（
1
）
知，
当
x
＞
0
时，<
/p>
f
（
x
）
=
=
的值域为
（
-1
，
+∞）
，
只有一解使得
，
t∈[0，
2]
当
x∈（
0
，
t
）时，
g'
（
x
）＜
0
，
g
（
x
）单调减；
当
x∈（
t<
/p>
，+∞）
，
g'
（
x
）＞
0
，
g
（
x
）单调
增；
高中数学试卷第
7
页，共
15
页