2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案解析
-
2016
年全国高考新课标
1
< br>卷文科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题，本大题共
12
小题，每小题<
/p>
5
分，共
60
分
．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
．设集合
A=
{1,3,5,7}
，
B=
{
x
|2≤
x
≤5}<
/p>
，则
A
∩
B=<
/p>
(
)
A
．
{1
,3}
B
．
{3,5}
C
．
{5,7}
D
．
{1,7}
2
．设
(1
+2
i
)(
a+i
)
的实部与虚部相等，其中
a
为实
数，则
a=
(
)
A
．
-3
B
．
-2
C
．
2
D
．
3 <
/p>
3
．为美化环境，从红、黄、白、紫
4<
/p>
种颜色的花中任选
2
种花种在一个花坛中
，余下的
2
种
花种在另一个花坛中，则
红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
(
)
<
/p>
1
1
2
5
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
6
2
4
．
Δ
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为<
/p>
a
,
b
,
c
.
已知
a
5,
c
2,cos
A
，
3
则
b=
(
)
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3
<
/p>
5
．直线
l
经过
椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到
l
的距离为其短轴长
的
1
，则该椭圆的离心率为
(
) <
/p>
4
1
1
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
4
1
6
．若将函数
y
=2sin (2
x
+
)
的图像向右平移
个周期后，所
得图像对应的函数为
4
6
(
)
<
/p>
A
．
y
=2sin(
2
x
+
)
B
．
y
=2s
in(2
x
+
)
C
．
y
=2sin(2
x
–
)
D
．
y
=2sin(2
x
–
)
4
3
4
< br>3
7
．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每
个
28
圆
中两条相互垂直的半径
.
若该几何体的体积是
< br>，
3
则它的表面积是
(
)
A
．
17π
B
．
18π
C
．
20π
D
．
28π
8
．若
a
><
/p>
b
>0
，
0<<
/p>
c
<1
，则
(
) <
/p>
A
．
log
a<
/p>
c
2,2]
C
b
c
B
．
log
c
a
c
b<
/p>
C
．
a
c
<
b
c
D
．
c
a
>
c
b
9
．函数
y
=2
x
2
–
e
|
x
|
在
[
–
的图像大致为
(
)
y
y
10
．执行右面的程序框图，如果
输入的
x
=0
，
y
=1
，
n
=1
y
，
开始
y
则
输出
x
，
y
的
值满足
(
)
输入
1
x
,
y
,
n
1
1
1
A
．
y<
/p>
=2
x
B
．
y
=3
x
O
O
O
2
x
-2
-2
2
x
-2
n
1
C
．
y
=4
O
x
2
x
D
．
y
=5
x
2
x
-2
x
x
,
y
ny
n=n+
1
2
11
．平面
α
过正方体
ABCD
-
A
1
B
1
1
D
1
的顶点
A
，
α
//
平面
C
B
1
D
1
，<
/p>
α
∩
平面
ABC
D=m
，
A
D
B
C
否
2
2
x
+
y
≥
36
α
∩
平面
ABB
1
A
1
=n
，则
m
，
n
所成角的正弦值为
(
)
是
3
3
2
1
A
．
B
．
C
．
D
．
输出
x
,
y
2
3
2
3
1
结束
(
)
12
．若函数
f
(
x
)
x
-
sin
2
x
a
si
n
x
在
(-
∞
,+∞)
单调递增，则
a
的取值范围是
3
1
1
1
1
A
．
[-1,1
]
B
．
[-1
,
]
C
．
[-<
/p>
,
]
D
．
[-1,-
]
3
3
3
3
第Ⅱ
卷
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
13
题
~<
/p>
第
21
题为必考题，每个试题考生都必须
作答，
第
22
题
~
第
24
题为选考题，考生根据要求
作答
.
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．把答案填在横线上．
1
3
．设向量
a
=(
x
，
x
+1)
，
b
=(1
，
2)
，且
a
⊥
b
，则
x
=
.
π<
/p>
3
π
14
．已知
θ
是第四象限角，且
sin(
θ
+
)=
，则
tan(
θ
-
)=
.
<
/p>
4
5
4
15
．设直线
y=x
+2
a
与圆
C
：
x
2
+
y
2<
/p>
-2
ay
-2=0
相交于
A
，
B
两点，若
|
AB
|=
2
3
，
则圆
C
的面积为
. <
/p>
16
．某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料
.
生产一件产品
A
需要甲材
料
1.5kg
，乙材料
1kg
，用
5
个工时；生产一件产品
< br>B
需要甲材料
0.5kg
，乙材
料
0.3kg
，用
3
< br>个工时，生产一件产品
A
的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润
为
900
元
.
该企业现有
甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的利
润之和的最大值为
元
.
三、解答题：解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤
.
只做
6
题，共
70
分
.
17.
（本题满分
12
分）
1
已知
{
a
n
}
是公差为
3
的等差数列，数列
{<
/p>
b
n
}
满足
b
1
=1
，
b
2
=
，
a
n
b
n
+1
+
b
n
< br>+1
=
nb
n
< br>.
3
(
Ⅰ
)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(
Ⅱ
)
求
{
b
n
}
的前
n
项和
.
18.
（本题满
分
12
分）
如图，已知正三棱锥
P
-
ABC
的侧面是直角三角形，
P
A
< br>=6
，顶点
P
在平面
ABC
内的正投影
P
<
/p>
为点
D
，
D
在平面
P
AB
内的
正投影为点
E
，
连接
PE
并延长交
AB
于点
G
.
(
Ⅰ
)
证明
G
是
AB
的中点；
E
A
C
(
Ⅱ
)
在答题
卡第（
18
）题图中作出点
E
在平面
P
AC
D
G
内的正投影
F
(
说明作法及理由
)
，并求四面体
PDEF
的体积．
B
19.
（本小题满分
12
分）
某公司计
划购买
1
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有一易损零件，在购进机
器时，
可以额外购买这种零件作为备件，
每个
200
元
.
在机器使用期间，
如果备件不足再购买，
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，
为此搜集并整理了
100
台这种
机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
< br>记
x
表示
1
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，
y
表示
1
台机器在购买易损零件
上所需的费用（单位
：元）
，
n
表示购机的同时购买的易损
零件数
.
(
Ⅰ
)
若
n
=19
，求
y
与
x
的函数解析式；
(
Ⅱ
)
若要求
“
需更换的易损零件
数不大于
n
”
的频率不小于
0.5
，求
n
的最小值；
(
Ⅲ
)
假设这
100
台机器在购机的同时每台都购
买
19
个易损零件，或每台都购买
20
个易损
零件，分别计算这
100
台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买
1
台机器的同时应购买
19
个还是
20
个易损零件？
20.
（本小题满分
12
分）
在直角坐标系
xoy
中，直线
l
：
y
=
t
(
t
≠0)
交
y
轴于点
M
，交抛物线
C
：
y
2
=2
px
(
p
>0)
于点
P
，
M
关于点
P
的对称点为
N
，连结
ON
并延长交
C
于
点
H
.
OH
(
Ⅰ
)
求
；<
/p>
(
Ⅱ
)
除
H
以外，直线
MH
与
C
是否有其它公共点？说明理由
.
ON
21.<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
已知函数
f
(
x
)=(
x
-2)
e
x
+
a
(
x
-1)
2
.
(
Ⅰ
)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(
Ⅱ
)
若有两个零点，求
a
的取值范围
.
请考生在
2
2
、
23
、
2
4
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
,
< br>做答时请写清
题号
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
1<
/p>
如图，
Δ
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=120°
.
以
O
为圆心，
OA
为半径作圆
.
2
(
Ⅰ
)
证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
(
Ⅱ
)
点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
< br>,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
23.
（本小题满分
10
分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方
程
x
<
/p>
a
cos
t
在直
线坐标系
xoy
中，曲线
C
1
的参数方程为
（
t
为参数，
a
>0
）
.
在以坐标原
y
1
a
sin
t
点
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
ρ
=4cos
θ
.
(
Ⅰ
)
说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
(
Ⅱ
)
直线
C
3
的极坐标方程为
θ=α
0<
/p>
，其中
α
0
满足
tan
α
0
=
2
，
若曲线
C
1
与
C
2
的公
共点都在
C
3
上，求
< br>a
.
24.
（本小题满分
10
分）
，选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函数
f
(
< br>x
)=|
x
+1|
-|2
x
-3|.
(
Ⅰ
)
在答题卡第
24
题图中画出
y
=
f
(
x
)
的图像；<
/p>
(
Ⅱ
)
求不等式
|
f
(<
/p>
x
)|>1
的解集
.
2016
年全国高考新课标
1<
/p>
卷文科数学试
题
参考答案
一、选择题，本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．
1B
2A
3C
4D
5B
6D
7A
8B
9D
10C
11A
12C
< br>二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
< br>5
分，共
20
分．
2
4
< br>13
．
14
．
15
．
4π
16
．
216000
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤
.
只做
6
题，共
70
分
.
< br>1
17
．解：
(
Ⅰ
)
依题
a
< br>1
b
2
+
b
2
=
b
1
，
b
1
=1<
/p>
，
b
2
=
，解得
a
1
=2
…
2
分
3
通项公式为
a
n
=2+
3(
n
-1)=3
n
< br>-1
…
6
分
1
1
(
Ⅱ
)
由
(
Ⅰ
)
知
3
nb
n
+1
=
nb
n
，
b
n
+1
=
b
n
，所以
{
b
n
}
是公比为
的等比数列
.
…
9
分
3
3
1
P
1
(
)
n
3
3<
/p>
1
…
12
分
F
所以
{<
/p>
b
n
}
的前
n
项和
S
n
=
n
1
1
2
2
3
1
E
3
A
C
18
．
(
Ⅰ
)
证明：
PD
⊥平面
ABC
，∴
PD
⊥
AB
．
D
G
又
DE<
/p>
⊥平面
P
AB
，
∴
DE
⊥
AB
．∴
AB
⊥平面
PDE
．
…
3
分
B
又
PG
平面
PDE
，∴
AB
⊥
PG
．依题
P
A=PB
，∴
G
是
AB
的中点．…
6
分
(
Ⅱ
)
解：在平面
P
AB<
/p>
内作
EF
⊥
P<
/p>
A
（或
EF
//
PB
）垂足为
F
，
则
F
是点
E
在平面
P
AC
内的正投影
.
…
7
分
理由如下：∵
PC
⊥
P
A
，
PC
⊥
PB
，∴
PC
⊥平面
P
AB
．
< br>
∴
EF
⊥
PC
作
EF
⊥
P
A<
/p>
，∴
EF
⊥平面
P
AC
．即
F
是点
E
在平面
P
AC
内的正投影
.
…
9
分
连接
< br>CG
，依题
D
是正
Δ
ABC
的重心，∴
D
在中线
CG
上，且
CD
=2
DG
．