2016年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
-
--------
在
------------
--------
此
-------------------
_
_
卷
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
号
< br>-------------------
证
上
考
准
_
_
_
_
-----
---------------
_
_
答
_
_
_
_<
/p>
_
_
_
_
_
_
名
------
-------------
姓
题
--
------------------
无
---------
---------
效
----------
绝密★启用前
2016
年普通高等学校招生全国统一考试（
全国新课标卷
1
）
理科数学
使用地区：
山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建
、广东
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分
.
第Ⅰ卷
1
至
3
页，第Ⅱ卷
4
至
< br>6
页，满分
150
分
.
考生注意：
1.
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上
.<
/p>
考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试
科目”与考生本人准考证号、姓名是
否一致
.
< br>
2.
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用
< br>2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动
，
用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号
.
第Ⅱ卷用
0.5
毫米的黑色墨水签
字笔
在答题卡上书写作答
.
若在试题卷
上作答，答案无效
.
3.
考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回
.
第
Ⅰ
卷
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1
．设集
合
A
={
x
|
x
2
4
x
3
0
}
，
B
{
x
|2
x
3
0
}
，则
A
B
（
）
A
．
(
3,
3
3
2
)
B
．
(
3,
2
)
C
．
(1,
3
2
)
D
．
(
3
2
,3)
2
．设
(1
i)
x
1
y
i
，其中
x
，
y
是实数，则
|
x
y
i
|
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
2
3
．已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
）
A
．
100
B
．
99
C
．
98
D
．
97
数学试卷
第
1
页（共
21
页）
4
．某公司的班车在
7:30
，
8:00
，
8:30
发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐
班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
（
）
A
．
1
3
B
．
1
2
C
．
2
3
D
．
3
4
x
2
y
2
5
．已知方程
m
2
n
3
m
2
< br>n
1
表示双曲线，且该双曲线
两焦点间的距离为
4
，则
n
的取
值范围是
（
）
A
．
(
1,3)
B
．
(
1,
3)
C
．
(0,3)
D
．
(0,
3)
<
/p>
6
．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条
相互垂直的半径
.
若该几
何体的体积是
28
3
，则
它的表面积是
（
）
A
．
17<
/p>
B
．
18<
/p>
C
．
20
D
．
28
7
．函数
y
2
x
2
e
|x|
在
[
2,2]
的图象大致为
（
）
A
B
C
D
8.
若
a
b
0
，
0
c
1
，则
（
）
A
．
a
c
b
c
B
．
ab
c
ba
c
C
．
alog
b
c
b
log
a
c
D
．
log
a
c
log
b
c
数学试卷
<
/p>
第
2
页（共
21
页）
9
．
执行右面的程序框图，
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
，则输出
x
，
y
的值满足
（
）
A
．
y
2
x
B
．
y
3
x
C
．
y
4
x
D
．
y
5
x
10
．以抛物线
C<
/p>
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
，
B
两点，交
C
的准线于
D
，
E
两点，已知
|
AB
|
4
2
，
|
DE
|
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
11
．
平面
过正
方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
//
平
面
CB
1
D
1
，
平面
AB
CD
=
m
，
平面
ABB
1
A
1
=
n
，则
m
，
n
所成角
的正弦值为
（
）
A
．
3
2
B
．
2
2
C
．
3
3
D
．
1
3
12
．
已知函数
f
(
x
)
sin(
x
)(
0,|
≤
2
|)
，
x
4
为
f
(
x
)
的零点，
x
< br>
4
为
y
f
(
x
)
图象的对称轴，且
f
(
x
)
在
(
18
,
5
36
)
单调，则
< br>
的最大值为
（
）
A
．
11
B
．
9
C
．
7
D
．
5
数学试卷
第
3
页（共
21
页）
第
II
卷
注意事项：
第Ⅱ卷共
3
页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案
无效
.
本卷包括
必考题和选考题两部分
.
第
13
～
21
题为必考题，每个试题考生都必须作答
.
第
22
～<
/p>
24
题为选考题，考生根据要求作答
.<
/p>
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分
.
13
．设向量
a
(
m
,1)
，
b
(1,2)
，且
|
a
<
/p>
b
|
2
|
a
|
2
|
b
|
2
，则
m
< br>
．
14
．
(2
x
x
)
5
的展开式中，
x
3
的系
数是
（用数字填写答案）
．
15
．设等比数列
{
a
n
}
满足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
4
< br>
5
，则
a
1
a
2
…
a
n
的最大值为
．
16<
/p>
．某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品
A
需要
甲材料
1.5
kg
，乙材料
1
kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5
kg
，乙材
料
0.3 kg<
/p>
，用
3
个工时．生产一件产品
A
的利润为
2 100
元
，生产一件产品
B
的利润
为
900
元．
该企业现有甲材料
150 kg
，
乙材料
90 kg
，
则在不超过
600
< br>个工时的条件下，
生产产品
A
、
产品
B
的利润之和的最大值为
元．
三、
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17
．
（本小题满分
12
分）
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
< br>c
，已知
2cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
．
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c
7
，
△
ABC
的面积为
3
3
2
，求
△
ABC
的周长．
18
．
（本小题满分
12
分）
如图，在以
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，<
/p>
AFD
90
，且二面角
D
AF
E
与二面角
< br>C
BE
F
都是
60
．
（Ⅰ）证明：平面
ABEF
<
/p>
平面
EFDC
；
C
（Ⅱ）求二面角
E
< br>
BC
A
的余弦值．
D
E
B
F
A
数学试卷
第
4
页（共
21
页）
19
．
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
200
元．在机器使用期间，如果备
件不足再购买，则每个
500
元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为
此搜集并整理了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损
零件数，得下面柱状图：
以这
100
台机器更换的易损零件数的
频数
频率代替
1
台机器更换的易损零件数
40
发生的概率，记
X
表示
2
台机器三年
内共需更换的易损零件数，
n
表示购
20
买
2
台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求
X
的分布列；
0
8
9
10
11
更换的易损零件数
（Ⅱ）若要求
P
(
X
≤
< br>n
)
≥
0.5
< br>，确定
n
的最小值；
（Ⅲ）
以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，
< br>在
n
=19
与
< br>n
=20
之中选其一，
应选用哪
个？
2
0
．
（本小题满分
12
分）
设圆
x
2
y
2
2
x
15=0
的圆心为
A
，
直线
l
过点
B
(1
，
0)
且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于
点
E
．
（Ⅰ
）证明
|
EA
|
|
EB
|
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
<
/p>
（Ⅱ）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
< br>M
，
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与
圆
A
交于
P
，
Q
两点，求四边形
M
PNQ
面积的取值范围．
21
．
（本
小题满分
12
分）
< br>已知函数
f
(
x
)
(
x
2)
e
x
a
(
x
1)
2
有两个零点．
< br>
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1<
/p>
，
x
2
是
f
(
x
)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
2<
/p>
．
数学试卷
第
5
页（共
21
页）
请考生
在第
22
～
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
.
22
．
（本小题满分
10
分）
选修
4
1
：
几何证明选讲
如图，
△
OAB
是等腰三角形，
A
OB
120
.
以
O
为圆心，
1
2
OA
为半径作圆
.
（Ⅰ）证明：直线
AB
与
⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C
，
D
在⊙
O
上，且
A
，
B
，
C
，
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
23
．
（本小题满分
10
分）选修
4
< br>4
：坐标系与参数方程
在直线
坐标系
xOy
中，曲线
C
x
a
< br>cos
t
,
1
< br>的参数方程为
（
y
1
a
sin
t
,
t
为参数，
a
0
）
.
在以
坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线
C
2
:
<
/p>
4cos
.
（Ⅰ）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线
C
3
的极坐标方程为
0
，其中
0
满足
ta
n
0
2<
/p>
，若曲线
C
1
与
C
2
的公共
点
都在
C
3
上，求
a
.
24
．
（本
小题满分
10
分）
，选修
4
5
：不等式选讲
已知函数
f
(
x
)
|
x
1|
|
2
x
3|
.
（Ⅰ）在图中画出<
/p>
y
f
(
x
)
的图象；
（Ⅱ）求不等式
|
f
(
x
)
|
1
的解集
.
数学试卷
第
6
页（共
21
页）
2016
年普通高等学校招生全国统
一考试（全国新课标卷
1
）
理科数学答案解析
第
Ⅰ
卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【
解
析
】
A
x
x<
/p>
2
4x
3
0
x
1
x
3
< br>
，
B
x
2x
3
0
<
/p>
3
x
x
2
，
故
A
B
x
3
2
x
<
/p>
3
．
【提示】解不等式求出集合
A
，
B
，结合交集的定义，
可得答案．
【考点】交集及其运算
2.
【答案】
B
【解析】
(1
i)x
1
yi
，
x
< br>xi
1
yi
，
即
x
1
x
1
x
y
，
解得
，
即
x
y
i
1
i
2
．
y
1
【提
示】根据复数相等求出
x
，
y
的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【考点】复数求模
3.
【答案】
C
【解析】
等差数列
{an}
前
9
项的和为
27
，
S
9(a
1
a
9
)
9
2a
9
2
5
2
9a
5
，
9a
5
27
，
a
5
< br>
3
，又
a
10
8
，
d
1
，
a
100
a
10
90
d
98
．
【提示】根据已知可得
a
5
3
，进而求出公差，可得答案．
【考点】等差数列的性质
4.
【答案】
B
【解析】设小明到达时间为
y
，当
y
在
7
：
50
至
8
：
00<
/p>
，或
8
：
20<
/p>
至
8
：
30
时，小明等车
时间不超过
10
分钟，故
P
20
1
40
2
．
【提示】
求出小明等
车时间不超过
10
分钟的时间长度，
代
入几何概型概率计算公式，
可得
答案．
【考点】几何概型
5.
【答案】
A
数学试卷
第
7
页（共
21
页）
【
解
析
】
双
曲
线<
/p>
两
焦
点
间
的
距
离
为
4
，
c
2
，
当
焦
点
在
x
轴
上
时
，
可<
/p>
得
4
(m
2
n)
(3m
2
n)
，
解
得
m
2
1
，
方
程
x
2
< br>y
2
m
2
n
3m
2
n
1<
/p>
表
示
双
曲
线
，
(m
2
n)(3m
2
n)
0
，
可得
(n
1)(3
n)
<
/p>
0
，
解得
1
n
3
，
即
n
的取值范围是
(
1,3)
，
当焦点在
y
轴上时，可得
4
< br>(m
2
n)
< br>
(3m
2
< br>n)
，解得
m
2
1
，无解．
【
提
示
< br>】
由
已
知
可
得
c
2
，
利
用
4
(m
2
n)
(3m
2
n)
，
解
得
m
2
1
，
又
(m
2
n)(3m
2
n)
0
，从而可求
n
的取值范围．
【考点】双曲线的标准方程
6.
【答案】
A
【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉
1
8
后的几何体，如图：
可得
7
8
4
3
π
R
3
28
π
7
1
3
，
R
2
，它的表面积是
< br>8
4
π
2
2
+3
4
π
2<
/p>
2
=17
π
．<
/p>
【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体
的半径，然后求解几何体
的表面积．
【考点】由三视图求面积、体积
7.
【答案】
D
【解析】
f
(x)
y
2x
2
e
|
x
|
，
f
(
x)
2
(
x)
2
e
|
x
|
2x
2
e
|
x
|
，故函数为偶函数，当
x
2
时
，
y
8
e
2
(
0
,
1)
，
故
排
除
A
，
B
；
当
x
[
0,2
]
时
，
f
(x)
y
2x
2
e
x
，
f
(x)
4x
<
/p>
e
x
0
有解，故函数
y
2
x
2
e
|<
/p>
x
|
在
[0,2
]
不是单调的，故排除
C
．
【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性
，利用排除法，
可得答．
【考点】函数的图象
8.
【答案】
C
【解析】
a
b
< br>
1
，
0
c
1
，
函数
y
<
/p>
x
c
在
(0,<
/p>
)
上为增函数，故
< br>a
c
b
c
，故
A
错
数学试卷
第
8
页（共
21
页）
< br>
误；
函数
y
x
c
1
在
(1,
)
上为减函数，
故
a
c
1
b
c
1
，
故
ba
c
ab
c
，
故
B
错误；
log
a
c
0
，
且
log
log
c
b
b
c
0
，
log
a
b
1
，
即
log
log
a
c
1
，
即
< br>log
a
c
< br>log
b
c
，
< br>故
D
错
误
；
a
a
log
b
c
0
log
a
c
log
b
c
，故
blog
a
c
a
log
b
c
，即
blog
a
c
alog
b
c
，即
alog
b
c
blog
a
c
，故
C
正确．
【提示】<
/p>
根据已知中
a
b
1
，
0<
/p>
c
1
，
结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论
的真假，可得答案．
【考点】不等式比较大小，对数值大小的比较
9.
【答案】
C
【解析】
输入
x
0
，
y
1
，
n
1
，
则
x
<
/p>
0
，
y
1
，
不满足
x
2
y
2
36
，
故
n
2
，
< br>则
x
1
2
，
y
2
，不满足
x
2
y
2
36
，故
n
3<
/p>
，则
x
3
2
，
y
6
，满足
x
2
y
2
36
，故
y
4x
．
【提示】
由已知中的程序框图可知：
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
x
，
y
的
值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【考点】程序框图
10.
【答案】
B
< br>【解析】
设抛物线为
y
2
2px
，
如图：<
/p>
AB
4
2
，
AM
2
2
，
DE
2
5
，
DN
5
，
ON
p
(2
2)
2
16
2
，
x
A
2p
< br>
4
p
，
OD
OA
，
p
2
p
2
8
4
5
，解得
p
4
，
C
的焦点到准
线的距离为
4
．
【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及
圆的半径列出方程求解即可．
【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质
11.
【答案】
A
< br>【解析】如图，
∥
平面
CB
1
D
1
，
平面
ABCD
m
，
平面
ABA
1
B
1
n
，可知：
数学试卷
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