2016全国一卷理科数学高考真题及问题详解
-
标准
2016
年普通
高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
理科数学
一
.
选择题
：
本大题共
12
小题
< br>,
每小题
5
分
< br>,
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项是符合题目要求
的
.
1.<
/p>
设集合
A
x<
/p>
x
4
x
3
0
，
x
2
x
3
0
,
则
A
（
A
）
3,
2
B
3
3
3
3
3,
1,
（
B
）
（
C
）
（
D
）
,3
2
2
2
< br>
2
2.
设
(
1
i
)
x
1<
/p>
yi
，其中
x
,
y
是实数，则
x
yi
（
A
）
1
（
B
）
2
（
< br>C
）
3
（
D
）
2
3.
已知等差
数列
a
n
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
1
00
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
4.
某公司的班车在
7:00
，
8:00
，
8:30
发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，且到
达发车站的
时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
1
1
2
3
（
A
）
< br>
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
3
4
x
2
y
2
1
表示双曲线，且该双
曲线两焦点间的距离为
4,
则
n
的取值范围
5.
已知方程
2
m
n
3
m
2
n<
/p>
是
（
A
）
1
,3
（
B
）
1,
3
（
C
）
0,3
（
D
）
< br>0,
3
6.
< br>如图
,
某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条相互垂直
的半径
.
若该几何体的体
积是
28
,
则它
的表面积是
3
（
A
）
17
（
B
）
18
（
C
）
20
（
D
）
28<
/p>
2
7.
函数
y
2
x
e
在
2,2
的图像大致为
x
（
A
）
2
文案
y
y<
/p>
1
1
O
2
x
（
B
）
2
O
2
x
y
y
1
1
2
O
2
x
2
O
2
x
标准
（
C
）
8.
若
a<
/p>
b
10
，
c
1
,
则
（
D
）
（
A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
9.
执行右面的程序框图
,
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
,
则输出
x
,
y
的值满足
<
/p>
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
< br>
4
x
（
D
）
y
5
x
10.
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，交
C
的准线
于
D
、
E
两点
.
已知
|
AB
|=
4
2
,|
DE|=
2
5
,
则
C
的焦点到准
线的距
离为
(A)2
(B)4 (C)6 (D)8
11.
平面
过正方体
ABCD
-
A
1
B
< br>1
C
1
D
1
的顶点
A
,
//
平面
CB
1
D
1
,
开始
输入
x,y,n
n-
1
x
=
x+
，
y=ny
2
否
是
x
2
+
y
2
≥
36
？
n=n
< br>+1
I
平面
< br>ABCD
=
m
,
I
平面
AB B
1
A
1
=
n
,
则
m
、
n
所成角的正弦值为
2
1
3
3
(A)
(B)
(C)
(D)
2
3
2
3
输出
x,y
结束
为
12.
已知函数
f
(
x
)
sin(
x+
)(
0
，
f
(
x
)
的零点
,
x
2
),
x
< br>
4
4
为
y
f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在
5
，
<
/p>
单调，则
的最大值为
< br>
18
36
< br>
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5 <
/p>
二、填空题：本大题共
3
小题
,
每小题
5
分
13.
设向量
a
=(
m
,1)
，
b
=(1,2)
，且
|
a
+
b
|
=|
a
|
+|
b
|
，则
m<
/p>
=
．
14.
(2
x
2
2
2
x
)
5
的展开式中，
x<
/p>
3
的系数是
．
（用数字填写答案）
15.
设等比数列
a
n
错误！未找到引用源。
满足
a
1
+
< br>a
3
=10
，
< br>a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
…
a
n
的最大值
为
．
16.
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种
新型材料．
生产一件产品
A
需要甲材料
1.5kg
，
乙材料
< br>1kg
，用
5
个工时；生产一件
产品
B
需要甲材料
0.5kg
，乙材料
0.3kg
，用
3
个工时．生产
一件产品
A
的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润为
900
元．该
企业现有甲材料
150kg
，乙材
料<
/p>
90kg
，
则在不超过
< br>600
个工时的条件下，
生产产品
A
、
产品
B
的利润之和的最大值为
元．
三
.<
/p>
解答题：解答应写出文字说明
,
证明过程
或演算步骤
.
文案
标准
17.
（本小题满分为
12
分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2co
s
C
(
a
co
s
B+b
cos
A
)
c
.
（
I
）求
C<
/p>
；
（
II
）若
c
18.
（本小题满分为
12
< br>分）如图，在以
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
< br>为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
7
，
ABC
的面积为
3
3
，求
ABC
的周长．
<
/p>
2
AF
=2
FD
，
AFD
90
，且二面角
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
< br>-
F
都是
60
< br>．
（
I
）证明：平面
ABEF
平面
EFDC
；
（
II
）求二面角
E
-
BC
-
A
的
余弦值．
D
C
F
19.
（本小题满分
12
分）某公司计划购买
2
台
机器
,
该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有一易损
零件
,
< br>在购进机器时
,
可以额外购买这种零件作为备件
,
每个
200
元
.
在机器使用期间
,
如果备件不
足再购买
,
则每个
500
元
.
现需决策在
购买机器时应同时购买几个易损零件
,
为此搜集并整理了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数
< br>,
得下面柱状图：
以这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器
更换的易损零件数发生的概率
,
记
X
表示<
/p>
2
台机器三年
内共需更换的易损零件数<
/p>
,
n
表示购买
2
台机器的同时
购买的易损零件数
. <
/p>
（
I
）求
X
的分布列；
（
I
I
）若要求
P
(
X
n
)
0.5
,
确定
n
的最小值；
（
III
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据
,<
/p>
在
n
19
与
n
20
之中选其一
,
应选用哪个？
< br>
20.
（本小题满分
12
分）设圆
x
<
/p>
y
2
x
15
0
的圆心为
A
,
直线
l
过点
B
（
1,0
）且与
x
轴不
重合，
l
交圆
A
于
C
,
D<
/p>
两点，过
B
作
A
C
的平行线交
AD
于点
E
.
（
I
< br>）证明
EA
EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
< br>
文案
2
2
频数
40
20
< br>0
8
9
10
11
更换的易损零件数
标准
（
II
）设点
E<
/p>
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
,
Q
两点，求四边形<
/p>
MPNQ
面积的取值范围
.
21.
（本小题满分
12
分）已知函数
错误！未找到引用源。
有两个零点
.
(I)
求<
/p>
a
的取值范围；
(II)
设
x
1
,
< br>x
2
是
f
x
错误！
未找到引用源。
的两个零点
,
证明：
x
1
x
2
2
.
请考生在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第
一题计
分
.
22.
< br>（本小题满分
10
分）选修
4-
1
：几何证明选讲
如图，△
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=120
°
.
以
O
为圆心，
圆
.
(I)
证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
(II)
点
C
，
D
在⊙
O
上，且
< br>A
，
B
，
C
，
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
23.
（
本小题满分
10
分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
D
O
C
1
OA
为半径作
2
A
B
x
a
cos
t
在直角
坐标系
x
y
中，曲线
C
1
的参数方程为
错误！未找到引用源。
（
t
为参数，
a
y
1
a
sin
t
＞
0
）
．
在以
坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
ρ
=
4
cos
.
（
I
）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（
II
）
直线
C
3
的极坐标方程为
0
，
其中
0
满足
tan
0
=
2
，
若曲线
C
1
与
C
2
的公
共点都在
C
3
上，
求
a
．
24.
（本小题满分
10
分）选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函数
f
x
<
/p>
x
1
2
x
3
.
（
I
）画出
y
f
x
的图像；
（
II
）求不等式
f
x
1
的解集．
文案
标准
2016
年高考全国
1
卷理科数学参考答案
题号
答案
1
D
2
B
3
C
4
B
5
A
6
A
7
D
8
C
9
C
10
B
11
A
12
B
3
<
/p>
1.
A
x
x
2
4
x
3
0
x
< br>1
x
3
，
B
x
2
x
3
0
x
x
．
< br>
2
3
故
A
B
x
x
3
．
2
故选
D
．
x
1
x
1
2.
由
1
i
x
1
yi
可知：
x
xi
1
yi
，故
，解得：<
/p>
．
y
1
x
y
2
2
所以，
x
yi
x
< br>y
2
．
故选
B
．
9
<
/p>
a
1
a
9
9
2
a
5
3.
由等差数列性质可知：
S
9
9
a<
/p>
5
27
，故<
/p>
a
5
3
，
2
2
a
a
5
而
a
10
< br>8
，因此公差
d
10
1
10
5
∴
< br>a
100
a
< br>10
90
d
< br>
98
．
故选
C
．
4.
如图所示，画出时间轴：
7:30
7:40
7:50
< br>A
8:00
C
8:10
8:20
D
8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才
能保证他等车的时间
不超过
10
分钟
10
10
1
．
根据几何概型，所求概率<
/p>
P
40
2
故选
B
．
x
2
y
2
5.
2
2
1
表示双曲线，则
m
2
n
3
m
2
n
0
m
< br>
n
3
m
n
∴
m
2
n
3
m
2
由双曲线性质
知：
c
2
m
2
n
3
m
2
n
4
m
2
，其中
c
是半焦距
∴焦距
2
c
2
2
m
4
，解得
m
1
文案
<
/p>
标准
∴
1
n
3
故选
A
．
6.
原立体图如图所示：
1
是一个球被切掉左上角的
后的三视图
8
7
表面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
8
7
1
S
=
4
2
2
+3
2
2
=17
8
4
故选
A
< br>．
7.
f
2
8
e
2
<
/p>
8
2.8
2<
/p>
0
，排除
A
f
2
8
e
2
8
2.7
2
1
，排除
B
1
1
x
0
时，
f
< br>x
2
x
2
e
x
f
x
4
x
e
x
，当
x
0,
时，
f
x
4
e
0
0
4<
/p>
4
1
因此
f
x
在
0,
单调递减，排除<
/p>
C
4
故选
D
．
8.
对
A
：由于
0
c
1
，∴函数
y
x
c
在
R
上单调递增，因此
a
b
1
a
c
b
c
，
A
错误
对
B
：由于
1
c
1
0
，∴函数
y
x
c
< br>
1
在
1,
上单调递减，
∴
a
b
1
a
c
1
b
c
1<
/p>
ba
c
ab
c
，
B
错误
a
ln
c
b
ln
c
ln
c
ln
c
对
C
：要比较
a
log
b
c
和
b
log
a
c
，只需比较
和
，只需比较
和
，只需
b
ln
< br>b
ln
a
b
ln
b
a
ln
a
ln
b
和
a
ln
a
构造函数
f
x
x
ln
x
x
1<
/p>
，则
f
'
x
ln
x
1
1
0
，
f
x
在
1,
上单调递增，
1
1
因此
f
a
f
b
0
a
ln
a
b
ln
b<
/p>
0
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
< br>
b
log
a
< br>c
a
log
< br>b
c
，
C
正确
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
对
D
：
要比
较
log
a
c
和
log
b
c
，只需比较
和
ln
< br>a
ln
b
1
1
而函数
y
ln
x
在
1,
上单调递增，故
a
b
1
ln
a
ln
b
< br>0
ln
a
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
1
得
ln
c
0
，∴
<
/p>
log
a
c<
/p>
log
b
c<
/p>
，
D
错误
ln
a
ln
b
故选
C
．
9.
如下表：
循环节运
行次数
运行前
文案
n
1
x
x
x
2
0 <
/p>
y
y
ny
1
判断
是否
输出
/
x
y
36
/
2
2
n
n
n
1
1