2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
-
绝密
★
启用前
2016
年普通高等学校招生全国统一考试（全国
1
卷）
数学（理科）
注意事项：
1.
本试卷分第Ⅰ卷
(
选择题
)
和第Ⅱ卷
(
非选择
题
)
两部分
.
第Ⅰ卷
1
至
3
页
,
第Ⅱ卷
3
至
5
页
.
2.
答题前
,
考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置
.
3.
全部
答案在答题卡上完成
,
答在本试题上无效
.
4.
考试结束后
,
将本试题和答题卡一并交回
< br>.
第Ⅰ卷
一
.
选择题
：
本大题共
12
小题
< br>,
每小题
5
分
< br>,
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项是符合题目
要求的
.
（
1
）设集合
A
x
x
4
x
3
0
,
x
2
x
3
< br>
0
,
则
A
（
A
）
3,
【答
案】
D
2
B
3
3
3
< br>
3
3,
1,
（
B
）
（
C
）
（
D
）
,3
2
2
2
2
考点：集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题
,
一般以基础题形式出
现
,
属得分题
.
解决此类问题一
般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算
,
如果是不等式解集、函数定义域及值域有关
数集之间的运算
,
常借助数轴进行运算
.
（
2
）设
(1
i)
x
1
y
i
,
其中
x
,
y
实数
,
则
x
y
i<
/p>
=
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2
【答案】
B
【解析】
试题分析：因为
x
(1
i
)=1+
yi
,
所以
x
xi
=1+
yi
,
x
=1,<
/p>
y
x
1,|
x
yi
|
=|1+
i
|<
/p>
考点：复数运算
【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容
,
一般以客观题
形式出现
,
属得分题
.
高考中复数考
2,
故选
B.
查频率较高的内
容有：复数相等
,
< br>复数的几何意义
,
共轭复数
,<
/p>
复数的模及复数的乘除运算
,
这类问题一
般难度
不大
,
但容易出现运算错误
,
特别是
i
1
中的负号易忽略
,
所以做复数题要注意运算的准确
性
.
（
3
）已
知等差数列
a
n
前
9
项的和为
< br>27,
a
10
8
,
则
a
100
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97<
/p>
【答案】
C
【解析】
2
9
a
1
<
/p>
36
d
27<
/p>
,
所以
a
1
1,
d
1,
a
100
a
1
99
d
1
99
98,
故选
试题分析：由已知
,
a
9
d
8
1
C.
考点：等差数列及其运算
【名师点睛
】我们知道
,
等差、等比数列各有五个基本量
< br>,
两组基本公式
,
而这两组公式
可看作
多元方程
,
利用这些方程可将等
差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）
,
因
此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题
,
所以用方
程思想解决数列问题是一
种行之有效的方法
.
< br>
（
4
）某公司的班车在
7:00,8:00,8:30
发车
,
小明在
7:50
至
8
:30
之间到达发车站乘坐班车
,
且到
达发车站的时刻是随机的
,
则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
1
1
2
3
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
3
4
【答案】
B
考点：几何概型
【名师点睛】这是全
国卷首次考查几何概型
,
求解几何概型问题的关键是确定“测度
”,常见
的测度由：长度、面积、体积等
.
x
2
y
2
1
表示双曲线
,
且该双曲线两焦点间的距离为
4,
则
n
的取值<
/p>
（
5
）
已知方程
2
m
n
3
m
2
n
范围是
（
A
）
1
,3
（
B
）
< br>1,
3
（
< br>C
）
0,3
< br>
（
D
）
0,
3
【答案】
A
考点：双曲线的性质
【名师点睛】双
曲线知识一般作为客观题学生出现
,
主要考查双曲线几何性质<
/p>
,
属于基础题
.
注
意双曲线的焦距是
2c
不是
c,
这一点易出错
.
（
6
）如图
,
某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径
< br>.
若该几何
体的体积是
28
,
则它的表面积是
3
（
A
）
17
（
B
）
18
<
/p>
（
C
）
20
（
D
）
28
【答案】
A
【解析】
试题分析：
该几何体直观图如图所示：
7
4
28<
/p>
1
是一个球被切掉左上角的
,
设球的半径为
R
,
则
V
R
3
,
解得
R
2
,
所以它
8
8
3
3
7
的表面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
8
7
1
S
< br>=
4
2
2
+3
2
2<
/p>
=17
故选
A
．
8
4
考点：三视图及球的表面积与体积
【名师
点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力
,
所以以三
视图为载体的立体几何
题基本上是高考每年必考内容
,
高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇
.
由三
视图还原出原几何体
,
是
解决此类问题的关键
.
2
（
7
）函数
y
2
x
e
在
2,2
的图像大致为
x
（
A
）
（
B
）
（
C
）
【答案】
D
（
D
）
考点：函数图像与性质
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中
,
也可以说是高考的热点问题
,
这类题目
一般比较灵活
,
对解题能力要求较高
,
故也是高考中的难点
,
解决这类问
题的方法一般是利用
间接法
,
即由函数
性质排除不符合条件的选项
.
（
8
）若
a
b
10
，
c
1
,
则
（
< br>A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
【答案】
C
【解析】
1
试题分析：
用特殊值法
,
令
a
3
,
b
2
,
c
得
3
2
2
2
,<
/p>
选项
A
错误
,<
/p>
3
2
2
2
3
2
,
选项
B
2
错误
,
3log
2
1
1
1
1
1
1
1
< br>
2log
3
2
,
选项
C
正确
,
log
3
log
2
,
选项
D
错误
,
故选
C
．
2
< br>2
2
考点：指数函数与对数函数的性质
< br>
【名师点睛】比较幂或对数值的大小
,
若幂的底数相同或对数的底数相同
,
通常利用指数函数
或对数函数单调性进行比较
,
若底数不
同
,
可考虑利用中间量进行比较
.
（
9
）执行右面
的程序框图
,
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
,
则输出
x
,
y
的值满足
< br>
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
5
x
开始
输入
x,y,n
n-
1
，
y=ny
2
n=n
+1
x
=
x+
x
2
+
y
2
≥
36
？
输出
x,y
结束
【答案】
C
考点：程序框图与算法案例
【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点
,
< br>一般以客观题形式出现
,
难度不大
,
求解此
类问题一般是把人看作计算机
,
按照程序逐步列出运行结果
.
(10)
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A<
/p>
、
B
两点
,
交
C
的准线于
D<
/p>
、
E
两点
.
已知
|
AB
|=<
/p>
4
2
,|
DE|
=
2
5
,
则<
/p>
C
的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6
(D)8
【答案】
B
考点：抛物线的性质
.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算
,
注意解析几何问题中最容易出现运算错误
,
所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性
,
基础题失分过多是相当一部分学生数学考不
好的主要原因
.<
/p>
(11)
平面
过正方体
ABCD
-
A
1
B
< br>1
C
1
D
1
的顶点
A
,
//
平面
CB
1
D
1
,
平面
ABCD
=
m
,
平面
AB
B
1
A
1
=
n
,
则
m
、
n
所成角
的正弦值为
(A)
3
2
3
1
(
B
)
(C)
(D)
2
2
3
3
【答案】
A
【解析】
试题分析：如图
,
设平面
CB
1
D
1
平面
ABCD
=
m
< br>'
,
平面
CB
< br>1
D
1
平面
ABB
1
A
1
=
n
'
,
因为
/
/
平
面
CB
1
D
1
,
所以
m
/<
/p>
/
m
',
n
/
/
n
'
,
则
m
,
n
所成的角等于
m
',
n
'
所成的角
.<
/p>
延长
AD
,
过<
/p>
D
1
作
D
1
E
/
/
B
1
C
,
连接
CE
,
B
1
D
1
,
则
CE
为
m
'
,
同理
B
1
F
1
为
n<
/p>
'
,
而
BD
/
/
CE
,
B
1
F
1
/
/
A
1
B
,
则
m
',
n
'
所成的角即为
A
1
B
,
BD
所成的角
,
即为
60
,
故
m
,
n
所成角的正弦值为
考点：平面的截面问题
,
面面平行的性
质定理
,
异面直线所成的角
.
3
,
选
A.
2
【名师点睛】
求解本题的关键是作出异面直线所成角
,
求异面直线所成角的步骤是：
平移定角、
连线成形
,
解形求角、得钝求补
.<
/p>
（
12
）
.
已知函数
f
(<
/p>
x
)
sin(
x+
)(
0
，
2
),
x
4
为
f
(
x
)
的零点
,
x
4
为
5
y<
/p>
f
(
x
)
图像的对称轴
,
且
f
(
x
)
在
，
单调
,
则
的最大值为
18
36
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
【答案】
B
考点：三角函数的性质
【名师点睛】
本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查
,
叙述方式
新颖
,
是一道考
查能力的好题
.
注意本题解法中用到的两个结论
:
①
单调区间长度是半个周期
;
②若
对称
,
则
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
(13)
题
~
第<
/p>
(21)
题为必考题
,
< br>每个试题考生都必须作答
.
第
(
22)
题
~
第
(24)
题为选考题
,
考生根据要求作
答
.
二、填空题：本大题共
3
小题
,
每小题
5
分
(13)<
/p>
设向量
a
=(
m
,1),
b
=(1,2),
且
|
a
+
b
|
=|
a
< br>|
+|
b
|
,
则
m
=
.
【答案】
2
【解析】
试题分析：由
|
a
b
< br>|
|
a
|
|
b
|
,
得
a
b
,
所以
m
1
1
2
0
,
解得
m
< br>
2
.
考点：向量的数量积及坐标运算
【名
师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现
,
属于基础题
.
解决此类问题既要准确记忆
公式
,
又要注意运算的准确性
.
本题所用到的主要公式是：若
2
2
2
2
2
2
f<
/p>
x
A
sin
x
A
0,
0
的图像关于直线<
/p>
的
f
x
A
sin
x
A
0,
0
.
x
x
0
f
x
0
<
/p>
A
或
f
x
0
A
a
x
1
,
y
1
,
b
<
/p>
x
2
,
y
2
,
则
a
b
x
1
y
1
x
2
y
2
(14)
(2
x
【答案】
10
.
x
)
5
的展开式中
,
x
3
的系数是
.
（用数字填写答案）
考点
:
二项
式定理
【名师点睛】
确定二项展开式
指定项的系数通常是先写出通项
定项系数
.
（
15
）设等比数列
a
n
满足
a
1
+
< br>a
3
=10,
a
2
+
a
4
=5,
则
a
1
a
2
…a
n
的最大值为
．
【答案】
64
【解析】
T
r
1
,
再确
定
r
的值
,
从
而确定指
a
1
8
2
a
1
a
3
10
a
1
(1
q
)
10
试题分析：设等比数列的公比为
q
,
由
得
< br>,
,
解得
1
.
所以
2
a
a
5
q
2
4
a
1
q
(1
q
)
5
2
a
1
a
2
a
n
a
q<
/p>
n
1
2
(
n
1)
1
1
7
n
2
< br>
n
1
n
(
n
2
1
)
2
2
8<
/p>
(
)
2
,
于是当
n
3
或
4
时
,
a
1
a
2
2
n
a
n
取得最
大值
< br>2
6
64
.
考点：等比数列及其应用
<
/p>
高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点
,
< br>在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应
用
,
尽量避免小题大做
.
（
16
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料．生
产一件产品
A
需要甲
材料
1.5kg,
乙材料
1kg,
用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg,
乙材料
0.3kg,
用
3
个工时．
生产一件产品
A
的利润为
2100
元
,
生产一件产品
B
的利润为
900
元．该企业现有甲<
/p>
材料
150kg,
乙材料
90kg,
则在不超过
600
个工时的条件下
,
生产产品
A
、产品
B
的利润之和的
最大值为
元．
【答案】
216000
作出二元一次不等式组②表示的平
面区域（如图）
,
即可行域
.
考点：线性规划的应用