2016年高考文科数学全国2卷试题及答案(Word版)
-
2016
年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
注意事项：
一、
选择题：本大题共
12
小题。每小题
5
分，在
每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2
，，
3}
B
{
x
|
x
2
9}
，则
A
I
B
（
1
）已知集合
A
{
1
，
（
A
）
< br>{
2
，
1
，
0
，
1
，
2
，
3}
（
B
）
{
2
，
1
，
0
，
1
，
2}
（
2
）设复数
z
满足
< br>z
i
3
i
，则
z
=
（
A
）
1
2i<
/p>
（
B
）
1
2i
（
C
）
3
2i
（
D
）
3
2i
(3)
函数
y
=
A
sin(
x
)
的部分图像如图所示，则
（
C
）
{1
，
2
，
3}
（
D
）
{1
，
2}
（
A
）
y
2sin(2
x
)
（
B
）
< br>y
2sin(2
x
)
6
3
（
C
）
y
2sin(2
x
+<
/p>
)
（
D
）
y
2sin(2
x
+
)
6
3
(4)
体积为
8
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（
A
）
12
（
B
）
32
（
C
）
（
D
）
3
(5)
设
F
为抛物线
C
：
y
2
=4
x
的焦点，曲线
y
=
（
< br>A
）
k
（
k
>0
）与
C
交于点
P
，
PF
⊥
x
轴，则
k
=
x
1
3
（
B
）
1
（
C
）
（
D
）
2
2
2
4
3
（
B
）
−
（
C
）
3
（
D
）
2
3
4
(6)
圆
x
2
+
y<
/p>
2
−
2
x
−
8
y
+13=0<
/p>
的圆心到直线
ax
+
y
−
1=0
的距离为
1
，则
a
=
（
A
）
−
< br>(7)
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（
A
）
20π
（
B
）
24π
（
C
）
28π
（
D
）
32π
(8)
某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为
40
< br>秒
.
若一
名行人来到该路口遇到
红灯，则至少需要等待
15
秒才出现绿灯的概率为
（
A
）
< br>7
5
3
3
（
B
）
（
C
）
（
D
）
8
8
10
10
(9)
中国古代有计算多项式值得秦九韶
算法，
右图是实现该算法的程序框图．
执行该程序框图，
若输
入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s
=
（
A
）
7
（
B
）
12
（
C
）
17
（
D
）
34
(10)
下列函数中，其定义域和值域分别与函数
y=10
lg
x
的定义域
和值域相同的是
（
A
）
y
=
x
（
B
）
y
=lg
x
（
C
）
y
=2
x
（
D
）
y
1
x
(11)
函数
f
(
x<
/p>
)
cos
2<
/p>
x
6cos(
（
A
）
4
（<
/p>
B
）
5
π
x
)
的最大值为
2
（
C
）
6
（
D
）
7
(12)
已知函数
f
(
x
)
（
x
∈
R
）满足
f
(
x
)=
f
(2-
x
)
，若函数
y
=|
x
< br>2
-2
x
-3|
与
y
=
f
< br>(
x
)
图像的交点为（
x
1
,y
1
）
，
(
x
2
,
y
2
< br>)
，…，
（
x
< br>m
,
y
m
）
，则
x
=
i
i
<
/p>
1
m
(A)0
(B)
m
(C)
2
m
(D)
4
m
二．填空题：共
4
小题，每小题
5
分
.
(13)
已知向量
a
=(
m
,4)
，
b
=(3,-2)
，且
a
∥
b
，则
m
=___________.
x
y
< br>
1
0
(14)
若
x
< br>，
y
满足约束条件
x
y
3
0
，则
< br>z
=
x
-2
y
的最小值为
__________
x
3
0
（
15
）
△
ABC
的
内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
若
cos
A
4
5
，
co
s
C
，
a<
/p>
=1
，
则
b
=____________
.
5
13
（
16
）有三张
卡片，分别写有
1
和
2
，
1
和
3
，
2
和
3
.
甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后
说：<
/p>
“我与乙的卡片上相同的数字不是
2
”<
/p>
，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是
1
”
，丙
说：
“我的卡片上的数字之和不是
5
”
，则甲的卡片上的数字是
________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
<
/p>
（
17
）
(
本小题满分
12
分
)
等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
4
4,
a
5
<
/p>
a
7
6
（
I
）求
{
a
n
}
的通项公式；
(II)
设
b
n
=[
a<
/p>
n
]
，求数列
{
b
n
}
的前<
/p>
10
项和，其中
[x]
< br>表示不超过
x
的最大整数，如
[
0.9]=0,[2.6]=2
（
18
）
(
本小题满分
12
分
)
某险种的基本保费为
a
（单位：元）
，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本
年度的保费与其上年
度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的
200
名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（
I
）记<
/p>
A
为事件：
“一续保人本年度的保费不高
于基本保费”
。求
P(A)
的估计值；
(II)
记
B
为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本
保费的
160
％”
.
< br>
求
P(B)
的估计值；
（
III
）求续保
人本年度的平均保费估计值
.
（<
/p>
19
）
（本小题满分
12
分）
如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，点
E
、
< br>F
分别在
AD
，
CD
上，
AE
=
CF
，
EF
交
BD
于
点
H
，将
V
DEF
沿
EF
折到
V
D
'
EF
的位置
.
（
I
）证明：
AC
HD
'
；
(II)
若
AB<
/p>
5,
AC
<
/p>
6,
AE
积<
/p>
.
（
20<
/p>
）
（本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)
< br>
(
x
1)ln
x
a
(
x
1)
.
（
I
）当
a
4
时，求曲线
< br>y
f
(
x
)
在
1
,
f
(1)
处的切线方程；
(II)
若当
x
1
,
时，
f
(
x
< br>)
＞
0
，求
a
的取值范围
.
（
21
）
（本小题满分
12
分）
5
,
OD
'
2
2
,
求五棱锥
D
'
ABCEF
体
4
x
2
y
2
1
的左顶点，
已知
A
是椭
圆
E
：
斜率
为
k
k
＞<
/p>
0
的直线交
E
于
A
，
M
两点，
点
N
在
E
上，
MA
NA
.
4
3
（
I
）当
AM
AN
时，求
V<
/p>
AMN
的面积
(II)
当
2
AM
AN
时，证明：
3
k
2
< br>.
请考生在第
22~24
题中
任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
.
（
22
）
（本小题满
分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图，在正方形
ABCD
中，
E
，
G
分别在边
DA
，
DC
上（不与端点重合）
，且
DE
=
DG
，过
< br>D
点作
DF
⊥
< br>CE
，垂足为
F
.
（Ⅰ）证明：
B
，
C
，
G
，
F
四点共圆；
（Ⅱ）若
AB
=1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积
.
（
23
）（
本小题满分
10
分）选修
4-4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的方程
为
(
x
+
6)
2
+
y
2
=
25
.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，求
C
的极坐标方程；
ì
x
=
t
cos
α
,
ï
ï
（Ⅱ）直线
l
的
参数方程是
í
（
t
为参数），
l
与
C
交于
A
，
B
< br>两点，
AB
=
10
,
求
l
的斜率
.
ï
ï
î
y
=
t
sin
α
,
（
24
< br>）
（本小题满分
10
分）选修<
/p>
4-5
：不等式选讲
< br>已知函数
f
(
x
)
=
x
-
（Ⅰ）求
M
；
< br>（Ⅱ）证明：当
a
，
b
Î
M
时，
a
+
b
<
1
+
ab
.
1
1
+
x
+
，
M
为不等式
f
< br>(
x
)
<
2
的解集
.
2
2
2016
年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案
第Ⅰ卷
一
.
选择题
（
1
）
【答案
】
D
(5)
【答案】
D
(9)
【答案】
C
（
2
）
【答案】
C
(6)
【答案】
A
(3)
【答案】
A
(7)
【答案】
C
(4)
【答案】
A
(8)
【答案】
B
(10)
【答案】
D
(11)
【答案】
B
(12)
【答案】
B
二．填空题
(13)
【答案】
6
(14)
【答案】
< br>
5
（
15
）
【答案】
< br>21
13
（
< br>16
）
【答案】
1
和
3
三、解答题
（
17
）
(
本小题满分
12
分
)
【答案】
（Ⅰ）
a
n
【解析】
试题分析：
(
Ⅰ
)
根据等差数列的性质求
a
1
，
d
，从而求得
a
n
；
（Ⅱ）根据已知条件求
b
n
< br>，再求数列
b
n
的
前
10
项和
.
试题解析：
(
Ⅰ
)
设数列
a
n
的公差为
d
，由题意有
2<
/p>
a
1
5
d
4,
a
1
5
d
3
，解得
a
1
1,
d
所以
a
< br>n
的通项公式为
a
n
（Ⅱ）由
(
Ⅰ
)
知
b
n
当
< br>n=1,2,3
时，
1
2
n
3
；
（Ⅱ）
24
.
5
2
，
5
2
n
3
.
5
2
n
3
，
5
2
n
3
2,
b
n
1
；
5
2
n
3
当
n=4,5
时，
2
3,
b
n
2
；
5
2
n
< br>3
当
n=6,7,8
时，
3
4,
b
n
3
；
5
当
< br>n=9,10
时，
4
2
n
3
5,
b
n
4
，
5
所以数列
b
< br>n
的前
10
< br>项和为
1
3
< br>
2
2
3
3
4
2
24
.
考点：等茶数列的性质，数列的求和
.
【结束】
（
18
）
(
本小题满分
< br>12
分
)
【答案】
（Ⅰ）由
60
50
30
30
求
P(A)
的估计值；
（Ⅱ）由
求
P(B)
的估计值；
（
错误
!
未找到引
用源。
）根
200
200
据平均值得计算公式求解
.
【解析】
试题分析：
试题解析：
(
Ⅰ
)
事件
A
发生当且仅当一年内出险次数小于
2.
由所给数据知，一年内险次数小于
2
的频率为
60
50
0.55
，
200
故
P(A)
的估计值为
0.55.
（Ⅱ）事件
B
发
生当且仅当一年内出险次数大于
1
且小于
4.
由是给数据知，一年内出险次数大于
1
< br>且小于
4
的频率为
30
30
0.3
，
200
故
P(B)
的估计值为
0.3.
(
Ⅲ
)
由题所求分布列为：
保费
频率
0.85a
0.30
a
0.25
1.25a
0.15
1.5a
0.15
1.75a
0.10
2a
0.05
调查
200
名续保人的平均保费为
0.85
a
0.30
a
0.25
1.25
a
0.15
1.5
a<
/p>
0.15
1
.75
a
0.30
< br>
2
a
0.10
1.1925
a
，
因此，续保人本年度平均保费估计值为
1.1925
a.
考点：样本的频率、平均值的计算
.
【结束】
（
19
）
（本小题满分
12
分）
【答案】
（Ⅰ）详见
解析；
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）证
AC
/
/
EF
.
再证
AC
/
/
HD
.
（Ⅱ）证明
OD
OH
.
再证
OD
平面
ABC
.
最后呢五棱
69
.
4