2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案
-
一、选择题，本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在
每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1
．设集合
A=
{
1,3,5,7}
，
B=
{
x
|2≤
x
≤5}
，则
A
∩
B=
(
)
A
．
{1
,3}
B
．
{3,5}
C
．
{5,7}
D
．
{1,7}
2
．设
(1
+2
i
)(
a+i
)
的实部与虚部相等，其中
a
为实
数，则
a=
(
)
A
．
-3
B
．
-2
C
．
2
D
．
3 <
/p>
3
．为美化环境，从红、黄、白、紫
4<
/p>
种颜色的花中任选
2
种花种在一个花坛中
，
余下的
2
种花种在另一个花坛中，则
红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
(
)
<
/p>
1
1
2
5
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
6
2
4
．
Δ
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为<
/p>
a
,
b
,
c
.
已知
a
5,
c
2,cos
A
，
3
则
b=
(
)
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3
<
/p>
5
．直线
l
经过
椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到
l
的距离为其短轴长
的
1
，则该椭圆的离心率为
(
) <
/p>
4
1
1
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
4
1
6
．若将函数
y
=2sin (2
x
+
)
的图像向右平移
个周期后，所
得图像对应的函数为
4
6
(
)
<
/p>
A
．
y
=2sin(
2
x
+
)
B
．
y
=2s
in(2
x
+
)
C
．
y
=2sin(2
x
–
)
D
．
y
=2sin(2
x
–
)
4
3
4
< br>3
7
．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每
个
28
圆
中两条相互垂直的半径
.
若该几何体的体积是
< br>，
3
则它的表面积是
(
)
A
．
17π
B
．
18π
C
．
20π
D
．
28π
8
．若
a
><
/p>
b
>0
，
0<<
/p>
c
<1
，则
(
) <
/p>
A
．
log
a<
/p>
c
2,2] ， (
<
br>x
b
c
B
．
log
c
a
c
b<
/p>
C
．
a
c
<
b
c
D
．
c
a
>
c
b
9
．函数
y
=2
x
2
–
e
|
x
|
在
[
–
的图像大致为
(
)
y
y
y
y
1
1
1
1
O
O
O
O
2
x
-2
2
x
-2
2
x
-2
2
x
-2
10
．执行右面的程序框图，如果输入的
x
=0
y
=1
，
n
=1
，
开始
A
D
B
C
则输出
x
，
y
的值满足
)
输入
x
,
y
,
n
1
n=n+
1
否
x
x
2
n
1
,
y
ny
2
2
A
．
y
=2
B
．
y
=3
x
C
．
y
=4
x
D
．
y
=5
x
11
．平面
α
过正方体
AB
CD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
α
//
平面
CB
1
D
1
，
α
∩
平面
ABCD=m
，
<
/p>
α
∩
平面
ABB
1
A
1
=n<
/p>
，则
m
，
n
所成角的正弦值为
(
)
1<
/p>
3
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
2
3
1
12
．若函数
f
(
x
)
x
-
sin
2
x
a
sin
x
在
(-
∞,+∞)<
/p>
单调递增，则
a
的取值范围是
(
)
3
1
1<
/p>
1
1
A
．
[-1,1]
B
．
[-1,
]
C
．
[-
,
]
D
．
[-1,-
]
3
3
3
3
第Ⅱ卷
本卷包
括必考题和选考题两部分
.
第
13
题
~
第
21
题为必考题，每个试题考生
都必须作答，第
2
2
题
~
第
24
题为选考题，考生根据要求作答
.
二
、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．把答案填在横线上．<
/p>
13
．设向量
a
=(
x
，
x
+1)
，
b
=
(1
，
2)
，且
a
⊥
b
，则
x
=
.
<
/p>
π
3
π
14
．已知
θ
是第四象限角，且
sin(
θ
+
)=
，则
tan(
θ
-
)=
.
4
5
4
15
．设直线
y=x
+2
a
与圆
C
：
x
2
+
y
2
-2
ay
-
2=0
相交于
A
，
B
两点，若
|
AB
|=
2
3
，
< br>
则圆
C
的面积为
.
16
．某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲
、乙两种新型材料
.
生产一件产品
A<
/p>
需要甲材料
1.5kg
，乙材料
1kg
，用
5
个工时；
生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，乙材料
0.3kg
，用
3
个工时，生产一件产品
A
的利润为
2100
元，生产
一件产品<
/p>
B
的利润为
900
元
.
该企业现有甲材料
150kg<
/p>
，乙材料
90kg
，则在不
超过
600
个工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最
大值为
元
.
三、
解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
只做
6
题，共
70
分<
/p>
.
17.
（本题满分
< br>12
分）
1
< br>已知
{
a
n
}
是公差为
3
的等差数列，
数列
{
b
n
}
满足
b
1
=1
，
b
2
=
，
a
n
< br>b
n
+1
+
b
n
+1
=
nb
n
.
3
(
Ⅰ
)
求
{
a
n
}
的通项
公式；
(
Ⅱ
)
求
{
b
n
}
的前
n
项和
.
18.
（本题满分
12
分）
< br>
如图，
已知正三棱锥
P
-
ABC
的侧面是直角三角形，
P
A
=6
，
顶点
P
在平面
ABC
P
2
A
E
D
C
内的正投影为点
D
，
D
在平面
P
AB
内的正投影为点
E
，
连接
PE
并延长
交
AB
于点
G
.
(
Ⅰ
)
证
明
G
是
AB
的
中点；
(
Ⅱ
)
在答题卡第（
18
）题图中作出点<
/p>
E
在平面
P
AC
内的正投影
F
(
说明作法及理由
)
，并求四面体
PD
EF
的体积．
19.
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买<
/p>
1
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有一易损零
件，在购进机器时，可以额外购买这种零件
作为备件，每个
200
元
.
在机器使用
期间，
如果备件不足再购买，
则每个
500
元
.<
/p>
现需决策在购买机器时应同时购买几
个易损零件，为此搜集并整理
了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件
数，得下面柱状图：
记
x
表示
1
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，
y
表示
1
台机器在
购买易损零件上所需
的费用（单位：元）
，
n
表示购机的同
时购买的易损零件数
.
(
Ⅰ
)
若
n
=19
，求
y
与
x
的函数解析式；
(
Ⅱ<
/p>
)
若要求
“
需更
换的易损零件数不大于
n
”
的频率不小
于
0.5
，
求
n
的最小值；
(
Ⅲ
)
假设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
19
个易损零件，
或每台都购
买
20
个易损零件，分别计算这
100
台机器在购买易损零件上所需费
用的平均数，
以此作为决策依据，购买
1
台机器的同时应购买
19
个还是
20
个易损零件？
20.
（本小题满分
12
分）
在直角坐标系
xoy
中，
直线
l
：
y
=
t
(
t
≠0)
交
y
轴于点
M
，
交抛物线
C
：
y<
/p>
2
=2
px
(<
/p>
p
>0)
3
于点
P
，
M<
/p>
关于点
P
的对称点为
N
，连结
ON
并延长交
C
于点
H
.
OH
(
Ⅰ
)
求
；
(
< br>Ⅱ
)
除
H
以外，直线
MH
与
C
是否有其它公共点？说明理由
.
ON
21.
（本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)=(
x
-2)
e
x
+
a
(
x
-1)
2
.
(
Ⅰ
)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(
Ⅱ
)
若有两个零点，求
a
的取值范围
.
请考生在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
,
做答时请写清题号
4 <
/p>
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
1
如图，
Δ
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=1
20°
.
以
O
为圆心，
OA
为半径作圆
.
2
(
Ⅰ
)
证明：直线
AB
与⊙
O<
/p>
相切；
(
Ⅱ<
/p>
)
点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明
：
AB
∥
CD
.
23.
（本小题满分
10
< br>分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
x<
/p>
a
cos
t<
/p>
在直线坐标系
xoy
中，
曲线
C
1
的参数方程为
（
t
为参数，
a
>0
）
.
y
1
a
sin
t
在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标
系中，曲线
C
2
：
ρ
=4cos
θ
.
(
Ⅰ
)
说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
(
Ⅱ
)
直线
C
3
的极坐标方程为
θ=α<
/p>
0
，其中
α
0<
/p>
满足
tan
α
0
=2
，若曲线
C
1
与
C
2
的
公共点都在
C
3
上，求
a
.
24.
（本小题满分
10
分）
，选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函数
f<
/p>
(
x
)=|
x
+1| -|2
x
-3|.
(
Ⅰ
)
在答题卡第<
/p>
24
题图中画出
y
=
f
(
x
)
的图像；
(
Ⅱ
)
求不等式
|
f
(
x
)|>1
< br>的解集
.
2016
年全国高考新课标
1
卷文科数学试
题
参考
答案
一、选择题，本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．
5
1B
2A
3C
4D
5B
6D
7A
8B
9D
10C
11A
12C
< br>二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
< br>5
分，共
20
分．
2
4
< br>13
．
14
．
15
．
4π
16
．
216000
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤
.
只做
6
题，共
70
分
.
< br>1
17
．解：
(
Ⅰ
)
依题
a
< br>1
b
2
+
b
2
=
b
1
，
b
1
=1<
/p>
，
b
2
=
，解得
a
1
=2
…
2
分
3
通项公式为
a
n
=2+
3(
n
-1)=3
n
< br>-1
…
6
分
1
1
(
Ⅱ
)
由
(
Ⅰ
)
知
3
nb
n
+1
=
nb
n
，
b
n
+1
=
b
n
，所以
{
b
n
}
是公比为
的等比数列
.
…
9
分
3
3
1
P
1
(
)
n
3
3<
/p>
1
…
12
分
F
所以
{<
/p>
b
n
}
的前
n
项和
S
n
=
n
1
1
2
2
3
1
E
3
A
C
18
．
(
Ⅰ
)
证明：
PD
⊥平面
ABC
，∴
PD
⊥
AB
．
D
G
又
DE<
/p>
⊥平面
P
AB
，
∴
DE
⊥
AB
．∴
AB
⊥平面
PDE
．
…
3
分
B
又
PG
平面
PDE
，∴
AB
⊥
PG
．依题
P
A=PB
，∴
G
是
AB
的中点．…
6
分
(
Ⅱ
)
解：在平面
P
AB<
/p>
内作
EF
⊥
P<
/p>
A
（或
EF
//
PB
）垂足为
F
，
则
F
是点
E
在平面
P
AC
内的正投影
.
…
7
分
理由如下：∵
PC
⊥
P
A
，
PC
⊥
PB
，∴
PC
⊥平面
P
AB
．
< br>
∴
EF
⊥
PC
作
EF
⊥
P
A<
/p>
，∴
EF
⊥平面
P
AC
．即
F
是点
E
在平面
P
AC
内的正投影
.
…
9
分
连接
< br>CG
，依题
D
是正
Δ
ABC
的重心，∴
D
在中线
CG
上，且
CD
=2
DG
．
2
2
易知
DE
//
PC
，
PC=PB=P
A
= 6
，∴
DE
=2
，
PE<
/p>
=
PG
3
2
2
2
．
3
3
则在等腰直角
Δ
PEF<
/p>
中，
PF=EF=
2
，∴
Δ
PEF
的面积
S=
2
．
1
4
所以四面体
PDEF
的体积
V
S
DE
.
…
12
分
<
/p>
3
3
19
．解：
(
Ⅰ
)
当
x
≤
19
时，
y
=3800
；当
x
>19
时，
y
=3800+500(
x
-19)=500
< br>x
-5700.
x
19
3800,
所以
y
与
x
的函数
解析式为
y
(
x
N
*
)
…
3
分
500
x
5700,
x
1
9
(
Ⅱ
)
由柱
状图知，需更换的易损零件数不大于
18
为
0.46
，不大于
19
为
0.7
，
所以
n
的最小值为
19.
…
6
分
(
Ⅲ
)
若每台机器
都购买
19
个易损零件，则有
70
台的费用为
3800
，
20
台的费
用为
4300
，
10
台的费用为
48
00
，所以
100
台机器购买易损零件
费用的
1
平均数为
< br>(3800×
70+4300×
20+4800×
10)=4000.
…
9
分
100
若每台机器都购买
20
个易损零件，则有
90
台的费用为
< br>4000
，
10
台的费用
为
4500
，所以
1
00
台机器购买易损零件费用的
1<
/p>
平均数为
(4000×
90+4500×
10)=4050.
…
11
分
100
6
比较两
个平均数可知，购买
1
台机器的同时应购买
19
个易损零件
.
…
12
分
p
t
2
t
2
20
．解：
(
< br>Ⅰ
)
依题
M
(0,
t
)
，
< br>P
(
,
t
).
所以
N
(
,
t
)
，
ON
的方程为
y
x
.
t
2
p
p
联立
y<
/p>
2
=2
px
，消
去
x
整理得
y
2
=2
ty
.
解得
y
1<
/p>
=0
，
y
2
=2
t
.
…
4
分
OH
2
t
2
所以
H
(
,2
t
).
所以
N
是
OH
的中点，所以
=
2.
…
6
分
p
ON
p
(
Ⅱ
)
直线
MH
的方程为
y
t
x
，联立
y
2
=2
px
，消去
x
整理得
y
2
-4
ty
+4
t
2
=0.
2
t
解得<
/p>
y
1
=
y
2
=2
t
.
即直线
MH
与
C
只有一个交点
H
.
所以除
H
以外，直线
MH
与
C
没有其它公共点
.
…
12
分
21
．解：
(
Ⅰ
)
f
'
(
x
)=(
x
-1)
e
x
+
a
(2
x
-2)=(
x
-1)(
e
x
+2
a
).
x
∈
R
…
2
分
(1)
当
a
≥
0
时，在
(-
∞<
/p>
,1)
上，
f
'
(
x
)<0
，
f
(
x
)
单调递减；
在
(1,+
∞
)
上，
f
'
(
x
)>0
，
f
(
x
)
单调递
增
.
…
3
分
(2)
当
a
<0<
/p>
时，令
f
'<
/p>
(
x
)=0
，解
得
x
=1
或
x
=ln(-2
a
).
e
①若
a
=
，
ln(-2
a
) =1
，
f
'
(
x
)
≥
0
恒成立，所以
f
(
x
)
在
(-
∞
,+
∞
)
上单调递增
.
2<
/p>
e
②若
a
>
，
ln(-2
a
)<1
，在
(ln(-2
a
),1)
上，
f
'
(
x
)<0
，
f
(
x
)
单调递减；
2
在
(-
∞
, ln(-2
a
))
与
(1,+
∞
)
上，
f
'
(
x
)>0
，
f
(
x
)
单调递
增
.
e
③若
a
<
，
ln
(-2
a
)>1
，在
< br>(1,ln(-2
a
))
上，<
/p>
f
'
(
x
)<0
，
f
(
x
)
单调递减；<
/p>
2
在
(-
∞
,1)
与
(ln
(-2
a
),+
∞
)
上，
f
'
(
x
)>0
，
f
(
x
)
单调递增
.
…
7
分
(
Ⅱ
) (1)
当
a
=0
时，
f
(
x
)=(
x
-2)
e
x
只有一个零点，不合要求
.
…
8
分
(2)
当
a
>0<
/p>
时，由
(
Ⅰ
)<
/p>
知
f
(
x
)
在
(-
∞
,1)
上单调递减；在
(1,+
∞
)
上单调递增
.
a
a
最小值
f
(1)=-
e
<0
，又
f
(2)=
a
>0
，若取
b
<0
< br>且
b
<
br>e 2
，
b
<
.
2
a
3
从而
f
(
b
)
>
(
b
2)
a
(
b
1)
2
a
(
b
2
b
)
0
，所以
f
(
x
)
有两个零点
.
…
10
分
<
/p>
2
2
e
(3)<
/p>
当
a
<0
时，在
(-
∞
,1]
上，
f
(
x
)
<0
恒成立；若
a
≥
< br>
，由
(
Ⅰ
)
知
f
(
x
)
在
(1,+
∞
)
2
e
上
单调递增，
不存在两个零点
.
若
a
<
，
f
(
x
)
在
(1,ln(-2
a
))<
/p>
上单调递减；
在
(ln(-2
a
),+
∞
)
2
上单调递增，也不存在两个零点
.
综上
a
的取值范围是
(0
,1).
…
12
分
2016
年全国高考新课标
1
卷文科数学试
题
参考
答案
第Ⅰ卷
7
一、选择题，本大题共
12
小题，每小题
5
分
，共
60
分．在每小题给出的四个选
项
中，只有一项是符合题目要求的．
1
．设集合
A=
{1,3,5,7}
，<
/p>
B=
{
x
|2≤
x
≤5
}
，则
A
∩
B=
(
)B
A
．
{1,3}
B
．
{3,5}
C
．
{5,7}
D
．
{1,7}
2
．设
(1
+2
i
)(
a+i
)
的实部与虚部相等，其中
a
为实
数，则
a=
(
) A
A
．
-3
B
．
-2
C
．
2
D
．
3 <
/p>
3
．为美化环境，从红、黄、白、紫
4<
/p>
种颜色的花中任选
2
种花种在一个花坛中
，
余下的
2
种花种在另一个花坛中，则
红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
(
) C
1
1
2
5
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
6
2
4
．
Δ
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为<
/p>
a
,
b
,
c
.
已知
a
5,
c
2,cos
A
，
3
则
b=
(
)D
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3
<
/p>
5
．直线
l
经过
椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到
l
的距离为其短轴长
的
1
，则该椭圆的离心率为
(
)B
4
1
1
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
4
1
6
．若将函数
y
=2sin (2
x
+
)
的图像向右平移
个周期后，所
得图像对应的函数为
4
6
(
) D
A<
/p>
．
y
=2sin(2
x
+
)
B
．
y
=2sin(2
x
+
)
C
．
y
=2sin(2
x
–
)
D
．
y
=2sin(2
x
–
)
4<
/p>
3
4
3
7
．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个
28
圆中两条相互垂直的半径
.
若该几何体的体积是
，
3
则它的表面积是
(
) A
A
．
17π
B
．
18π
C
．
20π
D
．
28π
8
．若
a
><
/p>
b
>0
，
0<<
/p>
c
<1
，则
(
)B
A
．
log
a
c
2,2] ，
b
c
<
/p>
B
．
log
c<
/p>
a
c
b
C
．
a
c
<
b
c
D
．
c
a
>
c
b
9
．函数
y
=2
x
2
–
e
|
x
|
在
[
–
的图像大致为
(
)D
y
y
y
y
1
1
1
1
O
O
O
O
2
x
-2
2
x
-2
2
x
-2
2
x
-2
10
．执行右面的程序框图，如果输入的
x
=0
y
=1
，
n
=1
，
开始
则输出
x
，
y
的值满足
(
)C
A
D
B
C
输入
x
,
y
,
n<
/p>
8
n=n+
1
否
x
x
2
n
1
,
y
ny
2
2-