最新初中数学知识点归纳
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最新初中数学知识点归纳
第一章：实数
重要复习的知识点：
一、实数的分类：
正整数
整数
零
负
整数
有理数
数
有限小数或无限循环小
实数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理
数
<
/p>
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1
、有理数：任何
一个有理数总可以写成
p
的形式，其
q
中
p
、
q
是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2
、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，
如
2
、
3
4
；特定结构的不限环无限小数，如
1.101
…
…；特定意义的数，如π、
sin
45
°等。
3
、判断一个实数的数性不能
仅凭表面上的感觉，往往
要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1
、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（
1
）实数
a
的相反数是
-a
；
（
2
）
a
和
b
互为相反数
a+b=0
2
、倒数：
（
1
）实数
a
（
a
≠
0
）的倒数是
；（
2
）
a
和
b
互
为倒
数
ab
1
；（
3
）
注意
0
没有倒数
3
、绝对值：
（
1
）一个数
a
的绝对值有以下三种情况：
a
,
a
0
,
a
,
a
0
a
0
a
<
/p>
0
1
a
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（
2
< br>）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个
实数的绝对值，就是数轴上表示
这个数的点到原点的距
离。
（
3
）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里
< br>面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4
、
n
次方根
（
1
）平方根，算术平方根：设<
/p>
a
≥
0
，称
a
叫
a
的平
方根，
a
叫
a
的算术平方根。
（
2
）正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0
的平
方根是
0
；负数没有平方根。
（
3
）立方根：
3
a
叫实数
a
的立方根。
（
4
）一个正数有一个正的立方根；
0
的立方根是
0
；
一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴
1
< br>、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为
数轴。原点、正方向、单位长
度是数轴的三要素。
2
、数轴上的点
和实数的对应关系：数轴上的每一个点
都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的
唯一
的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较
------<
/p>
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--
1
、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。<
/p>
2
、正数大于
0
；负数小于
0
；正数大于一切负数；
两
个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算
1
、加法：
（
1
）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对
值相加；
（
2
）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用
较大的绝对值减去较
小的绝对值。可使用加法交换律、
结合律。
2
、减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3
、乘法：
（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相
乘。
（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
< br>0
，积就为
0
；若
n
个非
0
的实数相乘，积的
符号由负因数的个数决定，
当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，
积为负。
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（
3
）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法
分配
律。
4
、除法：
（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相
除。
（
2
）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（
3
）
0
除以任何数都
等于
0
，
0
不
能做被除数。
5
、乘方与开方：乘方
与开方互为逆运算。
6
、实数的运算
顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除
为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，
在同
一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算
高级
的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运
算。无论何种运算，都要注意先定符号
后运算。
六、有效数字和科学记数法
1
、科学记数法：设
N
＞
0
，则
N= a
×
10
n
（其中
1
≤
a
＜
10
，
n
为整数）。
2
、有效数字：一个近似数，从左边第一个
不是
0
的数，
到精确到的数位为止，所
有的数字，叫做这个数的有效
数字。精确度的形式有两种：（
1
）精确到那一位；
（
2
）保留几个有效数字。
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例题：
例
1
、已知实数
a
、
b
在数轴上的对应点的位置如图所
示，且
a
b
。
化简：
a
a
b
b
a
分析：从数
轴上
a
、
b
两
点的位置可以看到：
a
＜
0
，
b
＞
0
且
a
b
所以可得：
解：
原式
a
a
b
b
a
a
例
2<
/p>
、若
a
(
)
3
,
c
的大小。
4
3
分析：
a
(
)
3
1
；
b
1
且
b<
/p>
0
；
c
＞
0
；所以
3
4
3
3
4
3
b
(
)
3
,
4
3
c
(
)
<
/p>
3
，比较
a
、<
/p>
b
、
4
容易得出
：
a
＜
b<
/p>
＜
c
。
解：略
例
3
、若
a
2<
/p>
与
b
2
互为相反数，求
a+b
的值
< br>
分析：由绝对值非负特性，可知
a
2
0
,
又由题意可知：
a
2
b
2
0
b
2
0<
/p>
，
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所以只能是：<
/p>
a
–
2=0
，<
/p>
b+2=0
，即
a=2
< br>，
b=
–
2
，所
以
a+b=0
解：略
例
4
、已知
a
与
b
互为相反数，
c
与
d
互为倒数，
m
的绝对值是
1
，求
a
b
cd
m
2
的值。
m
解：原式
=
0
1
1
0
例
< br>5
、计算：（
1
）
8
1994
0
.
125
1994
（
2
）
1
1
e
e
< br>
e
e
2
2
2
2
< br>解：（
1
）原式
=
(
8
0
< br>.
125
)
1994
1
1994
1
1
1
1
1
< br>
e
e
e
e
1
（
2
）原式
=
e
e
e
e
< br>
=
e
1
2
2
2
e
2
第二章：代数式
基础知识点：
一、代数式
------
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/p>
1
、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结
而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是
代数式。
2
、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算<
/p>
后得到的结果叫做代数式的值。
3
、代数式的分类：
单项式
整式
< br>
有理式
< br>多项式
代数式
分式
无理式
二、整式的有关概
念及运算
1
、概念
（
1
）单项式：像
x
、
7
、
2
x
2
y
，这种数与字母的积
叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
单
项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫
做这个单项式的次数。
< br>
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系
数。
（
2
）多项
式：几个单项式的和叫做多项式。
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多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的
项。一个多项式含
有几项，就叫几项式。
多项式的次数：多项式里，次数最高的
项的次数，
就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指
数从小（大）
到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项
式按这个字母升（降）幂排列。
（
3
）同类项：所含字母相
同，并且相同字母的指
数也分别相同的项叫做同类项。
2
、运算
（
1
）整式的加减：
< br>合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为
系数，字母及字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“
+
”号，把括号和它前面
的“
+
”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”
号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都
变号。
添括号法则：括号前面是“
+
”号，括到括号里的各
项都不变；括号前面是“–”号，括
到括号里的各项都
变号。
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整式的加减实际上就是合并同类项，在运算
时，如
果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
（
2
）整式的乘除：
幂的运算法
则：其中
m
、
n
都是正整数
同底数幂相乘
：
a
m
a<
/p>
n
a
m
n
；同底数幂相除：
a
m
a
n
a
m
n
；幂的乘方：
(
a
m
)
n
<
/p>
a
mn
积的乘方：
(
ab
)
n
a
n
b
n<
/p>
。
单
项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，
对于相同的字母，用它们的指数的和作
为这个字母的指
数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指
< br>数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加。
多项式乘以多项式：先用一个多项式
的每一项乘以
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为
商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指
数作为商的一
个因式。
多项式除以单项式
：把这个多项式的每一项除以这
个单项，再把所得的商相加。
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乘法公式：
平方差公式：
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
b
2
；
完全平方公式：
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
，
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
三、因式分解
1
、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积<
/p>
的形式，叫因式分解。
2
、常用的因式分解方法：
（
1
）提取公因式法：
ma
mb
mc
m
(
< br>a
b
c
)
（
2
）运用公式法：
平方差公式：
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
；完全平方公式：
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
（
3
）十字相乘法：
x
2
(
a
b
)
x
ab
< br>(
x
a
)(
x
b
)
（
4
）分
组分解法：将多项式的项适当分组后能提
公因式或运用公式分解。
（
5
）运用求根公式法：若
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
的两
个根是
x
1
、
x
2
< br>，则有：
ax
2
bx
c
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
------
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3
、因式分解的一般步骤：
（
1
）如果多项式的各项有公因式，那么先提公
因
式；
（
2
）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运
用公式或十字相乘
法；
（
3
）
对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，
不行的再用求根公式法。
< br>
（
4
）最后考虑用分组分解法
。
四、分式
1
、分式定义：形如
A
的式子叫分式，其中
A
、
B
是
B
整式，且
< br>B
中含有字母。
（
1
）分式无意义：
B=0
时，分式无意义；
B
≠
0
时，
分式有意义
。
（
2
）分式的值为
0
：
A=0
，
B
≠
0
时，分式的值等于
0
。
（
3<
/p>
）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因
式约去叫做分式的
约分。方法是把分子、分母因式分解，
再约去公因式。
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（
4
）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式
时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一
定要化为最简分式。
（
5
）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分
式相等的同分母分式的过程
，叫做分式的通分。
（
6
）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次
< br>幂的积。
（
7
）有理式：整式和分式统称有理式。
2
、分式的基本性质：
（
1
）
A
A
M<
/p>
(
M
是
0
的整式
)
；（
2
）
B
B
M
A
A
M
< br>(
M
是
0
的整式
)
B
B
M
（
3
）分式的变号法则：分式的分子，
分母与分式本
身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3
、分式的运算：
（
1
）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分
子相加减；异分母的分式相加减，先把它
们通分成同分
母的分式再相加减。
（
2
）乘：先对各分式的分子、分母因
式分解，约分
后再分子乘以分子，分母乘以分母。
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（
3
）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（
4
）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
五、二次根式
1
、二次根式的概念：式子
a
(
a
0
)
叫做二次根式。
（
1
）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式
是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式
叫最简二次根式。
（
2
）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开
方数相同的二次根式，叫做
同类二次根式。
（
3
）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有
理化。
（
4
）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相
乘，
如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代
数式互为有理化因式（常用的有理化因
式有：
a
与
a
；
a
b
c<
/p>
d
与
a
b
c
d
）
2
、二次根式的性质：
（
1
）
(
a
)
2
a
(
a
0
)
；（
2
）
a
2
a
a
a<
/p>
(
a
0
)
(
a
0
)
；
（
3
）
ab
< br>a
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）；（
4
）
a
a
(
a
0
,
b
0
)
b
b
< br>------
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3
、运算：
（
1
）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次<
/p>
根式后，合并同类二次根式。
（
2
）二次根式的乘法：
a
b
< br>ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）。
（
3
）二次根式的除法：
a
b
a
(
a
0
,
b
0
)
b
二次根式运算的最终
结果如果是根式，要化成最简
二次根式。
例题：
一、因式分解：
1
、提公因式法：
例
1
、
24
a
< br>2
(
x
y
)
6
b
2
(
y
x
)
分析：先提公因式，后用平方差公式
解：略
[
规律总结
]
因式分解本着先提取，后公
式等，但应
把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分
解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应
继续分解。
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2
、十字相乘法：
< br>例
2
、（
1
）
x
4
5
x
2
36
；（
2
）
(<
/p>
x
y
)
2
4
(
x
y
)
12
分析：可看成是
x
2
和
(x+y)
的二次三项式，先用十
字相乘法，初步分解。
< br>
解：略
< br>[
规律总结
]
应用十字相乘法时
，注意某一项可是单
项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连
续用十字相乘法。
3
、分组分解法：
< br>例
3
、
x
3
2
x
2
x
2
分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四
项一组，后提取，再公式。
解：略
[
规
律总结
]
对多项式适当分组转化成基本方法因式
分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公
式法解题。
4
、求根公式法：
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例
4
、
x
2
5
x
5
解：略
二、式的运算
巧用公式
< br>例
5
、计算：
(
1
1
2
1
2
)
(
1
)
<
/p>
a
b
a
b
分析：运用平方差公式因式分解，使分式
运算简单
化。
解：略
[
规
律总结
]
抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，
特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公
式的技巧，使运算简便准
确。
2
、化简求值：
例
6
、先化简，再求值：
5
x
2
(
3
x
2
5
x
2
)
(
4
y
2
7
xy
)
，
其中
x=
–
1 y
=
1
2
解：略
[
规
律总结
]
一定要先化到最简再代入求值，注意去
括号的法则。
3
、分式的计算：
< br>------
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例
7
、化
简
a
5
16
(
a
3
)
2
a
6
a
3
a
< br>2
9
分析：–
a
3
可看成
a
3
解：略
[
规律总结
]
分式计算过程中：（
1
）除法转化为乘
法时，要倒转分子、
分母；（
2
）注意负号
4
、根式计算
例
8
、已知最简二次根式
2
b
1
和
7
b
是同类二
次根式，求
b
的值。
<
/p>
分析：根据同类二次根式定义可得：
2b+1=7
–
b
。
解：略
[
规
律总结
]
二次根式的性质和运算是中考内容，特
别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要
考查内容。
第三章：方程和方程组
基础知识点：
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一、方程有关概念
1
、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2
、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的<
/p>
值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程
的根。
3
、解方程：求方程的解或方判
断方程无解的过程叫
做解方程。
4
、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方
程的根叫做
原方程的增根。
二、一元方程
1
、一元一次方程
（
1
）一元一次方程的标准形式：
ax+b=0
（其中
x
是未
知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
0
）
（
< br>2
）一玩一次方程的最简形式：
ax=b
（其中
x
是
未知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
0
）
（
3
）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项和
系数化为
1
。
（
4
）一元一次方程有唯一的一个解。
2
、一元二次方程
------
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-
（
1
）一元二次方程的一般形式：
ax
2
bx
c
0
（其
中
x
是未知数，
a
、
b
、
c
是已知数，
< br>a
≠
0
）
（
2
）一元二次方程的解法：
直接开平方法、配方
法、公式法、因式分解法
（
3
）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一
般，如果没有要求，一般不用配方法。
（
4
）一元二次方程的根的判别式：
b
2
4
ac<
/p>
当Δ＞
0
时
方程有两个不相等的实数根
；
当Δ
=0
时
方程有两个相等的实数根
；
当Δ
< 0
时
方程没有实数根，无解；
当Δ≥
0
时
方程有两个实数根
（
5
）一元二次方程根与系数的关系：
若
x
1
,
x
2
是一元二次方程
ax
2
bx
c
<
/p>
0
的两个根，那么：
b
< br>c
x
1
x
2
，
x
1
x
2
a
a
（
6
）以两个数
x
1
,
x
2
为根的一元二次方程（二次项系
数为
1
）是：
x
2
(
x
1
x<
/p>
2
)
x
x
1
x
2
0
三、分式方程
（
1
）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
。
------
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-----
<
/p>
（
2
）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（
3
）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简
公分母，使最简公分母不为
0
的就是原方程的根；使
得最简公分母为
0
的就是原方程的增根，增根必须舍
去，也可以把
求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组
1
、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程
组的解。
< br>
2
、解方程组：求方程组的解或判断方程组无
解的过
程叫做解方程组
3
、一次方程组：
（
1
）二元一次方程组：
a
1
x
b
1
y
c
1
<
/p>
一般形式：
（
a
1
,
a
2<
/p>
,
b
1
,
b
2
,
c
1
,
c
2
不全为
0
）
a
x
b
y
c
2
2
2
解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同
时有无数的解
。
------
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<
/p>
（
2
）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法
4
、二元二次方程组：
（
1
）定义：由一个二元一次方程和一个二
元二次方
程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组
叫做二元二次方程组。
（<
/p>
2
）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降
次，转化为二元一次方程组。
考点与命题趋向分析
例题：
一、一元二次方程的解法
<
/p>
例
1
、解下列方程：
（
1
< br>）
(
x
3
)
2
2
；（
2
）
2<
/p>
x
2
3
x
1
；（
3
）
4
(
x
3
)
< br>2
25
(
x
2
)
2
1
2
分析
：（
1
）用直接开方法解；（
2
）用公式法；（
3
）
用因式分解法
解：略
[
规律总结
]
如果一元二次
方程形如
(
x
m
)
2
n
(
n
0
)
，就
可以用直接开方法来解；利用公式法
可以解任何一个有
------
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解的一元二次方程，运
用公式法解一元二次方程时，一
定要把方程化成一般形式。
<
/p>
例
2
、解下列方程：
（
1
）
x
2
a
(<
/p>
3
x
2
a
b
)
0
(
x
为未知数
)
；（
2
）
x
2
2
ax
8
< br>a
2
0
分析：（
1
）先化为一般形式，再
用公式法解；（
2
）
直接可以十字相乘
法因式分解后可求解。
解：略
[
规律总结
]
对于
带字母系数的方程解法和一般的方程没
有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。
二、分式方程的解法：
例
3
、解下列方程：
<
/p>
x
2
2
6
x
2
1
5
（
2
）
；（
< br>2
）
1
2
2
x
x
1
x
2
1
x
分析：（
1
）用去分母的方法；（
2
）用换元法
解：略
[
规
律总结
]
一般的分式方程用去分母法来解，一些具有
特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可
采用换元法来解。<
/p>
------
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三、根的判别式及根与系数的关系
例
4
、已知关于
x
的方程：
(
p
1
)
x
2
2
px
p
3
0
有两
个相等的实数根，求
p
的值。
分析：由题意可得
=0
，把各系数代入
=0
中就可求
出
p
，但要先化为一般形式。
解：略
[
规
律总结
]
对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有
要特别留意二次项系数不能为
0
例
5
、已知
a
、
b
是方程
x
2
2
x
< br>1
0
的两个根，求下
列各式的值：
（
1<
/p>
）
a
2
b
2
；（
2
）
分析：先算出<
/p>
a+b
和
ab
的
值，再代入把（
1
）（
2
）
变形后的式子就可求出解。
[
规律总结
]
此类题目都是先算出
两根之和和两根之积，
再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，
再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。
例
6
、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方
程
x
2
x
5
0
的两个根小
3
1
a
1
b
------<
/p>
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--
分析：先出求原方程的两根之和
x
1
x
2
和
两根之积
x
1
x
2
再代入求出
(
x
< br>1
3
)
(
x
2
2
)
和
(
x
1
3
)(
x
2
3
)
的值，所求的
方程也
就容易写出来。
解：略
[
规律总结
]
此类题目可
以先解出第一方程的两个解，但
有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。
三、方程组
例
7
、解下列方程组：
x
y
2
z
1
2
x
<
/p>
3
y
3
（
1
）
；
<
/p>
（
2
）
2
x
y
z
5
x
2
y
5
x
y
<
/p>
3
z
4
分析：（
1
）用加
减消元法消
x
较简单；（
2
）应该先
用加减消元法消去
y
，变成二元一次方程组，较易求解。
解：略
[
规
律总结
]
加减消元法是最常用的消元方法，消元时那
个未知数的系数最简单就先消那个未知数。
例<
/p>
8
、解下列方程组：
< br>2
2
x
y
7
3
x
xy
4
y
3
x
4
y
0
（
1
）
；
（
2
）
2
2
xy
< br>12
x
y
25
------
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分析：（
1
）可用代入消远法，也可用根与系数的关系
来求解；（
2
）要先把第一个方程因式分解化成两个二
元一
次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。
解：略
[
规
律总结
]
对于一个二元一次方程和一个二元二次方程
组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方
程组成的方程组，一
定要先把其中一个方程因式分解化
为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解
。
第四章：列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1
、审题：
2
、设未知数；
3
、找出相等关系，列方程（组）；
------
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4
、解方程（组）；
5
、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关
系；
< br>
1
、工程问题
（
1
）基本工作量的关系：工作量
=
工作效率×工作
时间
（
2
）常见的等量关系：甲的工作量
+
乙的工作量
=
甲、乙合作的工作总量
（
3
）注意：工程问题常把总工程看作“
1
”，水池
注水问题属于工程问题
2
、行程问题
（
1
）基本量之间的关系：路程
=
速度×时间
（
2
）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程
+
乙走的路程
=
全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间
=
乙的时间；甲
走的路程–乙
走的路程
=
原来甲、乙相
距路程
------
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-----
同地不同时：甲的时间
=
乙的时间–时
间差；甲的路
程
=
乙的路程
3
、水中航行问题：
顺流速度
=
船在静水中的速度
+
水流速度；
逆流速度
=
船在静水中的速度–水流速度
4
、增长率问题：
< br>常见等量关系：增长后的量
=
原来的量
< br>+
增长的量；
增长的量
=
原来的量×（
1+
增长率）；
5
、数字问题：
基本量之间的关系：三位数
=
个位上的数
+
十位上
的数×
10
+
百位上的数×
100
三、列方程解应用题的常用方法
1<
/p>
、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及
各数量间的关系译
成代数式，然后根据代数之间的内在
联系找出等量关系。
2
、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题
< br>中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等
量关系。
< br>
------
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3
、列
表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入
表格，从而找出各种量之间的关系。
4
、图示法：就是利用图表示题中的数量关系
，它
可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我
们更
好地理解题意。
例题：
例
1
、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合
作
5
< br>天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作
1
天就
可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用
2
天，
求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？
分析：设工作总量为
1
，设甲组单独完成工程需要<
/p>
x
天，则乙组完成工程需要
(x+2)<
/p>
天，等量关系是甲组
5
天的工作量
+
乙组
6
天的工作量
=
工作总量
解：略
例
2
、某部队奉命派甲连跑步前往
90
千米
外的
A
地，
1
小时
45
分后，因任务需要，又增派乙连乘车前
往支援，已知乙连比甲连每小时快
28
千米，恰好在全
程的
处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时
间
分析：设乙连的速度为
v
千米
/
小时，追上甲连的
时间为
t
小时，则甲连的速度为（
v
–
28
）千米
/
小时，
1
3
------
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/p>
-----
这时乙连行了
(
t
)
小时，其等量关系
为：甲走的路程
=
乙走的路程
=30
解：略
例
3
、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备
60
台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台
数比原计划多
50%
，结果提前
2
天完成任
务，求改进
操作技术后每天生产通讯设备多少台？
分析：设原计划每天生产通讯设备
x
台，则改进操
作技术后每天生产
x
（
1+0.5
）台，等量关系为：原计
划所用时间–改进
技术后所用时间
=2
天
解：略
例
4
、某商厦今年一月份销售额为
60
万元
，二月
份由于种种原因，经营不善，销售额下降
10%
，以后
经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加
到
96
万元，求三、四月份平均每月增长的百分率
是多
少？
分析：设三、四月份平均每
月增长率为
x%
，二月
份的销售额为<
/p>
60
（
1
–
10%
）万元，三月份的销售额为
二月份的
（
1+x
）倍，四月份的销售额又是三月份的
< br>（
1+x
）倍，所以四月份的销售额为二月份的（
1+x
）
2
倍，等量
关系为：四月份销售额为
=96
7
4<
/p>
万元。
------
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解：略
例
5
、一年期定期储蓄年利率为
2.25%
，所得利息
要交纳
20%
的利息税，例
如存入一年期
100
元，到期
储户纳税
后所得到利息的计算公式为：
税后利息
=
100
2
.
25
%
100
2
.
25
%
20
%
100
2
.
25
%(
1
20
%)
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得
到利息是
450
元，问该储户存入了多少本金？
分析：设存入
x
元本金，则一年期定期储蓄到期纳
税后利息为
2.2
5%(1-20%)x
元，方程容易得出。
例
6
、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出
20
件，每件盈利<
/p>
40
元，为了扩大销售，增加盈利，减少
库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，
如果每件衬衫每降价
1
元，商场平均每天可多售出
2
< br>件。若商场平均每天要盈利
1200
元，每件衬衫应降价
多少元？
< br>分析：设每件衬衫应该降价
x
元，则每件衬衫的利
润为（
40-x
）元，平均每天的销售量为（
20+2x
）件，
由关系式：
总利润
=
每件的利润
×售出商品的叫量，可列出方程
解：略
------
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第五章：不等式及不等式组
知识点：
一、不等式与不等式的性质
1
、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系
的常用符号
：≠，＜，＞）。
2
、不等式的性质：
（
l
）不等式的两边都加上（或减去）同一个
数，不
等号方向不改变，如
a
＞
b
，
c
为实数<
/p>
a
＋
c
＞
b
＋
c
（
2
）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数
，
不等号方向不变，如
a
＞
b
，
c
＞
0
ac
＞
bc
。
（
< br>3
）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号方
向改变，如
a
＞
b
，
c
＜
0
ac
＜
bc.
注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，<
/p>
一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，
零，负数）
再确定不等号方向是否改变，不能像应用等
式的性质那样随便，以防出错。
------
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-----
3
、任意两个实数
a
，
b
的大小关系（三种）：
（
1
）
a
–
b
＞
0
a
＞
b
（
2
）
a
–
b=0
a=b
（
3
）
a
–
b
＜
0
a
＜
b
4
、（
1
）
a
＞
b
＞
0
a
<
/p>
b
（
2
）
a
＞
b
＞
0
a
2
b
2
二、不等式（组）的解、解集、解不等式
1
、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫<
/p>
做这个不等式（组）的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等
式组的解集。
2
．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式
（组）。
三、不等式（组）的类型及解法
1
、一元一次不等式：
（
l
）概念：含有一个未知数并且含未知数
的项的次
数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
------
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-----
（
2
）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意
当
不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号
方向要改变。
2
、一元一次不等式组：
（
l
）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式
所组成的不等式组，叫做一元一次不等式
组。
（
2
）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的
公共部分
。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
例题：
方法
1
：利用不等式的基本性质
1
、判断正误：
（
1
）若
a
＞
b
，
c
< br>为实数，则
ac
2
＞
bc
2
；
（
2
）若
ac
2
＞
bc
2
，则
a
＞
b
分析：在（
l
）中，若
c=0
，则<
/p>
ac
2
=
bc<
/p>
2
；
在（
2
）
中，因为”＞”，所以。
C
≠
0
，否则应有
ac
2
=
bc
2
故
a
＞
b
解：略
< br>------
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［规律总结］将不等式正
确变形的关键是牢记不等
式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字
母的式子时，要对字母进行讨论。
方法
2
：特殊值法
例
2
、若
a
＜
b
< br>＜
0
，那么下列各式成立的是（
）
A
、
B
、
ab
＜
0
C
、
1
D
、
1
分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案
在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特
殊值法。
解：根据
a
＜
b
＜
0
的条件，可取
a=
–
2
，
b=
–
l
，代
入检
验，易知
1
，所以选
D
[
规律总结］此种方法常用于解选择题，
学生知识有
限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符
合条件的答案。
方法
3
：类比法
例
3
、解下列一元一次不等式，并把解
集在数轴上
表示出来。
（
1
）
8
–
2
（
x
＋
2
）＜
4x
–
2
；（
2
）
1
x
1
x
1
2
<
/p>
2
3
a
b
1
a
1
b
a
b
a
b
------
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-----
分析：解一元一次不等
式的步骤与解一元一次方程
类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合并同类项，
把系数化成
1
，需要注意的是，不等式的两
边同时乘以
或除以同一个负数，不等号要改变方向。
解：略
[
规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的<
/p>
步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一
个负数时，
不等号的方向必须改变，类比法解题，使学
生容易理解新知识和掌握新知识。
方法
4
：数形结合法
2
(
x
8
)
10
4
(
x
3
)
例
4
、求不等式组：
的
非负整数
x
1
6
x
7
1
3
2
解
分析：要求一个不等式组的非负整数
解，就应先求
出不等式组的解集，再从解集中找出其中的非负整数解。
< br>
解：略
方法
5
：逆向思考法
例
5
、已知关于
x
的不等
式
(
a
2<
/p>
)
x
10
a
的解集是
x<
/p>
＞
3
，求
a
的值。
------
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分析：因为关于
x
的不等式的解集为
x
＞
3
，与原不
等式的不等号同向，所以有
a
–
2 >0
，即原不等式的
解集为
x
10
a
10
a
，
3
解此方程求出
a
的值。
<
/p>
a
2
a
2
解：略
[
< br>规律总结
]
此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，<
/p>
探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思考法来解。
第六章：函数及其图像
知识点：
一、平面直角坐标系
1
、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构
成平面直角坐标系。在平面直
角坐标系内的点和有序实
数对之间建立了—一对应的关系。
2
、不同位置点的坐标的特征：
（
1
）各象限内点的坐标有如下特征：
点
P
（
x,
y
）在第一象限
x
＞
0
，
y
＞
0
；
------
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-----
点
P
（
x,
y
）在第二象限
x
< br>＜
0
，
y
＞
0
；
点
P
（
x,
y
）在第三象限
x
< br>＜
0
，
y
＜
0
；
点
P
（
x,
y
）在第四象限
x
< br>＞
0
，
y
＜
0
。
（
2
）坐标轴上的点有如下特征：
点
P
（
x,
y
）在
x
轴上
y
为
0
，<
/p>
x
为任意实数。
点
P
（
x
，
y
）在
y
轴上
x<
/p>
为
0
，
y
为任意实数。
3
< br>．点
P
（
x,
y
）坐标的几何意义：
（
1
）点
P
（
x, y
）到
x
轴的距离是
| y
|
；
（
2
）点
P
（
x, y
）到
y
袖的距离是
| x |
；
（
3
）
点
P
（
x, y
）到原点的距离是
x
2
y
2
4
．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：
（
1
）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P
1
(
a
,
b
)
；
< br>
（
2
< br>）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P<
/p>
2
(
a
,
b
)
；
（
3
）点
P
（
a, b
）关于原点的对称点是
P
3
(
a
,
b
)
；
二、函数的概念
1
、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值<
/p>
的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。
< br>------
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-----
2
、函数：一般地，设在
某一变化过程中有两个变量
x
和
y
，如果对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的值与它
对应，那么就说
< br>x
是自变量，
y
是
x
的函数。
（
1
）自变量取值范围的确是：
①解析式是只含有一个自变量的整式的
函数，自变
量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变
量取值范围是
使分母不为
0
的实数。
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，
自变量取值范围是使被开方数非负的实数。
注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇
到实际问题，还必须使实际问题有意义。
（
2
）函数值：给自变量在取值范围内
的一个值所求
得的函数的对应值。
（
3
）函数的表示方法：①解析法；②
列表法；③图
像法
（
4
）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤
是：
①列表；②描点；③连线
三、几种特殊的函数
1
、一次函数
------
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-----
直线位置与
k
，
b
的关系：
（
1
）
k
＞
0
< br>直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的
夹角为锐角；
（
2
）
k
＜
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的
夹角为钝角；
（
3
）
b
＞
0
直线与
y
轴交点
在
x
轴的上方；
（
4
）
b
＝
0
直线过原点；
< br>（
5
）
b
＜
0
直线与
y
轴交点在
x
轴的下方；
2
、二次函数
------
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-----
抛
物线位置与
a
，
b
，
c
的关系：
< br>
a
0
开口向上
（
1
）
a
决定抛物线的开口方向
a
0
开口向下
<
/p>
（
2
）<
/p>
c
决定抛物线与
y
轴交点的位置：
c>0
图像与
y
轴交点在
x
轴上方；
c=0
图像过
原点；
c<0
图像与
y
轴交点在
x
轴下方；
< br>（
3
）
a
，
b
决定抛物线对称轴的位置：
a<
/p>
，
b
同号，
对称
轴在
y
轴左侧；
b
＝
0
，对称轴是
y
轴；
a
，
b
异
号。对称轴在
y
轴右侧；<
/p>
3
、反比例函数：
< br>------
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4
、正比例函数与反比例函数的对照表：
例题：
例
1
、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点
P
（
m
，
4
），已知点
P
到
x
轴的距离是到
y
轴的
距离
2
倍
.
⑴求点
P
的坐标
.
；
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。
------
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-----
分析：由点
P
到
x
轴的距离是到
y
轴的距离
2
倍可
知：
2|m|=4
，易求出点
P
的坐标，再利用待定系数法
可求出这正、反比例函
数的解析式。
解：略
例
2
、已知
a
，
b
是常数，且
y+b
与
x+a
成正比例
.
求证：
y
是
x
的一次函数
.
分析：应写出
y+b
与
x+a
成正比例的
表达式，然
后判断所得结果是否符合一次函数定义
.
证明：由已知，有
y+b=k(x+a)
，其中
k
≠
0.
整
理，得
y=kx+(ka
－
b).
①
因为
k
≠
0
且
ka
－
b
是常数，故
y=kx+(ka
－
b)
是
x
的一次函数式
.
例
3
、填空：如果直线方程
ax+by+c=0
中，
a
＜
0
，
b
＜
0
且
bc
＜
0
，则此直
线经过第
________
象限
. <
/p>
a
c
b
b
a
a
c
c
b
＜
0
，所以
0
,
0
，又
bc
＜
0
，即
＜
< br>0
，故－
＞
0.
b
b
b
b
a
c
相当于在一次函数
y=kx+
l
中，
k=
－
＜
0
，
l=
－
＞
0
，
b
b
c
此直线与
y<
/p>
轴的交点
(0
，－
)
在
x
轴上方
.
且此直线的
b
分析：先把
ax+by+c=0
化为
x
.
因为
a
＜
0
，
-
-----
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< br>-----
向上方向与
x
轴正
方向所成角是钝角，所以此直线过第
一、二、四象限
.
例
4
、把反比例函数
y=
与二次函数
y=k
x
2
(k
≠
0
)
画
在同一个坐标系里，正确的是
(
).
答：选
(D).
这两个函数式中
的
k
的正、负号应相同
(
图
13
－
110).
k
x
例
5
、画出二次函数
y=x
2
-6x+7
的图象，根据图
象回答下列问题：
（
1
）当
x=-1
，
1
，
3
时
y
的值是多少？
（
2
）当
y=2
时，对应
的
x
值是多少？
（
3
）当
x
＞
3
时，随
x
值的增大
y
的值怎样变化？
（
4
）当
x
的值由
3
增加
1
时，对应的
y
值增加多
少？
------
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分析：
要画出这个二次函数的图象，首先用配方法
把
y=x
2
-6x+7
变形为
y=
（
x-3
）
2
-2
，确定抛物线的开
口方向、对称轴
、顶点坐标，然后列表、描点、画图．
解：图象略．
例
6
、拖拉机开始工作时，油箱有油
45
升，如果
每小时耗油
6
升．
（
1
）求油箱中的余油量
Q
（升）与工作时间
t
（时）
之间的函数关系式；
< br>
（
2
）画出函数的图象．
答：（
1
）
Q=45-6t
．
（
2
）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由
自变量
t
的取值范围
0<
/p>
≤
t
≤
7.5<
/p>
决定是一条线段，而不
是直线．
第七章：统计初步
知识点：
------
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-----
一、总体和样本：
在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，
其中每一考察对象叫
做个体。从总体中抽取的一部分个
体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容
量。
二、反映数据集中趋势的特征数
1
、平均数
（
1
）
x
1
,
x
2
,
x
3
,
<
/p>
,
x
n
的平均数
，
x
(
x<
/p>
1
x
2
x
n
)
（
2
）加权平均数：如果
n
个数据中，
x
1
出现
f
1
次，
x
2
出现
f
< br>2
次，……，
x
k
出现
f
k
次（这里
1
f
1
f
2
< br>
f
k
n
），则
x
(
x
1
f
1
x
2
f
2
x
k
f
k
)
n
1
n
（
3
）平均数的简化计算：
当一组数据
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
中各数据的数值较大，并且
都与常数
a
接近时，设
x
1
a
,
x
2
a
,
x
< br>3
a
,
,
x
n
a
的平均
数为
x
'
则：
x
x
'
a
。
2
、
中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处
在最中间位置上的数据叫做这组数据的中
位数，如果数
据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的
平均数。
------
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-----
3
、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做
这组数据的
众数。一组数据的众数可能不止一个。
三、反映数据波动大小的特征数：
1
、方差：
（
l
）
x
1
,
x
2
,
x
3
,
<
/p>
,
x
n
的方差，
(
x
1
x
)
2
(
x
2
x
)
2
< br>
(
x
n
x
)
2
S
n
2
2
x
x
2
x
n
< br>
x
（
< br>2
）简化计算公式：
S
1
n
2
2
2
2
（
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
为较
小的整数时用这个公式要比较方便）
（
3
）记
x
< br>1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
的方差
为
S
2
，设
a
为常数，
x
1
a
,
x
2<
/p>
a
,
x
3
a
,
,
x
n
a
的方差为
S
`
2
，则
S
2
=
S
`
2
。
< br>注：当
x
1
,
< br>x
2
,
x
3
,
,
x
n
各数据较大而常数
a
较接近时，
用该法计算方差较简便。
2
、标准差：方差（
S
2
）的算术平方根叫做标准差
（
S
）。
注：通常由方差求标准差。
四、频率分布
1
、有关概念
------
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（
1
）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组
称为分组，当数据在
100
个以内时，通常分成
5
－<
/p>
12
组。
（
2
）频数：每个小组内的数据的个数
叫做该组的频
数。各个小组的频数之和等于数据总数
n
。
（
3
）频率：每个小组的频数与数据总数
n
的比值叫
做这一小组的频率，各小组频率之和为
l
。
< br>（
4
）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的
频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。
（
5
）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘
制成的，以数据的各分点为横坐标，以频
率除以组距为
纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。
图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。
每个小长方形的面积等于该组的频率。
所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于
1
。
样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样
本容量
n
的比例的大小，总体分布反映总体中各组数
据的
个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本
的频率分布去估计总体的频率分布。<
/p>
------
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-----
2
、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和
方法，通常是先整
理数据，后画出频率分布直方图，其
步骤是：
（
1
）计算最大值与最小值的差；（
2
）决定组距与
组数；（
3
）决定分点；（
4
）列领率分布表；（
5
）绘
频率分布直方图。
例题：
例
1
、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳝鱼苗
< br>20000
尾，
其成活率为
70
％，随意捞出
10
尾鱼，称得每尾的重
量如下（单位：千克）
0
．
8
、
0
．
9
、
1
．
2
、
1
．
3
、
0
．
8<
/p>
、
1
．
l
、
1
．
0
、
1
．
2
、
0
．
8
、
0
．
9
根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？
分析：先算出样本的平均数，以样本平均数乘以
20000
，再乘以
70%
< br>。
解：略
［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据
比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较
大且都在某一
数
a
上下波动时，通常采用简化公式；
若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计
算。
例
2
、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下
------<
/p>
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---
--
已经算得两个组的人
均分都是
80
分，请根据你所学
过的统
计知识进一步判断这两个组成绩谁优谁次，并说
明理由
解：（
l
）甲组成绩的众数
90
分，乙组成绩的众数
为
70
分，从众数比较看，甲组成绩好些。
（
2
）算得
S
甲
2
=172
，
S
乙<
/p>
2
256
所以甲组成绩较乙组波动要小。
（
3
）甲、乙两组成绩的中位数都是<
/p>
80
分，甲组成
绩在中位数以上的有
33
人，乙组成绩在中位数以上的
有
26
人，从这一角度看甲组的成绩总体要好。
（
4
）从成绩统计表看，甲组成绩高于
80
分的人数
为
20
人，乙组成绩高于
80
分的人数为
24
人，所以，
乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的
人数比甲组得满分的
人数多
6
人，从这一角度看，乙
组的成
绩较好。
[
规律总结］明确
方差或标准差是衡量一组数据的波
动的大小的，恰当选用方差的三个计算公式，应抓住三
个公式的特征，根据题中数据的特点选用计算公式。