(完整版)初中数学七年级上册知识点总结
-
提
分
数
学
提分数学七年级上知识清单
第一章
有理数
一．正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比
0
小的数
正数：
比
0
大的数
0
既不是正数，也不是负数
注意
：①字母
a
可以表
示任意数，当
a
表示正数时，
-a
是负数；当
a
表示负数时，
-a
是正数；当
a
表示
0
时，
-a
仍是
0
。
（如果出判断题为：带正号的数是正数
，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如
+a,-a
就不
能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“
+
”
，有时“
+
”省略不写。所以省略“
+
”的正数的符号是正号
。
2.
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上
8
℃表示为：
+8
℃；零下
8
℃表示为：<
/p>
-8
℃
支出与
收入
;
增加与减少
;
< br>盈利与亏损
;
北与南
;
东与西
;
涨与跌
;
增长与降低等等是相对相反量，它们计数：
比原先多了的数
,
增加增长了的数一般记为正数
;
相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。
< br>
3.0
表示的意义
⑴
0
表示“
没有”
，如教室里有
0
个人，就是说教室里没有人；
⑵
0
是正数和负数的分界线，
0
既不
是正数，也不是负数。
二．有理数
1.
有理数的概念
< br>⑴正整数、
0
、负整数统称为整数（
0
和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整
数，
0
，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样
的数称为有理数。
理解
：只有能化成
分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限
小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意
：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像
-2,-4,-6,
-8
…也是偶数，
-1,-3,-5
…
也是奇数。
2. (1)
凡能写成<
/p>
q
(
p
,
q
为整数且
p
0
)
形式的数，都是有理数
.
正整数、
0
、负整数统称整
数；正分数、负
p
分数统称分数；整数和分数统称有理数
.
注意：
0
即不是正
数，也不是负数；
-a
不一定是负数，
+a
也不一定
-
1
-
提
分
数
学
是正数
；
不是有理数；
< br>
正整数
< br>正有理数
正分数
(2)
有理数的分类
:
①按正、负分类
:
有理数
零
负整数
负有理数
负分数
正整数
整数
零
②按有理数的意义来分
:
有理数
负整数
正分数
分数
负分数
总结：①正整数、
0
统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、
0
统称为非正整数
< br>③正有理数、
0
统称为非负有理数
④负有理数、
0
统称为非正有理数
(3)
注意：
有理数中，
1
、
0
、
-1
是三个特殊
的数，
它们有自己的特性；
这三个数把数轴上的数分成四个区域
，
这四个区域的数也有自己的特性；
(4)
自然数
0
< br>和正整数；
a
＞
0
a
是正数；
a
＜
0
a
是负数；
a
≥
0
a
是正数或
0
a
是非负数；
a
≤
0
a
是负数或
0
a
是非正数
.
三．数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意
：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是
数轴的三要素，三者缺一不可；
⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根
据实际需要规定的。
2.
数轴上的点与有理数的关系
⑴所
有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点
表示，
0
用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说
，有理数与数轴上
的点不是一一对应关系。
（如，数轴上的点π
不是有理数）
3.
利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于
0
，负数都小于
0
，正数大于负数；
-
2
-
提
分
数
学
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.
数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是
0
，无最大的自然数；<
/p>
⑵最小的正整数是
1
< br>，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是
-1
，无最小的负整数
5.a
可以表示什么数
⑴
a>0
表示
a
是正数；反之，
a
是正数，则
a>0
；
⑵
a<0
表示
a
是负数；反之，
a
是负数，则
a<0
⑶
a=0
表示
a
< br>是
0
；反之，
a
是
0,
，则
a=0
6.
数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的 点的位
置。
四．相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做
互为相反数，其中一个是另一个的相反数，
0
的相反数是
0
。
注意：⑴相反
数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶
0
的相反数是它本身；相反数为本身的数是
0
。
2.
相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵
0
的相反数是
0
；
⑶互为相反数的两数和为
0<
/p>
，和为
0
的两数互为相反数，即
a
，
b
互为相反数，则
a+b=0
3.
相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，
是互为相反数；
互为相反数的两个数，
在数轴上的对应点
（
0
除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。
0
的相反数对应原点；原点表示
0
的相
反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.
相反数的求法
< br>⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“
-
”即
可求得（如：
5
的相反数是
-5
）
；
0
的相反数还是
0
；
⑵求多
个数的和或差的相反数是，
要用括号括起来再添
“
-
”
，
然后化简
（如；
5a+b
的相反数是
-
（
5a+b
）
。
化
简得
-5a-b
）
；注意：
a-b+c
的
相反数是
-a+b-c
；
a-b
的相反数是
b-a
；
a+b
的相反数是
-a-b
；
⑶求前面带
“
-
”
的单个数，
也应先用括号括起来再添
“
-
”
，
然后化简
(
如：
-5<
/p>
的相反数是
-
（
-5
）
，
化简得
5)
；
)
相反数的和为
0
a+b=0
a
、
b<
/p>
互为相反数
-
3
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提
分
数
学
5.
相反数的表示方法
⑴一般地，数
a
的相反数是
-a
，其中
a
是任意有理数，可以是正数、负数或
0
。
当
a>0
时，
-a<0
（正数的相反数是负数）
当
a<0
时，
-a>0
（负数的相反数是正数）
当
a=0
时，
-a=0<
/p>
，
（
0
的相反数
是
0
）
6.
多重符号的化简
多重符号的化简规律
:
“
+<
/p>
”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；
“
-
”号的个数决定最后化简结果；
即：
“
-
”的个数是奇数时，结果为负，
< br>“
-
”的个数是偶数时，结果为正。
五．绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上
表示数
a
的点与原点的距离叫做
a
的绝对值，记作
|a|
。
< br>
2.
绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶
0
的绝对值是
0.
可用字母表示为：
①如果
a>0
，那么
|a|=a
；
②如果
a<0
，那么
|a|=-a
；
③如果
a=0
，那么
< br>|a|=0
。
可归纳为①：<
/p>
a
≥
0
，
<
═
> |a|=a
（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。
）
②
a
≤
0
，
<
═
>
|a|=-a
（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。<
/p>
）
3.
绝对值的性质
< br>任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，
a
取任何有理数，都有
|a|
≥
0
。
即
(1)
正数的绝对值是其本身，
0
的绝对值是
0
，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数
轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是
0
的数
是
0.
即：
a=0
<
═
>
|a|=0
；
a
(
a
0
)
⑵一个数的绝对值是非负数，<
/p>
绝对值最小的数是
0
.
< br>绝对值可表示为：
a
0
(
a
0
)
或
a
(
a
0
)
(
a
0
)<
/p>
a
；即：<
/p>
|a|
≥
0
；绝
对值的问题经常分类讨论；
a
a
(
a
0
)
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：
|a|
≥
a
；
a
a
1
a
0
；
a
a
1
a
0
；<
/p>
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若
|x|=a
（
a>0
）
，则
x=
±
a
；
⑸互为相反数的两数的绝对值
相等。
即：
|-a|=|a|
或若
a+b=0
，
则
|
a|=|b|
；
|a|
是重要的非负数
，
即
-
4
-
提
分
数
学
|a|
≥
0
；注意：
|a|
·
|b|=|a
·
b|,
a
b
a
b
⑹绝对值相等的
两数相等或互为相反数。即：
|a|=|b|
，则
a=b
或
a=-b
；
⑺若几个数的绝对值的和等于
0
，则这几个数就同时为
0
。即
|a|+|b|=0
，则
a=0
且
b=0
。
（
非负数的常用性质：若几个非负数的和为
0
，则有且只有这几个
非负数同时为
0
）
4.
有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比
左边
的数大
⑵利用绝对值比较两个负
数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于
负数。
（
3
）正数
的绝对值越大，这个数越大；
（
4<
/p>
）正数永远比
0
大，负数永远比
0
小；
（
5
）正数大于一切负数；
（
6
）大数
-
小数
＞
0
，小数
-
大数
＜
0.
5.
绝对值的化简
< br>①当
a
≥
0
时，
|a|=a
；
②当
a
≤
0<
/p>
时，
|a|=-a
6.
已知一个数的绝对值，求这个数
一个数
a
的绝对值就是数轴上表示数<
/p>
a
的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两
个，
它们互为相反数，绝对值为
0
的数
是
0
，没有绝对值为负数的数。
六．有理数的加减法
.
1.
有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与
0
相加，仍得这个数。
2.
有理数加法的运算律
⑴加法交换律：
a+b=b+a
⑵加法结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
-
5
-
提
分
数
学
①互为
相反数的两个数先相加——“相反数结合法”
；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”
；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”
；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”
；<
/p>
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”
。
3.
加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加
0
后的和等于原数。即：
⑴当
b>0<
/p>
时，
a+b>a
⑵当
b<0
时，
)+(+3
1
8<
/p>
=
+3
1
8
3
1
2
1
-3
+10
-1
4
8
3
4
=(3
3
1
1
1
2
-1
)+(
-3
)+10
4<
/p>
4
8
8
3
=2
1
2
-3+10
2
3
1
6
=-3+13
=10
1
6
6
1
7
-12
+4
11
22
15
1
7
6
1
)+(
-
)
5
15
11
22
-
7
-
Ⅴ
.
把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
< br>
-3
+10
1
5
原式
=(-3+10-12+4)+(-
+
提
分
数
学
=-1
+
4
11
+
15
22
8
1
5
+
30
3
0
=-1+
=-
7
30
Ⅵ
.
分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9
…
+66-67-68+6
9
原式
=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+
…
+(66-67-68+69)
=0 <
/p>
Ⅶ
.
先拆项后结合
（
1+3+5+7
…
+99
）
-
（
2+4+6+8
…
+100
）
七．有理数的乘除法
1.
有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（
“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的
情况，如果因数超过两个，就必
须运用法则三）
法则二：任何数同
0
相乘，都得
0
；
法则三：几个不是
0
的数相乘，负
因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为
0,
则积等于
0.
2.
倒数
乘
积是
1
的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用
式子表示为
a
·
1
=1
（
a
≠
0
）
，就是说
a
a
和
1
1
1
互为倒数，即
a
是
< br>的倒数，
是
a
的倒数。
a
a
a
1
互为倒数：
乘积为
1
的两个数互为倒数；
注意：
0
没有倒数；
若
a
≠
0
，
那么
a
的倒数是
；
倒数是本身的数
a
是±
1
；若
ab=1
a
、
b
互为倒数；若
ab=-1
a
、
b
互为
负倒数
.
注意
：①
0
没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带
分
数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
-
8
-
提
分
数
学
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
< br>（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）
；
④倒数等于它本身的数是
1
或
< br>-1,
不包括
0
。
3.
有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即
ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者
先把后两个数相乘，积相等。即
(ab)c=a(bc).
⑶
乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即
a(b+c)=ab+ac
4.
有理数的除法法则
（
1
）除以一个不等
0
的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，
即
无意义
（
2
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0
< br>除以任何一个不等于
0
的数，都得
0
5.
有理数的乘除混合运算
<
/p>
（
1
）乘除混合运算往往先将除法化成乘
法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（
< br>2
）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，
后加减’的顺序进行。
a
0
八．有理数的乘方
1.
乘方的概念
求
n
个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在
a
中，
a
叫做底数，
n
叫做指数。
（
1
）
a
是重要的非负数，即
a
≥
0
；若
a
+|b|=0
a=0,b=0
；
0
.
1
2
0
.
01
2
1
1
（
2
）据规
律
2
底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位
10
100
< br>
2
2
2
n
2.
乘方的性质
（
1
）
负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂的正数；
注意：
当
n
为正奇数时
:
(-a
)
=-a
或
(a
-b)
=-(b-a)
,
当
n
为正
偶数时
: (-a)
=a
或
(a-b)
=(b-a)
.
（
2
）正数的任何次幂都是正数，
0
的任何正整数次幂都是
0
。
n
n
n
< br>n
n
n
n
n
九．有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.
先乘方，再乘除，最后加减；
2.
同级运算，从左到右进行；
-
9
-
提
分
数
学
3.
如有括号，先做括号内的运算，
按小括号，中括号，大括号依次进行。
十．科学记数法
把一个大于
10
的数表示成
a<
/p>
10
的形式（其中
1
a
10
，
n
是
正整数）
，这种记数法是科学记数法
n
近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个
近似数的精确到那一位
.
有效数字：
从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
.
混合运算法则：
< br>先乘方，
后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重
要的原
则
.
特殊值法：
是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法
,
但不能用于证明
.
等于本身的数汇总
：
相反数等于本身的数：
0
倒数等于本
身的数：
1
，
-1
绝对值等于本身的数：正数和
0
平方等于本身的数：
0,1
立方等于
本身的数：
0,1
，
-1.
第二章
整式的加减
一．
用字母表示数
(
代数初步知识
)<
/p>
1.
代数式
：
用运算符号
“＋
－
×
÷
……
”
连接数及表示数的字母的式子称为代数式
.
注意：
用字母
表示数有一定的限
制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活
或
生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数
式，如
n,-1,2n+500,abc
。
2.
代数式书写规范
：
< br>（
1
）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“·
”
乘，或省略不写；
（
2
）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·
”乘，也不能省略乘号；
（
3
）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如
a
×
5
应写成
5a
；
-
10
-
提
分
数
学
1
3
（
4
）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如
a
×
1
应写成
a
；
2
2
3
（
5
< br>）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如
3
÷
a
写成
的形式；
a
（
6
）
a
与
b
的差写作
a-b
，要注意字母顺序；若只说两数的差
，当分别设两数为
a
、
b
时，则应分类，写做
a-b
和
b-a .
出现除式时，用分数表示；
< br>(7)
若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
3.
几个重要的代数式：
（
m
、
n
表示整数）
（
1
）
a
与
b
的平方差是：
a
-b
；
a
与
b
差的平方是：
< br>（
a-b
）
；
（
2<
/p>
）若
a
、
b
、
c
是正整数，则两位整数是：
10a+b ,
则三位整数是：
100a+1
0b+c
；
（
3
）
若
m
、
n
是整数，
则被
5
除商
m
余
n
的数是：
5m+n
；
偶数是：
2n
，
奇数是：
2n+1
；
三个连续整数
是：
n-1
、
n
、
n+1
；
（
4
）若
b
＞
0
，则正数是
:a
+b
，负数是：
-a
-b
，非负数是：
a
，非正数是：
-a
.
2
2
2
2
2
2
2
二．整
式
1.
单项式
：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
<
/p>
2.
单项式的系数
：单项式中的数字因数
；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的
系数；
3.
单项式的次数
：一个
单项式中，所有字母的指数和
4
多项
式
：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项
。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为
0
。
注意：
（若
a
、
b
、
c
、
p
、
q
是常
数）
ax
+bx+c
和
x
+px+q
是常见的两个二次三项式
.
5
整式
：单项式和多项式
统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式
叫整式
.
整式分类为：
整式
2
2
单项式
多项式
.
注意
：分母上含有字母的不是整式。
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11
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