-

2021年2月13日发(作者：王小草)

线

1

、基本概念

图形

端点个数

表示法

直线

无

直线

a< /p>

；直线

AB

（

B A

）

射线

一个

射线

AB

作射线

AB

线段

两个

线段

a

；线段

AB

（

BA

）

作线段

a

；

作线段

AB

；

连接

AB

延长叙述

不能延长

反向延长射线

AB

延长线段

AB

；

反向延

长线段

BA

2

、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单地：两点确定一条直线。

3

、画一条线段等于已知线段

（

1

）度量法

（

2

）用尺 规作图法

4

、线段的大小比较方法

（

1

）度量法

（

2

）叠合法

5

、线段的中点（二等分点）

、三等分 点、四等分点等

定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。

图形：

A

M

B

作法叙述

作直线

AB

；

作直线

a

符号：若点

M

是线段

AB

的中点，则

AM=BM=AB

，

AB=2AM=2BM

。

6

、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短。

简单地：两点之间，线段最短。

7

、两点的距离

连接两点的线段长度叫做两点的距离。

8

、点与直线的位置关系

（

1

）点在 直线上

（

2

）点在直线外

.

1

1

过两点有且只有一条直线

2

两点之间线段最短

3

过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

4

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

5

平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

6

如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

7

定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

8

逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

9

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

等边三角形

1

推论

等 边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于

60°

2

推论

三个角都相等的三角形是等边三角形

3

推论

有一个角等于

60°

的等腰三角形是等边三角形

等腰三角形

1

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

(

即等边对等角）

2

推论

1

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

3

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

4

等腰三角形的判定定理

如果一个三角 形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等

角对等边）

角

1

、角：

由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

2

、角的表示法（四种）

：

用三个字母及角的符号“”表示。中间的字母表示顶点，其他 两个字母分别表示角的两边

上的店；

当顶点处只有一个角时，可用表示顶点的这个字母来表示该角；

用一个数字表示一个角；

用一个希腊字母表示一个角。

2

3

、角的分类

∠

β

锐角

直角

钝角

平角

周角

<

∠

β<180°

∠

β=180°

∠

β=360°

范围

0< /p>

＜∠

β

＜

90°

∠

β=90°

90°

4

、角的比较方法

（

1

）度量法

（

2

）叠合法

5

、画一个角等于已知角

（

1

）借助 三角尺能画出

15

°的倍数的角，在

0

～

180

°之间共能画出

11

个角。

< p>
（

2

）借助量角器能画出给定度数的角。

（

3

）用尺规作图法。

6

、角的平线线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射 线叫做角的平分线。

7

、互余、互补

（

1

）若∠

1+

∠

2=90

°，则∠

1

与∠

2

< br>互为余角

.

其中∠

1

< p>
是∠

2

的余角，∠

2

是∠

1

的余角

.

（

2

）

若∠

1+

∠

2=1 80

°，

则∠

1

与∠

2

互为补角

.

< br>其中∠

1

是∠

2

的补角，

∠

2

是∠

< p>
1

的补角

.

（

3

）余（补）角的性质：等角的补（余）角相 等

.

8

、方向角

（

1

）正方向

（

2

）北（ 南）偏东（西）方向

（

< p>
3

）东（西）北（南）方向

1

同角或等角的补角相等

2

同角或等角的余角相等

3

同位角相等，两直线平行

4

内错角相等，两直线平行

5

同旁内角互补，两直线平行

6

两直线平行，同位角相等

7

两直线平行，内错角相等

8

两直线平行，同旁内角互补

9

定理

1

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

10

定理

2

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

11

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

3

三角形

1

定理

三角形两边的和大于第三边

2

推论

三角形两边的差小于第三边

3

三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于

180°

4

推论

1

直角三角形的两个锐角互余

5

推论

2

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

6

推论

3

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

7

全等三角形的对应边、对应角相等

8

边角边公理

(SAS)

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

9

角边角公理

( ASA)

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

10

推论

(AAS)

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

11

边边边公理

(SSS)

有三边对应相等的两个三角形全等

12

斜边、直角边公理

(HL)

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

13

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

14

在 直角三角形中，如果一个锐角等于

30°

那么它所对的直角边等 于斜边的一半

15

勾股定理

直角三角形两直角边

a

、

b

的平方和、等于斜边

c

的平方，即

a

2

+b

2

=c

2

16

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长

a

、

b

、

c

有关系

a

2

+b

2

=c

2

，那么这个三角形是直角

三角形

平行四边形

1

平行四边形性质定理

1

平行四边形的对角相等

2

平行四边形性质定理

2

平行四边形的对边相等

3

推论

夹在两条平行线间的平行线段相等

4

平行四边形性质定理

3

平行四边形的对角线互相平分

5

平行四边形判定定理

1

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

6

平行四边形判定定理

2

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7

平行四边形判定定理

3

对角线互相平分的四边形是平行四边形

8

平行四边形判定定理

4

一组对边平行相等的四边形是平行四边形

9

矩形性质定理

1

矩形的四个角都是直角

多边形

1

定理

1

关于某条直线对称的两个图形是全等形

2

定理

2

如 果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

4

3

定理

3

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴

上

4

逆定理

如果两个图形的对应点连线被 同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线

对称

5

定理

四边形的内角和等于

360°

6

四边形的外角和等于

360°

7

多边形内角和定理

n

边形的内角的和等于（

n-2

）

×

180°

8

推论

任意多边的外角和等于

360°

分式

A

设

A

、

B

表示两个整式。如果

B

< br>中含有字母，式子

B

就叫做分式。注意分母

B

的值不能

为零，否则分式没有意义。

< br>分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有公因式，要进行约分化简。

< br>

2

、分式的基本性质

A

A



M

A

A



M





B

B



M

,

B

B



M

（

M

为不等于零的整式）

3

．分式的运算

(

分式的运算法则与分数的运算法则类似

)

a

c

ad



bc





b

< br>d

bd

（异分母相加，先通分）

；

a

c

ac





b

d

bd

；

a

c

a

d

< p>
ad









b

d

b

< br>c

bc

；

a

n

a

n

(

)



n

b

b

4

．

零指数

a

0

=1 (a

≠

0)

5

．

负整数 指数

a



p



1

a

p

（

a

≠

0,p

为正整 数）

m

n

m



n

注意正整数幂的运算性质

a



a



a

< br>，

m

n

m



n

a



a



a

（

a

≠

0

）

5

m

n

mn

(

a

< br>)



a

n

n

n

(

ab

)



a

< p>
b

可以推 广到整数指数幂，也就是上述等式中的

m

、

n

可以是

0

或负整数．

正比例

反比例

一次函数

第一象限

(

＋，＋

)

，第二象限

(

－，＋

)

第三象限

(

－、－

)

第四象限< /p>

(

＋，－

)

x

轴上的点的纵坐标等于

0

，反过来，纵 坐标等于

0

的点都在

x

轴上，

y

轴上的点的横坐

标等 于

0

，反过来，横坐标等于

0

的点都在

y

轴上，

< /p>

若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线< /p>

上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于

x

轴对称，横坐标相等， 纵坐标互为相反数；若两个点关于

y

轴对称，纵坐

标相等，横坐标互为相反数；

若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。

1

、

一次函数，正比例函数的定义

（

1

）如果

y=k x+b(k,b

为常数，且

k≠0),

那么

y

叫做

x

的一次函数。

（

< br>2

）当

b

＝

0

时，一次函数

y=kx+b

即为

y=kx(k≠0)

。这时，

y

叫做

x

的正比例函数。

注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

2

、

正比例函数的图象与性质

（

1

）正比例函数

y= kx(k≠0)

的图象是过（

0

，

0

）

（

1

，

k

）的一条直线。

（

2

）当< /p>

k>0

时

⇔

y< /p>

随

x

的增大而增大

⇔

直线

y=kx

经过一、三象限

⇔

从左到右直线上升。

当

k<0

时

⇔

y

随

x

的增大而减少

⇔

直线

y

＝

kx

经过二、四象限

< p>
⇔

从左到右直线下降。

3

、

一次函数的图象与性质

< p>
b

（

1

）

一次函数

y=kx+b(k≠0)

< br>的图象是过（

0

，

b

< p>
）

（

k

，

0

）的一条直线。



b

注：

（

0,b

）是直线与

y

轴 交点坐标，

（

k

，

0

）是直线与

x

轴交点坐标。



（

2

）当

k>0

时

⇔

y

随

x

< p>
的增大而增大

⇔

直线

y= kx+b(k≠0)

是上升的

（

3

）当

k<0< /p>

时

⇔

y

随

x

的增大而减少

⇔

直 线

y

＝

kx+b(k≠0)

< p>
是下降的

4

、一次函数

y=kx+b(k≠0, k

b

为常数

)

中

k

、

b

的符号对图象的影响

（

1

< br>）

k>0,

b>0

⇔

直线经过一、二、三象限

（

2

）

k>0,

b<0

⇔

直线经过一、三、四象限

6

（

3< /p>

）

k<0,

b>0

⇔

直线经过一、二、四象限

（

4

）

k<0,

b <0

⇔

直线经过二、三、四象限

5

、对一次函数

y=kx+b

的系数

k, b

的理解。

(1)

k(k≠0)

相同，

b

不同时的所有直线平行，即直线

l

< p>
1

:

y



k

1

x



b

1

l1:y=k1x+b1

；直 线

k

1



k< /p>

2



k

1



k

2



< p>
l

//

l



1

2



l

< br>1

与

l

2

重合

b



b

2



l

2

:< /p>

y



k

2

x



b

2

< p>
( k

1

，

k

< p>
2

均不为零，

k

1

，

b

1

，

< p>
k

2

，

b

2

为常数

)

b

1



b

2



1

（

2

）

k(k≠0)

不同，

b

相同时的所有直线恒过

y

轴上一定点

（

0,b

）

，

例如：

直线

y=2x+3, y=-2x+3,

y



1

x



3

2

均交于

y

轴一点（

0

，

3

）

< br>

6

、直线的平移：

< br>所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线

k

不

变，直线沿

y

< br>轴平移多少个单位，可由公式︱

b

1

－

b

2

︱得到，其中

b

1

，

b

< br>2

是两直线与

y

轴交点

的纵坐标，直线沿

x

轴平移多少个单位，可由公 式

︱

x

1< /p>

－

x

2

︱求得， 其中

x

1

，

x

2

是由两直线

与

x

轴交点的横坐标。

7

< p>
、直线

y=kx+b(k≠0)

与方程、不等式的 联系

（

1

）一条直线

y=kx+b(k≠0)

就 是一个关于

y

的二元一次方程

（

2

）求两 直线

l

1

:

y



k

1

x



b

1

(

k

1



0

)

，

l

2

< br>:

y



k

2

x



b

2

(

k

2



0

)

的交点，就是解关于

< br>x

，

y

的方



y



k

1

x



b

1< /p>



y



k

2

x



b

< p>
2

程组



(3)

若

y>0

则

kx+b>0

。若

y<0

，则

kx+b<0

(4)

一元一次不等式，

< p>
y

1

≤kx+b≤y

2< /p>

( y

1

，

y< /p>

2

都是已知数，且

y

1

2

)

的解集就是直线

y=kx+b

上

满足

y

1

≤y≤y

2

那条线段所对应的自变量的取值范围。

（

5

）一元 一次不等式

kx+b≤y

0

(

或

kx+b≥y

0

)( y

0

为已知数

)

的解集就是直线

y=kx+b

上满足

y≤y

0

(

或

y≥y

0

)

那条射线所对应的自变量的 取范围。

8

、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

（

1

）由于比例函数

y=kx(k≠0)

中只有一个待定系数

k

< br>，故只要一个条件（如一对

x,y

的值

< br>或一个点）就可求得

k

的值。

(2)

一次函数

< br>y=kx+b

中有两个待定系数

k

，

b

，需要两个独立的条件确定两个关于

k

，

b

的

方程，求得

k

，

b

的值，这两个条件通常是两个点，或两对

x

，

y

的值。

9

、反比例函数

7

(1)

反比例函数及其图象

如果

y

< /p>

k

x

（

k

是常数，

k

≠

0)< /p>

，那么，

y

是

x

的反比例函数。

< br>反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象。

（

2

）反比 例函数的性质

当

k>0

时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，< /p>

y

随

x

的增大而减小；

当

k<0

时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限 内，

y

随

x

的 增大而增大。

(3)

由于比例函数

y



k

x

(k

是常数，

k

≠

0)

中只有一个待定系数

k

， 故只要一个条件（如一对

x,y

的值或一个点）就可求得

k

的值。

三边对应 成比例，三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。

二元一次方程组

1

．二元一次方程：

含有两个未知数，并且含未知数项的次数是

1

，这样的方程是二元一

次方程。

< p>

注意：一般说二元一次方程有无数个解。

2.

二元一次方程组：

两个二元一次 方程联立在一起是二元一次方程组。

3.

二元一次方程组的解：

使二元一 次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数

的值，叫二元一次方程组的解。

注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）

。

4

．二元一次方程组的解法：

（

1

）代入 消元法；

（

2

）加减消元法；

（

3

）注意：判断如何解简单是关键

.

5

．一次方程组的应用：

（

1

）对于 一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较

麻烦，反之 则“难列易解”

；

（

2

）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时， 一般可求出未知数的值；

（

3

）

对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何

两个未知数的关系。

一元一次不等式（组）

1.

不等式

：用不等号

“

＞

“

”

< br>＜

”

“

≤”

“

≥”

“

≠”

，

把两个代数式连接起来的式子叫不等式。

8

2

．不等式的基本性质：

不等式的基本性质

1

：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方

向不变；< /p>

不等式的基本性质

< br>2

：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

不等式的基本性质

3< /p>

：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

3.

不等式的解集：

能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解

的集合， 叫做这个不等式的解集。

4

．一元一次不等式

：只含有一个未知数，并且未知数的次数是

1

，系数不等于零的不等

式，叫做一元一次不 等式；它的标准形式是

ax+b

＞

0< /p>

或

ax+b

＜

0

，

(a≠0)

。

5

．一元一次不等式的解法：

一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一

定要注意不 等式性质

3

的应用；

注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点。

6

．一元 一次不等式组

：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做

一元一次不等式组；

ab



0





a



0



a< /p>



0

a



0





或

< p>


b



0

b



b



0



注意：

；



a



0



a



0< /p>

a

ab



0





0





或



b



0

b



< br>b



0



；



a



m



a



m



ab



0



a



< p>
0

或

b



0

；



a



m

7.

一 元一次不等式组的解集与解法：

所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这

个一元一次不等式组的解集；

解一元一次不等式时，

< br>应分别求出这个不等式组中各个不等式的

解集，再利用数轴确定这个不等式组的解 集。

8

．

一 元一次不等式组的解集的四种类型：

设

a

＞

b

< /p>

x



a





x



b

< p>



不等式组的解集是

x>a



x



a





x



< br>b



不等式组的解集是

x

b

a

9

b

a



x



a





x



b



不等式组的解集是

a>x>b



x



a





x



b



不等式组的解集是空集

b

a

b

a

x



y



0







x

、

y

是正数

xy



0



< p>

9

．几个重要的判断：

，

x< /p>



y



0



x



y

< p>


0





x

、

y

是负数







x

、

y

异号且正数绝对值大

xy



0



xy



0



，

< p>
x



y



0







x

、

y

异号且负数绝对值大

xy



0



整式的乘除

1.

同底数幂的乘法：

a

< p>
m

·

a

n

=a

m+n

，底数不变，指数相加。

2

．幂的乘方与积的乘方：

(a

m

)

n

< p>
=a

mn

，底数不变，指数相乘；

(ab)< /p>

n

=a

n

b

n

，积的乘方等于

各因式乘方的积。

< /p>

3

．单项式的乘法

：系数相乘，相同字母 相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写

在积里。

4

．单项式与多项式的乘法

：

m(a+b+c)=ma+mb+mc

，用单项式去乘多项式的每一项，再把

所得的积相加。

5

< br>．多项式的乘法：

(a+b)·

(c+d)=ac+ad +bc+bd

，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的

每一项 ，再把所得的积相加。

6

．乘法公式：

（

1

）

平方差公式：

(a+b)(a-b)=

a

2

-b

2

，< /p>

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方

差；

（

2

）完全平方公式：

①

(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

,

两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它 们的积的

2

倍；

②

(a-b)

2

=a

2

-2ab+b

2

,

两个数差的平方， 等于它们的平方和，减去它们的积的

2

倍；

③

(a+b-c)

< br>2

=a

2

+b

< br>2

+c

2

+2ab-2ac-2 bc

，略。

7.

配方：

1

0

-

-

-

-

-

-

-

-