最新版北师版初中数学知识点总结(新)
-
最新北师版初中数学知识点复习
七年级上
第一章
丰富的图形世界（）
1
生活中的立体图形
2
展开与折叠
3
截一个几何体
4
从三个方向看物体的形状
柱体
圆柱
:
底面是圆面
，
侧面是曲面
¤
1.
圆锥<
/p>
:
底面是圆面
，
侧面是曲面
锥体
，
< br>侧面都是三角形
棱锥
:
底面是多边形
棱体
:
底面是多边形
，
侧面是正方形或长方
形
¤
2.
¤
3.
球体：由球面围成的（球面是曲面）
¤
4.
几何图形是由点、线、面构成的。
①
几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的
表面。几何的表面有平面和曲面
；②面与面相交得到线；③线与
线相交得到点。
※
5.
棱：在棱柱中，任何相邻两个
面的交线都叫做棱
。
．
※
6.
侧
棱：
相邻两个侧面的交线叫做侧棱
，
所
有侧棱长都相等。
．．
¤
7.
棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。
¤
8.
根据底面图形的边数，人们将
棱柱分为三棱柱、四棱柱、
五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四<
/p>
边形、五边形、六边形……
¤
9.
长方体和正方体都是四棱柱。
¤
10.
圆柱的表面展开图是由两个
相同的圆形和一个长方形连
成。
¤
11.
圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。
※
12.
设一个多边形的边数为
n(n≥3，且
n
为整数
< br>)
，从一个顶
点出发的对角线有
(3)
条；可以把
n
边形成
(2)
个三角形；这
个
n
边形共有
n
(
n
3
)
条对
角线。
2
◎
13.
圆上两点之间的部分叫做弧
，弧是一条曲线。
．
◎
14.
扇形，
由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的
图形。
¤
15.
凸多边形和凹多边形都属于多边形。
有弧或不封闭图形都
不是多
边形。
第二章
有理数及其运算（）
1.
有理数
2.
数轴
3.
绝对值
4.
有理数的加法
5.
有理数的减法
6.
有理数的加减混合运算
7.
有理数的乘法
8.
有理数的除法
9.
有理数的乘方
10.
科学记数法
11.
有理数的混和运算
12.
用计算器进行运算
正整数
(
如
:
1
,
2
,
3
)
整数
零
(
0
)
负整数
(
如
:
1
,
2
,
3
)
<
/p>
有理数<
/p>
1
1
正分数
(
如
:
,
,
5
.
3
,
3
.
8
)
2
3
1
1
分数
负分数
(
如
:
,
,
2
.
3
,
4
.
8
)
< br>
2
3
※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
※任何一个有理数，
都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，
不能说数轴上所有的点都表示有理数）
※如果两个数只有符号不同，
那么我们称其中一个数为另一
个数
的相反数，也称这两个数互为相反数。（
0
的相反数是
0
）
※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原
点的距离相
等。
¤数轴上两点表示的数，
右边的
总比左边的大。
正数在原点的右
边，负数在原点的左边。
※绝对值的定义：
一个数
< br>a
的绝对值就是数轴上表示数
a
的点与
原点的距离。数
a
的绝对值记作
。
※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；
0
的绝对值
是
0
。
a
(
a
0
)
a
(
< br>a
0
)
|
a
|
0
(
a
0
)
或
|
a<
/p>
|
<
/p>
a
(
a
0
)
a
(
a
0
)
越来越大
-
-
-
0
1
2
3
※绝对值的性质：除
0
外，绝对值为一正数的数有两个，它们互
为相反数；
互为相反数的两数（除<
/p>
0
外）的绝对值相等；
任何数的绝对值总是非负数，即≥0
※比较两个负数的大小，
绝对值大的反而小。
比较两个负数的大
小的步骤如下：
①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
※绝对值的性质：
①对任何有理数<
/p>
a
，都有≥0
.
②若
0
，则
0
，反之亦然
.
③若，则±b
.
④对任何有理数
a,
都有
※有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同符号，并把绝对
值相加。②异号两数相加，绝对
值相等时和为
0
；绝对值不等时
取绝对
值较大的数的符号，
并用较大数的绝对值减去较小数的绝
对值。
③一个数同
0
相加，仍得这个数。
※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相
反的两个
数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分
母相同的数，可以先相加；④几个
数相加能得到整数，可以先相
加。
※有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
¤有理数减法运算时注意两“变”：
①改变运算符号；
②改变减
数的性质符号（变为相反数）
有理数减法运算时注意一个“不变”：
被减数与减数的位置不
能变换，也就是说，减法没有交换律。
¤有理数的加减法混合运算的步骤：
①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由
有理数的减法法则转化为
加法，然后再省略加号和括号；②
利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。
（注意：
减去一个数等于加上这个数的相反数
，
当有减法统一成
加法时，减数应变成它本身的相反数。）
※有理数乘法法则：
< br>①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对
值相乘。②任何数与
0
相乘，积仍为
0
。
※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为
1
。（如：
-2
与
1<
/p>
、
2
3
5
与
…等）
5
3
※乘法的交换
律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；
②求出各因数的绝对值的积。
¤乘积
为
1
的两个有理数互为倒数。注意：
①零没有倒数。
②求分数的倒数，
就是
把分数的分子分母颠倒位
置。一个带分数要先化成假分数。③正数的倒数是正数，负数的
倒数是负数。
※有理数除法法则：
①两个有理数相
除，同号得正，异号得负，
并把绝对值相除。
②0
除以任何非
0
的数都得<
/p>
0
。
0
不可作为
除数，否则无意义。
个
a
n
※有理数的乘方
a
a
a
a
a
n
指
幂
< br>
底
※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如
5=5
；
②当底数是负数或分数时，
要先用括号将
底数括上，
再在右上角
写指数。
※乘方的运算性质：
①正数的任何次
幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，
负数的偶
次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；④1
的任何次幂都得
1
，
< br>0
的
任何次幂都得
0
；
⑤
-1
的偶次幂得
1
；
-1
的奇次幂得
-1
；⑥在运算过程中，首先
要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
※有理数混合运算法则
:
①先算乘方
,
再算乘除
,
最后算加减②如
果有括号
,
先算括号里面的
.
1
第三章
整式及其加减（）
1
字母表示数
2
代数式
3
整式
4
整式的加减
5
探索与表达规律
※代数式的概念：
用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数
的字母连接而成的
式子叫做代数式
。单独的一个数或一个字母
．．．
也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以
有括号；
②代数式中不含有“=、
>
、
<
、≠”等符号。等式和不等
式都不是代数式，
但等号和不等号两边的式子一般都是
代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意
义，是实际问题的要符合
实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如；
< br>②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如
4a
；<
/p>
③带分数与字母相乘时，
应先把带分数
化成假分数后与字母
1
相乘，如
2
a
应写作
3
7
a
；
3
④数字与数字相乘，
一般仍用“×”号，
即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除
法运算时，一般按照分数的写法来写，
如
4÷（
4
）应写作
的双重作用。
<
/p>
⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必
须把代
数式括起来，
再将单位名称写在式子的后面，
如
(
a
2
b
2
)
平方米
※代数式的系数：
代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数
。
如
3x,4y
的
．．．．．．
系数分别为
3
，
4
。
注意
：①单个字母的系数是
1
，如
a
的系数是
1
；
②只含字母因数的代数式的系数是
1
或
-1
，
如的系数是
-1
。
a
b
的
系数是
1
※代数式的项：
代数式
6
x
2
2
x
7
表示
6x
、
-2x
、
-7
的和，
6x
、
-2x
、
-7
是它的
项，其中把不含字母的项叫做常数项<
/p>
注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。
※同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：
①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：
a.
所含字母
相同；
b.
相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；
②同类项与系数无关，
与字母的排列顺序无关；
③几
个常数项也
2
2
3
4
；注意：分数线具有“÷”号和括号
a
< br>
4
是同类项。
※合差同类项：
把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；
②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系
数，字母和字母的
指数不变。
注意：
①如果两个同类项的系数互为
相反数，合并同类项后结果为
0
；
<
/p>
②不是同类项的不能合并，
不能合并的项，
在每步运算中都要写
上；
③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。
※根据去括号法则去括号：
括号前面
是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里
各项都不改变符号；括号前面是“
－”号去掉，括号里各项都
改变符号。
※根据分配律去括号：
括号前面是“
+”号看成
+1
，括号前面是“－”号看成
-1
，根
据乘法的分配律用
+1<
/p>
或
-1
去乘括号里的每一项以达到去括号
的目的。
※注意：
①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号；
③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。
第四章
基本平面图形（）
1.
线段、射线、直线
2.
比较线段的长短
3.
角
4.
角的比较
5.
多边形和圆的初步认识
一
.
线段、射线、直线
※
1.
正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：
名称
图形
直线
射线
线段
O
l<
/p>
A
B
表示方法
直线
(
或
)
直
线
l
l
B
端点
无端
长度
无法度量
点
1
个
2
个
度
无法度量
可度量长
M
射线
线段
(
或
)
A
线段
l
※
2.
直线公理
:
经过两点有且只有一条直线
.
二
.
比较线段的长短
< br>
※
1.
线段公理
:
两点间线段最短
;
两之
间线段的长度叫做这两点
之间的距离
.
※
2.
比较线段长短的两种方法
:
①圆规截取比较法
;
②刻度尺度量比较法
.
※
3.
用刻度尺可以画出线段的中点
,
线段的和、差
、倍、分
;
用圆规可以画出线段的和、差、倍
.
三
.
角
※
1.
角
:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
;
这个公共端点叫做角的顶点
;
这
两条射线叫做角的边
.
A
※
2.
角的表示法：角的符号为“∠”
B
图
1
O
b
①用三个字母表示，如图
1
所示∠
②用一个字母表示，如图
2
所示∠b
③用一个数字表示，如图
3
所示∠1
④用希腊字母表
示，如图
4
所示∠β
※经过两点有且只有一条直线。
※两点之间的所有连线中，线段最短。
※两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
。
．．．．．．．．
1º=60’
1’=60”
图
5
终边
1
图
3
β
图
4
图
2
始边
※角也可以看成是由一条射线绕
着它的端点旋转而成的。如图
5
所示：
※一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，
<
/p>
所成的角叫做平角
。如图
6
所示：
．．
平
图
6
※终边继续旋转，当它又和始边重合时，
所成的角叫做周角
。如图
7
所示：
图
7
．．
周角
※从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的
角
，这条射线叫做这个角的平分线
。
．
．．．．
※经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
※如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平
行。
※互相垂直的两条直线的交点叫做垂足
。
．．
※平面内，过一点有
且只有一条直线与已知直线垂直。
C
作直线的垂线，垂足为
O
点，线段的长度
※如图
8
所示，过点
C
叫做点
到直线的距离
。
O
．
C
．<
/p>
．．．．．．
B
A
图
8
第五章
一元一次方程（）
1.
认识一元一次方程
2.
求解一元一次方程
3.
应用一元一次方程——水箱变高了
4.
应用一元一次方程——打折销售
5.
应用一元一次方程——“希望工程”义演
< br>
6.
应用一元一次方程——追赶小明
※在一个方程中，只含有一个未知数
x
（元），并且未知数的指
数是
1
（次）
,
这样的方程叫做一元一次方程
。
．．．．．．
※等式两边同时加上
(
或减去
)
同一个代
数式，所得结果仍是等
式。
※等式两
边同时乘同一个数（或除以同一个不为
0
的数），所得
结果仍是等式。
※解方程的步骤：解一元一次
方程，一般要通过去分母、去括
号、移项、合并同类项、未知数的系数化为
1
等几个步骤，把
一个一元一次方程“转化”成的形
式。
第六章
数据的收集与整理（）
1.
数据的收集
2.
普查和抽样调查
3.
数据的表示
4.
统计图的选择
< br>一
.
数据的收集
※
1.
所要考察的对象的全体叫做总体
;
把组成总体的每一个考察对象叫做个体
;
从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本
.
二
.
普查和抽样调查
※
2.
为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查
;
为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查
.
※
1.
抽样调查的特点
:
调查的范围小、节
省时间和人力物力优
点
.
但不如普查得
到的调查结果精确
,
它得到的只是估计
值
.
而估计值是否接近实际情况还取
决于样本选得是否有代表
性
.
※科学记数法：一般地，一个大于
10
的数可
以表示成
a×10
的
形式，其中
1≤a<10，
n
是正整数，这种记数方法叫
做科学记数
．．．．
法
。
．
四
.
< br>统计图的选择
※统计图的特点：
折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况。
条形统计图：
能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小
关系。
扇形统计图：
能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各
部分之间的大小关系
统计图对统计的作用：
（
1
）可以清晰有效地表达数据。
（
2
）可以对数据进行分析。
（
3
）可以获得许多
的信息。
（
4
）可以帮助人们作出合理的决策。
七年级下册
第一章
整式的乘除
n
1
同底数幂的乘法
2
幂的乘方与积的乘方
3
同底数幂的除法
4
整式的乘法
5
平方差公式
6
完全平方公式
7
整式的除法
一
.
同底数幂的乘法
m
< br>n
m
n
※同底数幂的乘法法则
:
a
a
a
(
都是正数
)
是幂的运算中最
基本的法则
,
在应用法则运算时
,
要注意以下几点
:
< br>①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数
a
< br>可以是一个具体的数字式字母，
也可以是一个单项或多项式；
②
指数是
1
时，不要误以为没有指
数；③不要将同底数幂的乘法与
整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相
加；而
对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个
< br>m
n
p
m
n
p
或
三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为
a
< br>a
a
a
（其
m
n
m
n
中
m<
/p>
、
n
、
p
均为正数）；⑤公式还可以逆用：
a
a
a
（
m
、
n
均为正整数）。<
/p>
二．幂的乘方与积的乘方
m
n
mn
(
a
)
a
< br>※
1.
幂的乘方法则：
(
都是正数
)
是幂的乘法法则为基
础推导出来的
,
但两者不能混淆
< br>.
m
n
n
m
mn
(
a
)
(
a<
/p>
)
a
(
m
,
n
都为正数
)
.
※
2.
※
3.
底数有负号时
,
运算时要注意
,
底数是
a
与
()
时不是同
底，
但
可以利用乘方法则化成同底，
3
3
如将（）
化成
a
n
(
当
n
为偶数
时
),
一般地
,
(
a
)
n
a
(
当
n
为奇数时
).
n
※
4
．底数有时形式不同，但可以化成相同
。
n
n
※<
/p>
5
．
要注意区别
（）
与
（）
意义是不同的，
不要误以为
（）
（
a
、
b
均不为零）。
※
6
．积的乘方法则：积的乘方，等于
把积每一个因式分别乘方，
n
n
n
(
ab
)
a
b
（
n
为正整数）。
再把所得的幂相乘，即
※
7
．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三
.
同底数幂的除法
※
1.
同底数幂的除法法则
:
同底数幂相除
,
底数
不变
,
指数相减
,
m
n
m
n
即
a
a<
/p>
a
(a
≠<
/p>
0
、
n
都是正数
,
且
m>n).
※
2.
在应用时需要注意以下几点
:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且
0
不能做除数
,
所以法则中
a
≠
0.
0
a
②任何不等于
0
的数
的
0
次幂等于
1,
即
1
(
a
0
)
,<
/p>
如
10
0
1
,(-2.5
0
=1),
则
0
0
无意义
.
③任何不等于
0
的数的次幂
(p
是正整
数
),
等于这个数的
p
的次幂
的倒数
,
即
a
p
的
,
如
2
2
1
a
p
(
a
≠
0
是正整数
),
而
0
,0
都是无意义的
;
-1
-3
当
a>0
时的值一定是正的
;
当
a<0
时的值可能是正也可
能是负
1
1
3
,
<
/p>
2
④运算要注意运算顺序
.
4
8
四
.
整式的乘法
※
1.
单项式乘法法则
:
单项式相乘
,
把它们的系
数、相同字母分
别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数
作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
< br>①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这
时容易出现的错误
的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
< br>③只在一个单项式里含有的字母，
要连同它的指数作为积的一个
< br>因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※
2
．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，
是通过乘法对加法的分配律，
把它转化为单
项式乘以单项式，
即单项式与多项式相
乘，
就是用单项式去乘多
项式的每一项，再把所得的积相加。<
/p>
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，
积是一个多项式，
其项数与多项式
的项
数相同；
②运算时要注意积的符
号，多项式的每一项都包括它前面的符
号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
※
3
．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，
先用一个多项式中的每一项乘以另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，
检查的方法是：
在没有
合并
同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是
1
的两个一次二项式相
乘
x
a<
/p>
x
b
x
2
a
b
x
< br>ab
，其二次项系数为
1
，一次
项系数等于
两个因式中常数项的和，
常数项是两个因式中常数项
的积。
对于
一次项系数不为
1
的两个一次二项式
mx
a
和
nx
b
<
/p>
相乘可以得
到
mx
a
nx
b
mnx
2
ma
mb
x
ab
五．平方差公式
¤
< br>1
．平方差公式
:
两数和与这两
数差的积
,
等于它们的平方差
,,
即
a
b
a
b
a
2
b
2
.
¤其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，
两个二项式中第一项相同，
第二
项互为相反数；
②公
式右边是两项的平方差，
即相同项的平方与相反项的平方之
差。
六．完全平方公式
¤
1.
完全平方公式：
两数和
（
或差）
的平方，
等于它们的平方和，
加
上（或减去）它们的积的
2
倍，
¤即
a
b
2
a
2
2
ab
b
2
< br>；
¤口决：首平方，尾平方，
2
倍乘积在中央；
¤
2
．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②
公式右边共有三项，
是二项式中二项的平方和，
再加上或减去<
/p>
这两项乘积的
2
倍。
¤
3
．在运用完全平方公式时，
要注意公式右边中间项的符号，
以及避免出现
a
b
2
a
2
b
2
这样的错误。
< br>
七．整式的除法
¤
1
．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，
对于只在被除式里含有的字
母，
则连同它的指数作为商的一
个因式；
¤
2
．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，
再把所得的商相加，
其特点是把多项式除以单项式转化成单
项式除以单项式，
所得商的项数与原多项式的项数相同，
另
外还要特别注意符号。
第二章
相交线与平行线
一
.
两条直线的位置关系
二
.
探索直线平行的条件
三
.
平行线的性质
四
.
用尺规作角
一
.
两条直线的位置关系
1
、余角
；
如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，
简称为互余。
2
、补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补
角，
简称为互补。
3
、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的
补角相等。
4
、余角和补角的性质用数学语言可表示为
：
（
1
）<
/p>
1
2
90
0
(180
0
),
1
3
90
0
(180
0
),
则
2
3
(
同角的余角
（或
补角）
相等
)
。
（
2
）
1
2
90
0
(180
0
),
3
4
90
0
(180
0
),
且
1
4,
则
2
3
(
等角的
余角（或补角）相等
)
。
5
、<
/p>
对顶角：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
这两个角叫做对顶角。
6
、对顶角的性质：对顶角相等。
<
/p>
7
、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不<
/p>
一定是对顶角。
8
、垂直：
直线，互相垂直，记作“⊥”（或“⊥”
)
，读作“垂
直于”（或“垂直于”）。
9
、垂线的性质：
< br>性质
1
：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直。
性质
2
：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线
段最短。简称：垂线段最短。
10
、点到直线的距离：
< br>点到直线的垂线段的长度
11
、同一平面内，两条直线的位置关系
：相交（垂直）或平行。
12
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。
同位角：
两个角都在两条直线的同侧，
并且在第三条直线
（截
线）
的同旁，这样的一对角叫做同位角。
内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，这样的一对
角叫做内错角。
同旁内角：
两个角都
在两条直线之间，
并且在第三条直线
（截线）
< br>的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
12
、平行线：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
注意：
（
1
）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（
2
）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射
线所在的直
线平行。
13
、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线
平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行。
补充平行线的判定方法：
（
1
）平行于同一条直线的两直线平行。
（
2
）在同一平面内，垂直于同一条直线的两
直线平行。
（
3
）平行线的定义。
二．探索直线平行的条件
※两条直线
互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，
共
有三条：<
/p>
①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同
旁内角互补，两直线平行。
三．平行线的特征
※平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两
直线平行，
同旁内角互补。
四．用尺规作线段和角
※
1
．关于尺规作图
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。
※
2
．关于尺规的功能
直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。
圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；
以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。
第三章
三角形
1
认识三角形
2
图形的全等
3
探索三角形全等的条件
4
用尺规作三角形
5
利用三角形全等测距离
一．认识三角形
1
．关于三角形的概念及其按角的分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做
三
角形。
这里要注意两点：
①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；
如果在同一直
线上，三角形就不存在；
②三条线段“首尾是
顺次相接”，
是指三条线段两两之间有一个
公共端点，这个公共
端点就是三角形的顶点。
三角形按内角的大小可以分为三类：
锐角三角形、直角三角形、
钝角三角形。
2
．关于三角形三条边的关系
根据公理“连结两点的线中，
线段最短”可得三角形三边关系的
一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三
边。
对于这两个性质，
要全面理解，
< br>掌握其实质，
应用时才不会出错。
设三角形三边的长分别为
a
、
b<
/p>
、
c
则：
①一般地，对于三角形的某一条边
a
来说，
一定有＜
a
＜成立；反
之，只有＜
a
＜成立，
a
、<
/p>
b
、
c
三条线段
才能构成三角形；
②特殊地，如果已知线段
< br>a
最大，只要满足＞
a
，那么<
/p>
a
、
b
、
c
三
条线段就能构成三角形；如果已知线段<
/p>
a
最小，只要满足＜
a
< br>，那
么这三条线段就能构成三角形。
3
．关于三角形的内角和
三角形三个内角的和为
180
°
< br>
①直角三角形的两个锐角互余；
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
4
．关于三角形的中线、高和中线
<
/p>
①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射
线
；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
<
/p>
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内
部。
但三角形的高却有不同的位置：
锐角三角形的三条高都在三
角形的内部，如图
1
；直角三角形有一条高
在三角形的内部，另
两条高恰好是它两条边，如图
2
；钝角三角形一条高在三角形的
内部，另两条高在三角形的外部，如图
3
。
④一个三角
形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，
三条高所在的直线交于一点。
A
F
E
C
B
F
A
C
B
D
锐角三角形
C
A
D
直角三角形
B
E
钝角三角形
D
<
/p>
二
.
全等三角形
鹏翔教图
1
图形全等：
能够完全重合的图形称为全等图形。
全等图形的形状
和
大小都相同。
只是形状相同而大小不同，
或者说只是满足面积<
/p>
相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形
< br>¤
1
．关于全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫
做对应点，
互相重合的边叫做对应边，
互相重合的角叫做对应角
所谓“完全重合”，就是各条边对应
相等，各个角也对应相等。
因此也可以这样说，
各条边对应相等
，
各个角也对应相等的两个
三角形叫做全等三角形。
※
2
．全等三角形的对
应边相等，对应角相等。
¤
3
．全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相
等。
三．探三角形全等的条件
※
1
．
三边对应相等的两个三
角形全等，
简写为“边边边”或“”
※
2
．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成
“边角边”或“”
※
3
．
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，<
/p>
简写成“角
边角”或“”
※
4
．两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角
形全等，简
写成“角角边”或“”
四．用尺规作三角形
1
．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件
“角边角”即（
“”）来作图的。
2
．已知两条边及
其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件
“边角边”即（“”）来作图的。
3
．
已知三条边，<
/p>
求作三角形，
是利用三角形全等条件“边边边”
< br>即（“”）来作图的。
五
.
利用三角形全等测距离
(
补充
)
探索直三角形全
等的条件
※
1
．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称
为“斜边、直角边”或“”
。这只对直角三角形成立。
※
2
．
直角三角形是三角形中的一类，
它具有一
般三角形的性质，
因而也可用“”、“”、“”、“”来判定。
直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：
①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的两个直角三角形全等。
第四章
变量之间的关系
1
用表格表示的变量间关系
2
用关系式表示的变量间关系
3
用图象表示的变量间关系
1
、表示变量间的关系的方法（
1
）表格（
2
）关系式（
3
）图
象
2
、变量、自变量、因变量
在某一变化过程中，
不断变化的量叫做变量。
如
果一个变量
y
随
另一个变量
x
的变化而变化，
则把
x
叫做自变量，
y
叫做因变量。
3
、自变量与因变量的确定：
（
1
）自变量是先发生变化的量；因变量是后
发生变化的量。
（
2
）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化
而发生变化的量。<
/p>
（
3
）常量（
不发生变化的量）
（
4
）在一个变化的关系式中只有一个自变量和一个因变量，且
因变量需要写在等
号左边。
4
、图像法。用图象表示变
量之间的关系时，通常用水平方向的
数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的
数轴（又称
纵轴）上的点表示因变量。
5
、速度图象
1
、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是
横轴）表示时间；
2
、准确读懂不
同走向的线所表示的意义：
（
1
）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（
2
）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，
其代表匀速行驶
或静止；
（
3
）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
6
、路程图象
1
、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是
横轴）表示时间；
2
、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（
< br>1
）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点
（或已知定点）；
（
2
）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（
3
）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反
向运动返回
起点（或已知定点）。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法
特
点
表格法
多个变量可以同时出现在同一张表
格中
关系式法
准确地反映了因变量与自变
量的数
值关系
图象法
直观、
形象地给出了因变量随自变量
的变化趋势
第五章
生活中的轴对称
1.
轴对称现象
2.
探索轴对称的性质
3.
简单的轴对称图形
4.
利用轴对称进行设计
※
1
．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁
的部分能够互
相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
※
2
．角是对称图形，
角平分线所在直线是它的对称轴，角平分
线上的点到角两边距离相等。
< br>
※
3
．线段垂直平分线
(
中垂线
)
上的任意
一点到线段两个端点的
距离相等。
※
4
．角、线段和等腰三角形是轴对称图形。
※
5
．等腰三角形两底角相等（
等边对等角），有两个角相等，
那么他们所对应的边也相等（等角对等边）
※
6
．等腰三角形的顶角
平分线、底边上的高、底边上的中线互
相重合，简称为“三线合一”。
< br>
※
7
．轴对称图形上对应点所
连的线段被对称轴垂直平分。
※
8<
/p>
．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
第六章
概率初步
1
感受可能性
2
频率的稳定性
3
等可能事件的概率
¤
1.
随机事件发生与不发生的可能性不总是各占一半，
都为
50%
。
※
2.
现实生活中存在着大量的不确定事件，
而概率正是研究不确
定事件的一门学科。
※
3.
了解必然事件和不可能事件发生的概率。<
/p>
必然事件发生的概率为
1
，即
P
（必然事件）
=1<
/p>
；不可能事件发
生的概率为
0
，即
P
（不可能事件）
=
0
；如果
A
为不确定事件，
那么
<
br>
0
0
不可能发生
1
2
1
必
然
发生
※
4.
了解几何概率这类问题
的计算方法
事件所有可能结果所组
成
的图形面积
事件发生概率
=
所有可能结果所组成的
图形面积
八年级上
第一章
勾股定理
1.
探索勾股定理
2.
一定是直角三角形吗
3.
勾股定理的应用
※直角三角形两直角
边的平和等于斜边的平方。即：
a
如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足
a
直角三角形。
满足条件
a
2<
/p>
2
2
b
2
c
2
。
b
2
c
2
，那么这个三角形是
b
2
c
2
的三个正整数
，
称为勾股数。
常见的勾股数组
有：（
3
，
4
，
5
）；（
681
（
5
，
12
，<
/p>
13
）；（
8
，
15
，
17
）
；（
7
，
24
，
25
）；（
20
，
21
，
29
）；（
9
，
40
< br>，
41
）；……（这些勾股
数组
的倍数仍是勾股数）
1.
认识无理数
2.
平方根
3.
立方根
4.
估算
5.
用计算器开方
6.
实数
7.
二次根式
第二章
实数
※算
术平
2
方根：一般地，如果一个正数
x
的平方等于
a
，即
x
，
那么正数
x
叫做
a
的算术平方根，
记作
a
。
0
的算术平
方根为
0
；从定义可知，只有当
a
≥
0
时才有算术平方
根。
2
※平方根
：一般地，如果一个数
x
的平方根等于
a
，即
x
，那么数
x
就叫做
a
的平方根。
※正数有两个平方根（一正一负）；
0
只有一个平方根，就是它
本身；负数没有平方根
.
※正数的立方根是正数；
0
的立方根是
0
；负数的立方根是负数。
a
b
ab
a
0
,
b
< br>
0
a
a
(
a
0
,
b
0
)
b
b
第三章
位置与坐标
1.
确定位置
2.
平面直角坐标系
3.
轴对称与坐标变化
※平面直角坐标系
概念：
在平面内，
两条互相垂直且有公共原点
< br>的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫
x
轴或横轴；
铅垂的
数轴叫
y
轴或纵轴，两数轴的交
点
O
称为原点。
※点的坐标：在平面内一点
P
，过
P
向
x
轴、
y
轴分别作垂线，垂足
在
x
轴、
y
轴上对应的数
a
、
b
分别叫
P
点的横坐标和纵
坐标，则有序实数对（
a<
/p>
、
b
）叫做
P<
/p>
点的坐标。
※在直角坐标系中如何根据
点的坐标，
找出这个点
（如图
4
所示）
，
方法是由
P
（
a
、
b
），在
x
轴上找到坐标为
< br>a
的点
A
，过
< br>A
作
x
轴的
垂线，再在
y
轴上找到坐标为
b<
/p>
的点
B
，过
B<
/p>
作
y
轴的垂线，两垂
线的交点即为所找的
P
点。
※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，
一般地没
有明确的方法，但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原
点，
使它坐标为
（
0,0
）
；
②以图形中某线段所在
直线为
x
轴
（或
y
轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点；
⑤利用图形的轴对称性以对称轴为
y
轴等。
※图形“纵横向伸缩”的变化规律
:
A
、将图形上各个点的坐标的纵坐标
不变，而横坐标分别变成
原来的
n
倍时
，所得的图形比原来的图形在横向：①当
n>1
时，伸长为原来
的
n
倍；②当
0
时，压缩为原来的
n
倍。
B
、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成<
/p>
原来的
n
倍时，所得的图形比原来的图形
在纵向：①当
n>1
时，
伸长为原来的
n
倍；②当
0
时，压缩为原来的
n
倍。<
/p>
※图形“纵横向位置”的变化规律
:
A
、
将图形上各个点的坐标的纵坐标不
变，
而横坐标分别加上
a
，
所得的图形形状、
大小不变，
而位置向右
（
a>0
）
或向左
(a<0)
平移了个单位。
B
、
将图形上各个点的坐标的横坐标不变，
而纵坐标分别加上
b
，
所得的图形形状、
大小不变，
而位置向上
（
b>0
）
或向下
< br>(b<0)
平移了个单位。
※图形“倒转与对称”的变化规律
:
A
、
将图形上各个点的横坐标不变，纵
坐标分别乘以
-1
，所得
的图形与原来
的图形关于
x
轴对称。
B
、
将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以
-1
，所得
的图形与原来的图形关于<
/p>
y
轴对称。
※图形“扩大与缩小”的变化规律
:
将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的
n
< br>倍（
n>0
），所得
的图形与原
图形相比，形状不变；①当
n>1
时，对应线段大小
扩大到原来的
n
倍；②当
<
br>倍。
0
时，对应线段大小缩小到原来的
n
第四章
一次函数
1.
函数
2.
一次函数与正比例函数
3.
一次函数的图象
4.
一次函数的应用
若两个变量间的关系式可以表示成
(k
≠
0)
的形式
,
则称
y
是
x
的一
次函数
(x
为自变量为因变量
< br>)
。
特别地
,
< br>当
0
时
,
称
y
是
x
的
正比例函
数。
b
.
0
k
0
<
/p>
b
0
b
0
1
2
3
※正比例函数的图象是经过原点
(0,0)
的一条直线。
※在一次函数中
:
当
k>0
时随
x
的增大而增大
;
当
k<0
时随
x
的
增大
而减小。
第五章
二元一次方程组
1.
认识二元一次方程组
2.
求解二元一次方程组
3.
应用二元一次方程组——鸡兔同笼
4.
应用二元一次方程组——增收节支
5.
应用二元一次方程组——里程碑上的数
6.
二元一次方程与一次函数
7.
用二元一次方程组确定一次函数表达式
*8.
三元一次方程组
※含有两个未知数
,
并且所含未知数的项的次数都
是
1
的方程叫
做二元一次方程。
两个一次方程所组成的一组方程叫做二元
一
次方程组。
※解二元一次方程组：①代入消元法；
②加减消元法
（无论是代入消元法
还是加
减消元法，其目的都是将“二元一次
方程”变为“一元一
次方程”，所谓
之“消元”）
※在利
用方程来解应用题时，
主要分为两个步骤：
①设未知数
（在
设未知数时，大多数情况只要设问题为
x<
/p>
或
y
；但也有时也须根
< br>据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）
；
②寻找等量关
系
（一
般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此
句话
即可根据其列出方程）。
※
处
理
问
题
的
过
程
可
以
进
一
步
< br>概
括
为
：
问题
分析
求解
方程
(
组
)
解答
抽象
检验
b
.
0
k<
/p>
0
b
0
b
0
1
2
3
第六章
数据的分析
1.
平均数
2.
中位数与众数
3.
从统计图分析数据的集中趋势
4.
数据的离散程度
1
、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数
、众数、
中位数
2
、平均数
（
1
）平均数：一般地，对于
n
个数
x
1
,
x
2
,
x
n
我们把
叫做这
n
个数的算术平均数，简称平均数，记为
x
。<
/p>
（
2
）加权平均数：
3
、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4
、中位数
一般地，
将一组数据按大小顺序排列
，
处于最中间位置的一个数
据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数。
※加权平均
数：一组数据
x
1
,
< br>x
2
,
x
1
w
1
x
2
w
2
x
n
w
n
w
1
w
2
< br>
w
n
x
n
的权分加为
w
< br>1
,
w
2
,
w
n
，
则称
为这
n
个数的加权平均数。
（如：对某同学
的数学、语文、科学三科的
考查，成绩分别为
72
，
50
，
88
，而
三
项
成
绩
的
“
权
”
分
< br>别
为
4
、
3
、
1
，
则
加
权
平
均
数
为
：
72
4
50
3
88
1
4
3
1
）
※一般地，
n
个数据按大小顺序
排列，处于最中间位置的一个数
据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数
。
※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
※众数着眼于对各数据出现次数的考察，
中位数首先要将数据按
大小顺序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个
数
据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据
的平均数才是中位数，特别要
注意一组数据的平均数和中位数
是唯一的，但众数则不一定是唯一的。
< br>
第七章
平行线的证明
1.
为什么要证明
2.
定义与命题
3.
平行线的判定
4.
平行线的性质
5.
三角形内角和定理
一、命题
:
判断一件事情的句子。
如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断，
那么它就
不是命题。
每个命题都由
条件和结论两部分组成。
条件是已知
的事项，
结论是由已知事项推论出的事项。
命题通常可以写成
“
如
果。。。。。那么。。。。”的形式，其中“如果”引出的部分
是条件，“那么”引出的部分是结论。
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
公认的真命题称为真理。
演绎推理的
过程称为
证明，经历证明的真命题称为定理。
二、平行线的判定
1
、
平行线的判定公理
（
1
）．两
直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行．
（
2
）．两条平行线被第三条直线所截
，同位角相等．
注意：
证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角
.
2
、
平行线的性质．
定理：两直线平行，同位角相等
.
定理：两直线平行，内错
角相等
.
定理：两直线平行，同旁内角互补
定理：平行于同一条直线的两条直线平行
三、三角形的内角和定理
1
、三角形内角和定理：三角形内角和等于
18
0
º
2
、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3
、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
八年级下
第一章
三角形的证明
1.
等腰三角形
2.
直角三角形
3.
线段的垂直平分线
4.
角平分线
一
.
等腰三角形
等腰三角形两底角的角平分线相等
※
等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，
作一条
等边三角形的三线合
一线，将等边三角形分成两个全等的
直角三角形，其中一个锐角等于
30
º，这
它所对的直角边必然
等于斜边的一半。
※有一个角等于
60
º的等腰三角形是等边三角形。
二
.
直角三角形
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理：
a
2
b
2
c<
/p>
2
（注意区分斜边与直角边）
②在直角三角形中，如有一个内角等于
30
º，
那么它所对的直
角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半
（此定理将<
/p>
在第三章出现）
在两个命题中，
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题
的结论和条件，
那么这两个命题称为互逆命题，
其中一个命题是
另一个命题的逆命题
一个命题是真
命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一
个定理的逆命题是真命题，
那么他也是一个定理，
这两个定理称
为互为定理，其中
一个定理是另一个定理的逆定理
三
.
线段的垂直平分线
※垂直平分线
是垂直于一条线段
并且平分这条线段的直线
。
（注
．．．．．
．．
．．
意着重号的意义）
<<
/p>
直线与射线有垂线，但无垂直平分线
>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
<
/p>
※线段垂直平分线逆定理：
到一条线段两端点距离相等的点，
在
这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点，
并且这个点到三个顶点
A
A
的距离相等。（如图
1
所示，）
D
F
O
O
C
B
图
1
B
E
图
2
C
四
.
角平分线
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：
在角内部的，
如果一点到角两边的距离
相等，
则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，
并且交点到三边距离相等，
交
点即为三角形的内心。
(
如图
2
所示，
)
第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
1.
不等关系
2.
不等式的基本性质
3.
不等式的解集
4.
一元一次不等式
5.
一元一次不等式与一次函数
6.
一元一次不等式组
一
.
不等关系
※
1.
一般地
,
用符号“
<
”
(
或“≤”
),
“
>
”
(
或“≥”
)
连接的
式子叫做不等式
.
¤
2.
要区别方程与不等式
:
方程表示的是
相等的关系
;
不等式
表示的是不相等的
关系
.
※
3.
准确“翻译”不等式
,
正确理解“非负数”、“不小于”等
数学术语
.
非负数
<>
大于等于
0(
≥
0) <> 0
和正数
<>
不小于
0
非正数
<>
小于等于
0(
≤
0) <>
0
和负数
<>
不大于
0
二
.
不等式的基本性质
※
1.
掌握不等式的基本性质
,
并会灵活运用
:
(1)
不等式的两边加上
(
或减去
)
同一个整式
,
不等号的方向不
变
,
< br>即
:
如果
a>b,
那么
>, >.
(2)
不等式的两边都乘以
(
或除以
)
同一个正数
,
不等号的方向
不变
,
即
如果
a>b,
并且
c>0,
那么
>,
.
(3)
不等式的两边都乘以
(
或除以
)
同一个负数
,
不等号
的方向
改变
,
即
:
如果
a>b,
< br>并且
c<0,
那么
<,
※
2.
比较大小
:(a
、
b
分别表示两个实数或整式
)
<
/p>
a
c
b
c
a
c
b
c
一般地
:
如果
a>b,<
/p>
那么是正数
;
反过来
,
如果是正数
,
那么
a>b;
如果
,
那么等于
0;
反过来
,
如果等于
0,
那么
;
如果
<
br>四
a
那么是负数
;
反过来
,
如果是正数
,
那么
a
即
>b <> >0
<> 0 a <0
(
由此可见
,
要比较两个实数的大小
,<
/p>
只要考察它们的差就可以
了
.
三
.
不等式的解集
※
1.
能使不等
式成立的未知数的值
,
叫做不等式的解
;
一个不等
式的所有解
,
组成这个不等式的解集
;
求不等式的解集的过程
,
叫
做解不等式
.
※
2.
不等
式的解可以有无数多个
,
一般是在某个范围内的所有数
,
与方程的解不同
.
¤
3.
不等式的解集在数轴上的表示<
/p>
:
用数轴表示不等式的解集时
,
要确定边界和方向
:
①边界
:
有
等号的是实心圆圈
,
无等号的是空心圆圈
;
②方向
:
大向右
,
小向左
.
一元一次不等式
※
1.
只含有一个未知数
,
且含未知数的式子是整式
,
未知数
的次
数是
1.
像这样的不等式叫做一元一次不等式
.
※
2.
解一元一次不等式的过程与解一
元一次方程类似
,
特别要注
意
,
当不等式两边都乘以一个负数时
,
不等号要改变方向
.
※
3.
解一元一次不等式的步骤
:
①去分母
;
②去括号
;
③移项
;
④合并同类项
;
< br>⑤系数化为
1(
不等号的改变问题
)
※
4.
一元一次不等式基本情形为
>b(
或
<
b)
①当
a>0
时
,
解为
x
b
;
②当
0
时
,
且
b<
0,
则
x
取一切实
a
数
;
当
0
时
,
且<
/p>
b
≥
0,
则无解
;
③当
a<0
时
,
解为
x
b
;
a<
/p>
¤
5.
不等式应用的探索
(
利用不等式解决实际问题
)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似
,
即
:
①审
:
认真审题
,
找出题中的不等关系
,
要抓住题
中的关
键字眼
,
如“大于”、“小于”
、“不大于”、“不
小于”等含义
;
②设
:
设出适当的未知数
;
③列
:
根据题中的不
等关系
,
列
出不等式
< br>;
④解
:
< br>解出所列的不等式的解集
;
⑤答
:
写出答案
,
并检验
答案是否符合题意
.
五
.
一元一次不等式与一次函数
六
.
一元一次不等式组
※
1.
定义
:
由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成
的不等式组<
/p>
,
叫做一元一次不等式组
.
※
2.
一元一次不等式组
中各个不等式解集的公共部分叫做不等
式组的解集
.
如果这些不等式的解集无公共部分
,
就说这个
不等式组无解
.
几个不等式解集的公共部分
,
通常是利用数轴来确定
.
※
3.
解一元一次不等式组的步骤
:
(1)
分别求出不等式组中各个不等式的解集
;
(2)
利用数轴求出这些解集的公共部分
,
即这个不等式组的解集
.
< br>
两个一元一次不等式组的解集的四种情况
(a
、
b
为实数
,
且
a
一元一次不
解集
等式
x<
/p>
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x<
/p>
b
叙述语言
表
图示
达
x>b
x>a
行且相等。 (2) (3) <
br>2
a
b
a
b
a
b
b
两大取较大
两小取小
大小交叉中
a
间找
在大
小分离
x
a
x<
/p>
b
无解
a
b
没有解
(
是空集
)
第三章
图形的平移与旋转
1.
图形的平移
2.
图形的旋转
3.
中心对称
4.
简单的图案设计
平移：在平面内，将
一个图形沿某个方
向移动一定距离，这样的图形运动称为
平移。
平移的基本性质：
经过平移，
对应线段、
对应角分别相等；对应点所连的线段平
旋转：
在平面内，<
/p>
将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角
度，这样的图形运动
称为旋转。
这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同；
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；
对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。
（例：如图所示，点
D
、
E
、
F
分别为点
A
、
B
、
C<
/p>
的对应点，经过旋
转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转
动了相同的角
度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，
对应点到旋转中心的距离相等。）
第四章
因式分解
1.
因式分解
2.
提公因式法
3.
公式法
一
.
因式分解
※
1.
把一个多项式化成几个整式的
积的形式
,
这种变形叫做把
这个多项式
分解因式
.
※
2.
因式分解与整式乘法是互逆关系
.
因式分解与整式乘法的区别和联系
:
(1)
整式乘法是把几个整式相乘
,<
/p>
化为一个多项式
;
因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘
.
二
.
提公共因式法
※
1.
如果一个多项式的各项含有公
因式
,
那么就可以把这个公
因式提出来
,
从而将多项式化成两个因式乘积的形式
.
这种
分解因式的方法叫做提公因式法
.
如
:
ab
ac
a
(<
/p>
b
c
)
※
2.
概念内涵
:
(1)
因式分解的最后结果应当是“积”
;
(2)
公因式可能是单项式
,<
/p>
也可能是多项式
;
提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律
,
即
:
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
※
3.
易错点点评
:
(1)
注意项的符号与幂指数是否搞错
;(2)
公因式是否提
“干
净”
;<
/p>
(3)
多项式中某一项恰为公因式
,
提出后
,
括号中
这一项为
+1,
不漏掉
.
三
.
公式法
※
1.
如果把乘法公式反过来
,
就可以用来把某些多项式分解因
式
.
这种分解因式的方法叫做运用公式法
.
※
2.
主要公式
:(1)
平方差公式
:
a
2
b
(
a
b
)(
a
b
)
-