人教版初中数学九年级知识点总结
-
反比例函数
一
.
知识框架
二．知识概念
1.
反比例函数：形如
y
＝
xy=k
y
kx
1
y
k
k
（
k
为常数，
k
≠
0
）的函数称为反比例函数。其他形式
x
1
x
2.<
/p>
图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中
心对称图形。有两条对称轴：直线
y=x
和
y=-x
。对称中心是：原点
3.
性质
:
当
k
＞
0
时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内
y
值随
x
值的增大而减小；
当
k
＜
0
时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内
y
值随
x
值的增大而增
大。
4.|k|
< br>的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴
围成
的矩形的面积。
一元二次方程
二
.
知识概念
一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）
，并且未知数的最
高次数是
2
（二次）
的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于
x
的一元二次方程，
•
经
过整理，
•
都能化成如下形式
ax
2
+bx+c=0
（
a
≠
0
）
．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经
过整理化成
a
x
2
+
bx+c=0
（
a
≠
0
）后，其中
ax
2
是二次项，
a
是<
/p>
二次项系数；
bx
是一次项，
b
是一次项系数；
c
是常
数项．
本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下
，
通过解方程来解决一些实际
问题。
（
1
）运用开平方法解形如（
x+m
）
2
=n
（
n
≥
0
）的方程；领会降次──转化的数学
思想．
（
2
）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将
已知方程化为一般形式；化二次项
系数为
1
；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配
成一个完全
平方式；变形为
(x+p)2=q
的形式，如果
q
≥
0
，方程的根是
x=-p
±√
q
；
如果
q
＜
0,
方程无实根．
介绍配方法时，
首先通过实际问题引出形如
为简单的形如
说明如何
解形如
的方程。
这样的方程可以化为更
的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例
的方程。然后举例说明一元
二次方程可以化为形如
的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题
。
在例题中，涉及二次项系数不是
1
的
一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次
方程。对于没有实数根的一元二次方程，学
了“公式法”以后，学生对这个内容会
有进一步的理解。
（
3
）一元二次方程
a
x
2
+bx+c=0
（
a
≠
0
< br>）的根由方程的系数
a
、
b
、
c
而定，因此：
解一元二次方程时，
可以先将
方程化为一般形式
ax
2
+bx+c=
0
，
当
b
2<
/p>
-4ac
≥
0
时
，
b
b<
/p>
2
4
ac
•
将
a
、
b
、
c
代入式子
x=
就得到方程的根．
(
公式所出现的运算，恰
2
a
好包括
了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一
性与和谐性。
)
这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元
二次
方程的方法叫公式法．
二次函数
一．知识框架
二．
.
知识概念
1.
二次
函数：一般地，自变量
x
和因变量
y<
/p>
之间存在如下关系：一般式：
y=ax^2+bx
+c(a≠0
，
a
、
b
、
c
为常数
)
，则称
y
为
x
的二次函数。
2.
二次函数的解析式三种形式。
一般式
y=ax
2
+bx+c(
a
≠
0
)
顶点式
y
a
(
x
h
)
k
y
a
(
x
b
2
4
ac
b
)
2
a
4
a
2
2
y
O
x
交点式
y
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
3.
二次函数图像与性质：
b
b
4
ac
b
2
)
与
y
轴交点
坐标（
0
，
c
）
对称轴：
x
顶点坐标：
(
,
2
a
2
a
4
a
4.<
/p>
增减性：
当
a
>0
时，对称轴左边，
y
随
x
增大而减小；对称轴右边，
y
< br>随
x
增大而增大
当
a<0
时
，对称轴左边，
y
随
x
增大而增大；对称轴右边，
y
随
x
增大而减小
5.
二次函数图像画法：
勾画草图关键点：
○
1
开
口方向
○
2
对称轴
○
3
顶点
<
/p>
○
4
与
x
轴交点
○
5
与
y
轴交点
6.
图像平移步骤
（
1
）配方
y
a
(
x
h
)
2
k
，确定顶点（
h,k
）<
/p>
（
2
）对
x
轴
左加右减；
对
y
轴
上加下减
7.
二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为
x
1,
x
2
< br>其对应的纵坐标相等
那么对称轴
x
x
1
x
2
2
8.<
/p>
根据图像判断
a,b,c
的符号
（
1
）
a
——开口方向
（
2
）
b
——对称轴与
a
左同右异
9.
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线
y=ax
2
< br>+bx+c
与
x
轴交点的横坐标
x
1,
x
2
是一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
（
a
≠
0
）
的根。
抛物线
y=ax
2
< br>+bx+c
，当
y=0
时，抛物
线便转化为一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
b
2
4
ac
>0
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与
x
轴有两个交
点；
b
2
4
ac
=0
时，
一元二次方程有两个相等的实根，
二次函数图像与
x
轴有一个交点；
b
2
4
ac
<0
时，一元二次方程有不
等的实根，二次函数图像与
x
轴没有交点
旋转
一
.
知识框架
二．知识概念
1.
旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动
叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
（图形的旋转
是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，
其中对应点
到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的
大小相等，旋转前后图形的大
小和形状没有改变。
）
2.
旋转对称中心：
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形
，
这个定点叫做旋转对称中心，
旋转的角度叫做旋转角
（旋
转角小于
0°
，大
于
360°
）
。
3
．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转
180
度后能与自身重合，那么我们
就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转
180
度后能与另一个图形重合，那么我
们就说，这两个图形成中心对
称。
4.
中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。