(最新版)北师大版初中数学各册章节知识点总结
-
北师大版初中数学七年级
(
上册
)
各章知识点
第一章
丰富图形世界
1
、生活中常见的几何体：
2
、常见几何体的分类：
3
、平面图形折成立体图形应注意：
4
、圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面全部展开是两个
和一个
；圆锥的表面全部
展开图是一个
和一个
；正方体表面展开图是一个
和两个
；长方体的展开图
是一个大
和两个
。
5
、特殊立体图形的截面图形：
(1)
长方体、正方形的截面是：三
角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）
、
五边形
、六边形。
(2)
圆柱的截面是：长方形（正方形）
、圆
(3)
圆锥的截面是：三角形、圆。
(4)
球的截面是：圆。
6
、我们经常把从正面看到的图形叫做主视图，从左面看到的图叫做
左视图，从上面看到的
图叫做俯视图。
7
、常见立体图形的俯视图
几何体
长方体
正方体
圆锥
圆柱
球
主视图
长方形
正方形
三角形
长方形
圆
俯视图
长方形
正方形
圆（有一点）
圆
圆
左视图
长方形
正方形
三角形
长方形
圆
8
、点动成线，线动成面，面动成体。
第二章
有理数
1
、正数与负数
在以前学过的
0
以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与负数具有相反意义，
即以前学过的
0
以外的数叫做正数
（根据需要，
有时在正数前面也加
上“
+
”
）
。
2
、有理数
(1)
正整数、
0
< br>、负整数统称
，正分数和负分数统称
。
整数和分数统称
。
0
既不是
数，也不是
数。
(2)
通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
数轴三要素：原点、
、单位长度。
在直线上任取一个点表示数
0
，这个点叫做
。
(3)
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例：
2
的相反数是
；
-2
的相反数
；
0
的相反数是
。
(4)
数轴上表示数
a
的点与原点的距离叫做数
a
的绝对值
,
记作
。
一个正
数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0
的绝对值是
0
。
两
个负数，
绝对值大的反而小。
3
、有理数的加减法
(1)
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
②绝对值不相等的异号两数相加，
取
绝对值较大的加数的符号，
并用较大的绝对值减去较小
的绝对值
。
互为相反数的两个数相加和为
0<
/p>
。
③一个数
同
0
相加，仍得这个数。
(2)
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
4
、
有理数的乘除法
(1)
有理数乘法法则：两数相乘
，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同
0
相
乘，都得
0
。
(2)
乘积是
1
的两个数互为倒数。例：
-5
的倒数是
1
；绝对值是
5
；相反数是
5
。
5
(3)
有理数除法法则
1
：除以一个不等于
0
的数，等于乘这个数的倒数。
有理数除法法则
2
：两数相除，同号得正，
异号得负，并把绝对值相除。
0
除以任何一个
< br>不等于
0
的数，都得
0
。
(4)
求
n
个相同因数的积的运算，
叫乘方，
乘方的结果叫幂。
在
a
的
n
次方中，
a
叫做底数，
n
叫做指数。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
。正数的任何次幂都是正数，
0
的任何次幂都是
0
。
-1
的奇次方是
-1
；
-1
的偶次方是
1
。
第三章、字母表示数
1
、用运算符号把数和表示数的字母连接而成的字母叫做代数式。
2
、求代数式值要注意：字母的取值必须确保代
数式有意义；字母的取值要确保它本身所表
示的数量有意义。
3
、代数式的系数应包括这一项前的符号；如果代数式的某一项
只含有字母因数，它的系数
就是
1
或<
/p>
-1
，而不是
0
。
4
、同类项所含的字母相同；相同
字母的指数也相同。
注意：同类项与系数无关，与字母的排列
顺序无关；几个常数项也是同类项。
5
、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变。
6
、去括号法则：
< br>(1
）括号前是“
+
”号，把括
号和它前面的“
+
”号去掉后，原括号里的符号不变
(2)
括号前市“
< br>-
”号，把括号和它前面的“
-
”号去掉后，原括号里的“
+
”变“
-
”
，
“
-
”变
“
+
”
。
第四章
平面图形及位置关系
1
、直线、射线、线段
(1)
直线、射线、线段的区别：直线无端点：射线一个端点：线段有两个端点。
(2)
线段公理：两点的所有连线中，线段最短（两点之间，
线段最短）
。
连接两点间的线段的长度，叫做
。
(3)
线
段的比较方法：叠和法和度量法。
(4)
线段的中点：如果
M
是
AB
的中点，那么
AM=MB
；反之，如果点
M
在
线段
AB
上，并且有（
AB
＝
BM
）
，那么点
< br>M
是
AB
的中点。
例：
C
是线段
AB
的中点，可得
AC=CB=
< br>AC+CB =AB
，
BC=AB-AC
。
2
、角的度量与表示
1
AB
，或者
2AC=
2CB=AB
，
2
(1) 1
度
=60
分；
1
分
=60
；
1
周角
=360
度
；
1
平角
< br>=180
度＝
2
倍周角
(2)
角的三种表
示方法：用三个大写英文字母表示或用一个大写英文字母表示
(
如：＜
ABC
，
＜
A
；用希腊字母表示（如＜
β
）<
/p>
；用数字表示（如＜
1
，＜
2
）
3
、
角的比较与运算
< br>(1)
角按大小分可分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
(2)
角平分线把一个角分成两个相等的角，角平分线是一
条射线。
如果射线
OC
是
的角平分线，则我们可知道＜
AOC
＝
<
br>， 2
<
br>七巧板是由 。
<
br> <
br> <
br>
<
br> <
br>）合并同类项。 <
br>（
＝
1
2
＜
AOB
＝
2
＜
BOC
＝＜
AOC
，
＜
AO
C
4
、平行线
(1)
如何画平行线？
(2)
平行线的性质
1
：过
直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
平行线的性质
：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也
平行。
5
、垂直
(1)
如何画垂线？
(2)
垂线的性质
1
：过一点有且只一条直线与已知直线垂直。
垂线的
性质
2
：直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线最短。<
/p>
垂直的性质
3
：点到直线的最短距离。
6
、
有趣的七巧板：
5
个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行
四边形组成的。
第五章
一元一次方程
1
、
从算式到方程
方程是含有未知数的等式。
方程都只含有一个未知数
x
，未知数
x
的指数都是一次，这样的方程叫做一元一次方程。
就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这
个值就是方程的解。
2
、等式的性质：
(1).
等式两边加（或减）同一
个数（或式子）
，结果仍相等。
(2)
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为
0
的数，结果仍相等。
3
、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（要移就得变）
4
、
在日历牌中，一个竖列上相邻两个数相差
7
，下面的数比上面的数大
7
；一个横行上
相邻的两个数相差
1
，后面的数比前面的数大
1
5
、常用体积公式：
长方形的体积
=
长
X
宽
X
高；
正方形
的体积
=
边长
X
边长
X
边长
；
棱柱的体积
=
底面积
x
高；
圆柱的体积
=
底面积
X
高
；
圆锥的体积
=
1
×
底面积
X
高。
3<
/p>
6
、常用的相等关系：
(1)
利润
=
售价
-
成本；利润率
=
利润÷
成本（进价）
(2)
利息
=
本金
X
利率
X
时间；
本息和
=
本金
+
利息
=
本金
X
（
1+
利率
X
期数）
利息税
=
利息
X
税率
=
本金
X
利率
X
时间
X5%
；
7
、行程问题的主要类型及相等关系：
(1)
追及问题：甲乙同向不同地，则：追者走的路程
=
前者走的路程
+
两
地间的距离。
(2)
问题：甲乙相
向而行，则：甲走的路程
+
乙走的路程
=
总路程。
8
、解应用题的关键是找出关键句，建立等量关系。
第六章生活中的数据
1
、
把一个大于
10
的数表示
成
a
×
10
n
的形式
（其中
1
≤
a<10,n
为正整数）
，
就叫科学记数法。
（从一个数的左边第一个非
0
数字起，到末位数字止，所有数
字都是这个数的有效数字。
）
2
、扇形统计图的性质：各扇形分别代表每部分在总体中的百分比大小；各扇形占整个圆的
百分比之和为
100%
。
3
、
(1)
扇形圆心角的度数
=
360
X
该部分占总体的百分比；
0
(2)
每部分占总体
的百分比
=
部分数量÷总体百分比
=<
/p>
该部分所对应圆心角的度数与
360
0<
/p>
的比。
4
、制
作扇形统计图的步骤是：先统计百分比，计算出圆心角，画出扇形，标上百分比。
5
、各统计图的特点：
(1)
扇形统计图能清楚地表示出部分在总体中的百分比；
(2)
折线统计图能清楚地反映反映事物的变化情况；
(3)
条形统计图能清楚地表现出每
个项目的具体数目。
第七章
可能性
必然事件：事先能肯定它
确定事件｛不可能事件：事先能肯定它一定
事件｛不确定事件：事先无法肯定它
1
、事情发生的可能性的大小：
机会大的不确定事件不一定发生，
机会小的不确定事件也不一定不发
生，
机会大大小只能说
明发生的程度不同。
2
、要学会判断事情发生的可能性的大小。
北师大版初中数学七年级
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)
各章知识点
第一章：整式的运算
单项式
整
式
多项式
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
幂运算
同底数幂的除法
零指数幂
负指数幂
整式的加减
单项式与单项式相乘
整式的乘法
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
整式运算
平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1
、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2
、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3<
/p>
、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4
、单独一个数或一个字母也是单项式。
5
、只含有字母因式的单项式的系数是
1
或―
1
。
6
、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7
、单独的一个非零常数的次
数是
0
。
8
、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9
、单项式的系数包括它前面的符号。
10
、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11
、单项式的系数是
1
或―
1
时，通常省略数字“
1
”
。
12
、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1
、几个单项式的和叫做多项式。
<
/p>
2
、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3
、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4
、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5
、多项式的每一项都包括项前面的符号。<
/p>
6
、多项式没有系数的概念，但有次数
的概念。
7
、多项式中次数最高的项
的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1
、单项式和多项式统称为整式。
2
、单项式或多项式都是整式。
3
、整式不一定是单项式。
4
、整式不一定是多项式。
5
、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1
、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。
2
、几个整式相加减，关键是正确地运用去
括号法则，然后准确合并同类项。
3
、几个整式相加减的一般步骤：
（
1
）列出
代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（
2
）按去括号法则去括号。
（
3
4
、代数式求值的一般步骤：
（
1
）代数
式化简。
（
2
）代入计算
3
）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行
计算。
五、同底数幂的乘法
1
、
n
个相同因式（
或因数）
a
相乘，记作
an
，读作
a
的
n
次方（幂）
，其中
a
为底
数，
n
为
指数，
an
的结果叫做幂。
2
、底数相同的幂叫做同底数幂。
<
/p>
3
、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相
加。即：
am
﹒
an=am+n
。
4
、此法则也可以逆用，即：
am+n
=
am
﹒
an
。
5
、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的
乘法，先化成同底数幂再运
用法则。
六、幂的乘方
1
、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
（
am
）
n
表示
n
< br>个
am
相乘。
2
、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（
am
）
n =am
n
。
3
、此法则也可以逆用，即：
am n
=
（
am
）
n=
（
an
）
m
。
七、积的乘方
1
、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2
、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
即（
ab
）
n=an b
n
。
3
、此法则也可以逆用，即：
an b
n =
（
ab
）
n
。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1
、共同点：
（
1
）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（
2
）法则中的底数（不为
零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多
项式）
< br>。
（
3
）
对于含有
3
个或
3
个以上的运算，法则仍然成立。
2
、不同点：
（
1
）同底数幂相乘是指数相加。
（
2
）幂的乘方是指数相乘。
（
3
）积的乘方是每
个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法
1
、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：
am
÷
an=am-n
（
a
≠
0
）
。
2
、此法则也可以逆用，即：
am-n
= am
÷
an
（
a
≠
0
）
。
十、零指数幂
< br>1
、零指数幂的意义：任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1
，即：
a0=1
（
a
≠
0
）
。
十一、负指数幂
1
、任何不等于零的数的―
p
次幂，等于
这个数的
p
次幂的倒数，即：
注：在同底数幂的除法、
零指数幂、
负指数幂中底数不为
0
。
十二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1
、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余
字
母连同它的指数不变，作为积的因式。
2
、系数相乘时，注意符号。
3
、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4
、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一
起写在积里，作为积的因式。
5
、单
项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6
、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1
、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式
中的每一项，再把所得的积相加。即：
m(a+b+c)=ma+mb
+m c
。
2
、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3
、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4
、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从
而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1
、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加。即：
(m+n)(a+b)=ma
+mb+na+n b
。
2
、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项
式的每一项乘以另一个多项式的每一项。
在未合并同类项之前，
积的项数等于两个多项式项
数的积。
3
、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用
“同号得正，异号
得负”
。
4
、运算结果中有同类项的要合并同类项。
<
/p>
5
、对于含有同一个字母的一次项系数是
1
的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式
简化运算：<
/p>
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
。
十三、平方差公式
1
、
（
a+b
）
(a-b)=a2-b2
，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2
、平方差公式中的
a
、
b
可以是单项式，也可以
是多项式。
3
、平方差公式可以逆用
，即：
a2-b2=
（
a+b
）
(a-b)
。
4
、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数
能否转化成
（
a+b
）
•
(a-b)
的形式，然后
看
a2
与
b2
是否容易计算。
十四、完全平方公式
1
、
即：两
数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的
2
倍。
2
、公式中的
a
，
b
可以是单项式，
也可以是多项式。
3
、掌握理解完全
平方公式的变形公式：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
4
、完全平方式：我们把形如
:
的二次三项式称作完全平方式。
5<
/p>
、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。
6
、完全平方公式可以逆用，即：
十五、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1<
/p>
、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为<
/p>
商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2
、根据法则可知，单项式相除与单项式相
乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不
相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则
1
、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一
项分别除以单项
式，再把所得的商相加。用字母表示为：
2
、多项式除以单项式，注意多项式
各项都包括前面的符号。
第二章
平行线与相交线
余角
余角补角
补角
角
两线相交
对顶角
同位角
三线八角
内错角
同旁内角
平行线的判定
平行线
平行线的性质
尺规作图
一、余角与补角
1
< br>、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一
< br>个角的余角。
2
、如果两个角
的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一
个角的补角。
3
、互余和互补是指两角和为直角或
两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无
关。
<
/p>
4
、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补
角相等。
5
、余角和补角的性质用数
学语言可表示为：
（
1
）
则
(
同角的余角（或补角）相等
)
。
（
2
）
且
则
(
等角的余角（或补角）相等
)
。
6
、余角和补角的性
质是证明两角相等的一个重要方法。
二、对顶角
1
、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2
、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3
、对顶角的性质：对顶角相等。
<
/p>
4
、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两
个角相等的依据及重要桥
梁。
5
、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
三、同位角、内错角、同旁内角
< br>1
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。
2
、同位角：两个
角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对
角叫做同位角。
3
、内错角：两个角都在两条直线之
间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角
叫做内错角。
4
、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条
直线（截线）的同旁，这样的一对
角叫同旁内角。
5
、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固
定的大小关系。
四、六类角
1
、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两
角来说的。
2
、余角、补角只有数量
上的关系，与其位置无关。
3
、同位
角、内错角、同旁内角只有位置上的关
系，与其数量无关。
4
、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
五、平行线的判定方法
1
、同位角相等，两直线平行。
2
、内错角相等，两直线平行。
3
、同旁内角互补，两直线平行。
<
/p>
4
、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两
条直线平行。
5
、在同一平面内，如
果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
六、平行线的性质
1
、两直线平行，同位角相等。
2
、两
直线平行，内错角相等。
3
、两直线平行，同旁内角互补。
4
、平行线的判定与性质
具备互逆的特征，其关系如下：
在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
七、尺规作线段和角
1
、在几
何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2
、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
3
、尺规作图中直尺的功能是：
（
1
）在两点间连接一条线段；
（
2
）将线段向两方延
长。
4
、尺规作图中圆规的功能是：
（
1
）以任意一点为圆心，任意长为半径作
一个圆；
（
2
）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5
、熟练掌握以下作图语言：
（
1
）作射线××；
（
2
）在射线上截取××
=
××；
（
3
）在射线××上依次截取××
=
< br>××
=
××；
（
4
）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×
；
（
5
）分
别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（
6
）过点×和点×画直线××（或画射线××）
；
（
7
）在∠×××的外部（或内部）画∠×××
=
∠
×××；
6
、在作较复杂图形时，涉
及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括
叙述就可以了。
（
1
）画线段××<
/p>
=
××；
<
/p>
（
2
）画∠×××
=
∠×××；
第三章
生活中的数据
单位换算
科学记数法
近似数
生活中的数据
精确数
有效数
字
精确度
统计图（象形统计图）
一、单位换算
1
、长度单位：
（
1
）百万分之一米又称微米，即
1
微米
=10-6
米。
（
2
）
10
亿分之一米又称纳米，即
1
纳
米
=10-9
米。
< br>（
3
）
1
微米
=103
纳米。
（
4
）
1
< br>米
=10
分米
=100
厘米
=103
毫米
=1
06
微米
=109
纳米。
2
、面积单位
（
1
）
10-6
千米
2=1
米
2=1
02
分米
2=104
厘米
2=106
毫米
2=1012
微米
2=1018
纳米
2
。
3
、质量单位
（
1
）
1
吨
=103
千克
=106
克。
二、科学计数法表示绝对值小于
1
的较小数据
1
、用科学计数法表示绝对值小于
1
的较小数据时，
也可以表示为
a
×
10n
的形式，其中
1
≤
〡
a
〡
<10,n
为负
整数，
n
等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（
包括小数
点前面的一个零）的相反数。
三、近似数与精确数
1
、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。
2
、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。
3
、近似数产生的原因有：
<
/p>
（
1
）由于测量工具和测量方法的局限性
不可能得到物体的准确值；
（
2
）有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值。
4
、近似数
a
的真值的范围大
于或等于
a
与它的最末位的半个单位的差而小于
a
与它的最末
位的半个单位的和。例如近似数
1.60
的真值范围为大于或等于
1.595<
/p>
而小于
1.605
。
四、有效数字
1
、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都
叫这个数的有效数字。
2
、对于科学计数法型的近似数，由
a
×
10n
（
1
≤〡
a
〡
<10
）中的
< br>a
来确定，
a
的有效数字就
是这个近似数的有效数字。与×
10n
无关。
3
、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。
五、近似数的精确度
1
、近似数的精确度是近似数精确的程度。
2
、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3
、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定
的。
4
、对于单独一个近似数，根据
最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确度。
5<
/p>
、对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定其精确度。
6
、对带单位的近似数，也要还原为原来的数后再
确定其精确度。
7
、对近似数进行取
舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。
六、统计图（表）
1
、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
2
、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。
3
、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
4
、象形统计图：能直观地反映数据之间的
意义。
5
、从统计图中获取更多的有
用信息，应做到以下几步：
（
1
）审清统计图横轴和纵轴代表的意义，若是象形统计图则要看准每个形象图标代表什么
意义；
（
2
）把各部分的数据找出来；
（
3
）以图中读出的信息作为参考（已知）
，推测相关
量的变化趋势或规律；
（
4
）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。
6
、制作象形统计图
（
1
）象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动
，极富有个性和情感，但准确性差一
些。
（
2
）制作象形统计图没有固定的格式，需要具有较强的想
像力和创造力。
（
3
）制作象形统计图：
一是要明确制作的统计图的特点；
二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计图，加<
/p>
深对问题的理解。
第四章
概率
必然事件
事件
不可能事件
不确定事件
概率
等可能性
游戏的公平性
概率的定义
概率
几何概率
设计概率模型
一、事件
1
、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。
2
、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不
发生，即发生的可能是
100%
（或
1
）
。
3
、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完
全没有机会
发生，即发生的可能性为零。
4
、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可
能不发
生，即发生的可能性在
0
和
1
之间。
5
、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为
100%
，则为必
然事件；若事件发生的可能性为
0
，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性
在
0
∽
1
< br>之间，则为不确定事件。
6
、
简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确
定
事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。
7
、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：
（
1
）用语言叙述可能性的大小。
（
2
）用图例表示。
（
3
）用概率表示。
二、等可能性
1
、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。
2
、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。
（
1
）首先要看游戏所出现
的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必
然事件或不可能事件，则
游戏是不公平的；
（
2
）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看
双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。
（
3
）游戏是否公平，并不一定是游戏
结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对
游戏双方获胜的事件发生的可能性一
样即可。
三、概率
1
、
概率：
是反映事件发生的
可能性的大小的量，
它是一个比例数，
一般用
< br>P
来表示，
P
（
A
）
=
事件
< br>A
可能出现的结果数
/
所有可能
出现的结果数。
2
、必然事件发生的
概率为
1
，记作
P
（必然事件）
=1
；
3
、不可能事件发生的概率为
0
< br>，记作
P
（不可能事件）
=0<
/p>
；
4
、不确定
事件发生的概率在
0
∽
1
之间，记作
<
br><1 、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
0
（不确定事件）
。
5
6
、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
7
、概率的计算：
（
1
）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果
的总数
n
，再数出事件
A
可能出现的结
果数
m
，利用
概率公式
直接得出事件
A
的概率。
（
2
）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”
。
四、几何概率
1
、事件
A
发生的概率等于此事件
A
发生的可能结果所组成的面积（用
SA
表示）除以所有
可能结果组成图形的面积（用
S
全表示）
，所以几何概率公式可表示为
P
（
A
）
=SA/S
全，这
是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相
同的。
2
、求几何概率：
< br>（
1
）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；
（
2
）然后计算出
各部分的面积；
（
3
）最后代入公式求出几何概率。
五、设计概率模型（游戏或事件）
1
、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向
运用。
2
、设计通常分四步：
（
1
）首先分析设计应符合什么条件；
（
2
）其次确定选用什么
图形表示更合理；
（
3
）然后再按一定要求和操作经验来设计模型；
（<
/p>
4
）最后再通过计算或其他方法来
验证设计的模型是否符合条
件。
第五章
三角形
三角形三边关系
三角形
三角形内角和定理
角平分线
三条重要线段
中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形
SAS
全等三角形
全等三角形的判定
ASA
AAS
HL
（适用于
Rt
Δ
）
全等三角形的应用
利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1
< br>、
不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，
称为三角形，
可以用符号
“
Δ
”
表示。
2
、顶点是
A
、
B<
/p>
、
C
的三角形，记作“
< br>Δ
ABC
”
，读作“三角形
ABC
”
。
3
、组成三角形的三条线段叫做三角
形的边，即边
AB
、
BC
、
AC
，有时也用
a
，
b
，
c
来表示，
顶点
A
所对的边
BC
用
a
表示
，边
AC
、
AB
分别用
b
，
c
来表示；
4
、∠
< br>A
、∠
B
、∠
< br>C
为
Δ
ABC
< br>的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1
、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用
字母可表示为
a+b>c,a+c>b,b+c>a
；
<
br>1800 Δ <
br>
a-b
。
2
、判断三条线段
a,b,c
能否组成三角形：
（
1<
/p>
）当
a+b>c,a+c>b,b+c>a
同时成立时，能组成三角形；
（
2
）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3
、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于
两边的差而小于两边的和，
即
.
三、三角形中三角的关系
1
、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于
。
2
、三角形按内角的大小可分为三类：
（
1
）锐角三角形，即三角形的三个内
角都是锐角的三角形；
（
2
）
直角三角形，
即有一个内角是直角的三角形，
我们通常用
“
Rt
”
表示
“直角三角形”
,
其中直角∠
C
所对的
边
AB
称为直角三角表的斜边，
夹直角
的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（
3
）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三
角形。
3
、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4
、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
5
、
任
意一个三角形都具备六个元素，
即三条边和三个内角。
都具有三边关系和三内角之和
为
1800
的性质。
6
、三角形内
角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
四、三角形的三条重要线段
1
、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2
、三角形的角平分线：
（
1
）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边
相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫
做三角形的角平分线。
（
2
）任意三角形都有三条角平分线，
并且它们相交于三角形内一点。
3
、三角形的中线：
（
1
）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段
，叫做这个三角形的中线。
（
2
）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点
。
4
、三角形的高线：
（
1
）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂
线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高线，简称为三角形的高。
（
2
）任意三角形都有三条高线
，它们所在的直线相交于一点。
区
别
相
同
中
线
平分对边
三条中线交于三角形内部
（
1
）都是线段
（
2
）都从顶点画出
（
3
）所在直线相交于一点
角平分线
平分内角
三条角平分线交于三角表内部
高
线
垂直于对边（或其延长线）
锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角表外部
五、全等图形
1
、两个能够重合的图形称为全等图形。
2
、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
3
、全等图形的面积或周长均相等。
4
、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不
可。
5
、全等图形在平移、旋转、折
叠过程中仍然全等。
6
、全等图形中
的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割
1
、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2
、对一个图形全等分割：
（
1
）首先要观察分析该图形，发现图形的构成
特点；
（
2
）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
七、全等三角形
1
< br>、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”
。<
/p>
2
、用“≌”连接的两个全等三角形，
表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3
< br>、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重
< br>要依据。
4
、两个全等三角形
，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
八、全等三角形的判定
1
、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“
SSS
”
。
2
、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“
AS
A
”
。
3<
/p>
、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角
角边”或“
AAS
”
< br>。
4
、两边和它们的夹角对应
相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“
SAS
”
。
5
、注意以下内容
< br>（
1
）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一
定有一组边对应相等。
（
2
）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形
全等。
（
3
）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。
6
、熟练运用以下内容
（
1
）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关
键。
（<
/p>
2
）已知“
SS
”
，可考虑
A
：第三边，即“
SSS
”
；
B
：夹角，即“
SAS
”
。
（
3
）<
/p>
已知
“
SA
”<
/p>
，
可考虑
A
：<
/p>
另一角，
即
“
A
AS
”
或
“
A
SA
”
；
B
：
夹角的另一边，
即
“
< br>SAS
”
。
< br>（
4
）已知“
AA
”
，可考虑
A
：任意一边，
即“
AAS
”或“
ASA
”
。
7
< br>、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（
SSS
）可知，只要三角形三边的长度确
定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形
的这个性质叫做三角形的稳定性。
九、作三角形
1
、作图题的一般步骤：
（
1
）已知，即将条件具体化；
< br>
（
2
）求作，即具体叙述所作
图形应满足的条件；
（
3
）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）
；
（
4
）作法，即根据分析所得的
作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
（
5
）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）
< br>。
2
、熟练以下三种三角形的
作法及依据。
（
1
< br>）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。
（
2
）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。
（
3
）已知三角形的三边，作三角形。
十、利用三角形全等测距离
1
、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造
出全等三角形，运用
全等三角形的性质（对应边相等）
，把较难
测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易
测量的线段的长度，从而得到被测距离。
2
、运用全等三角形解决实际问题的
步骤：
（
1
）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；
（
2
）根据实际问题抽象出几何图形；
（
3
）结合图形和题意分析已知条件；
（
4
）找到解决问题的途
径。
十一、直角三角形全等的条件
1
、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三
角形全等，简写成“斜边、
直角边”或“
HL
< br>”
。
2
、
“
HL
”是直角三角形特有的判定
条件，对非直角三角形是不成立的；
3
、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“
Rt
”字样。<
/p>
十二、分析
-
综合法
1
、我们在平时解几何题时，
采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。
2
、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题< p>
的结论。
3
、分析法：
从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。
4
、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。
第六章
变量之间的关系
自变量
变量的概念
因变量
变量之间的关系
表格法
关系式法
变量的表达方法
速度时间图象
图象法
路程时间图象
一、变量、自变量、因变量
1
、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2
、如果一个变量
y
随另一个变量
x
的变化而变化，则把
x
叫做自变量，
y
叫做因变量。
3
、自变量与因变量的确定：
<
/p>
（
1
）自变量是先发生变化的量；因变量
是后发生变化的量。
（
2
）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（
3
）利用具体情境来体会两者的
依存关系。
二、表格
1
、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间
的关系。
（
1
）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（
2
）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
<
/p>
（
3
）结合实际情境理解它们之间的关系
。
2
、绘制表格表示两个变量之间关系
（
1
）列表时首先要确定各行、各列的
栏目；
（
2
）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（<
/p>
3
）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（
4
）在第一行列出自变
量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（
5
）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序
排列，这样便于反映因变量
与自变量之间的关系。
三、关系式
1
、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代
数式表示因变量（
也用字母表示）
，这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2
、关系式的写法不同于方
程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3
、求两个变量之间关系式的途径：
（
1
）将自变量和因变量看作两个未知
数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关
系式的形式。
（
2
）根据表格中所列的数据写出
变量之间的关系式；
（
3
）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
（
4
）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4
、关系式的应用：
（
1
）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应
的因变量的值；
（
2
）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（
3
）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（
求自变量的值）或求代数式的值（求因
变量的值）
。
四、图象
1
、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2
、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。<
/p>
3
、用图象表示变量之间的关系时，通
常用水平方向的数轴
（又称横轴）
上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4
、图象上的点：
< br>（
1
）
对于某个具体图象上的点
，
过该点作横轴的垂线，
垂足的数据即为该点自变量的取值；<
/p>
（
2
）过该点
作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（
3
）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变
量的值的点，过这个
点作横轴的垂线与图象交于某点，
再过交点
作纵轴的垂线，
纵轴上垂足所表示的数据即为因
变量的相应值。
（
4
）把以
上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5
、图象理解
（
1
）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表
示哪个变量；
（
2
< br>）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）
；
（
3
）从图象上还可以得到随着自变量的变化
，因变量的变化趋势。
五、速度图象
1
、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是
横轴）表示时间；
2
、准确读懂不同
走向的线所表示的意义：
（
1
）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（
2
）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其
代表匀速行驶或静止；
（
3
）下降的线：从左向右呈下降
状的线，其代表速度减小。
六、路程图象
1
、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
<
/p>
2
、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（
1
）上升的线：从左向右呈上升
状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）
；
（
2
）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代
表静止；
（
3
）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）
。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法
特
点
表格法
多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法
准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法
直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势
第七章
生活中的轴对称
轴对称图形
轴对称分类
轴对称
角平分线
轴对称实例
线段的垂直平分线
等腰三角形
生活中的轴对称
等边三角形
轴对称的性质
轴对称的性
质
镜面对称的性质
图案设计
轴对称
的应用
镶边与剪纸
一、轴对称图形
1
< br>、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴
< br>对称图形，这条直线叫做对称轴。
2
、理解轴对称图形要抓住以下几点：
（
1
）指一个图形；
< br>
（
2
）存在一条直线（对称轴
）
；
（
3<
/p>
）图形被直线分成的两部分互相重合；
（
4
）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；<
/p>
（
5
）线段、
角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
二、轴对称
1
、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，
那么称这两个图形成轴对
称，
这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
< br>
2
、理解轴对称应注意：
<
/p>
（
1
）有两个图形；
（
2
）沿某一条直线对折后能够
完全重合；
（
3
）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；
（
4
）对称轴是直线而不是线段；
轴对称图形
轴对称
区别
是一个图形自身的对称特性
是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条
对称轴只有一条
共同点
沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）
，那么这两部
分关于这条对称轴成轴对称。
三、角平分线的性质
1
、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2
、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线
1
、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂< p>
线。
2
、性质：线段垂直
平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
五、等腰三角形
1
< br>、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2
、
相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；
3
、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；
<
/p>
4
、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5
、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角
形除外）
，其底边上的高或顶角的平
分线，或底
边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6
、
等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴
，
它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7
、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“
三线合一”
。
8
、
“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
9
、
“三线合一
”
是等腰三角形特有的性质，
是指其顶角平分线，
底边上的高和中线，
这三线，
并非其他。
10
、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等
边对等角”
。
11
< br>、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：
（<
/p>
1
）两条边相等的三角形是等腰三角形；
（
2
）
如果一
个三角形有两个角相等，
那么它们所对的边也相等相等，
简写为
“等角对等边”
。
六、等边三角形
1
< br>、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。
<
/p>
2
、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备
等腰三角形的所有性质。
3
、等边三
角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
4
、等边三角形的三边都相等，三个内角都是
600
。
图形
定义
性质
等腰三角形
有两边相等的三角形
1
、两腰相等，两底角相等。
2
、顶角
=1800-2
×底角。底角
=
（
1800-
顶角）
/2
。
<
/p>
3
、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”
。
4
、轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形）
三边都相等的三角形
1
、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于
600
。
2
、具有等腰三角形的所有性质。
3
、轴对称图形，有三条对称轴。
七、轴对称的性质
1
、两个图形沿一条直线对折后，
能够重合的点称为对
应点
（对称点）
，能够重合的线段称为
对应线段，能够重合的角称为对应角。
2
、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3
、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
< br>
4
、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、
对应角都相等。
5
、类似地，轴对称图形的性质有：
（
1
）轴对称图形对应点所连的线段被
对称轴垂直平分。
（
2
）轴对称图形的对应线段、对应角相等。
（
3
）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对
应角，并由此能补
全轴对称图形。
八、图案设计
1
、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。
2
、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤
:
（
1
）首先要确定一个
简单平面图形上的几个特殊点；
（
2
）
然后利用轴对称的性质，
作出其相应
的对称点
（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）
。
（
3
）分别连接其对称
点，则可得其对称图形。
3
、表达方
式（以点
M
为例）
：
< br>
（
1
）过点
< br>M
作对称轴
的垂线，垂足为<
/p>
A
；
（
2
）延长
MA
到
M
’到，使
M
’<
/p>
A=MA
，则点
M
’就是点
M
关于直线
的对称点。
（
3
）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点
M
关于直线
的对称点
M
’
.
4
、在运用
轴对称设计图案时，就注意以下几点：
（
1
）要有明确的设计意图；
（<
/p>
2
）创意要新颖独特；
（
3
）设计出的图案要符合要求；
（
4
）能清楚地表达自己的设计
意图和制作过程。
5
、图案的设计除
采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6
、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
九、镜面对称
1
、镜面对称的有关性质：
（
1
）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像
与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形
在镜子中的像仍是轴对称图形。
（
2
）若一个平面图形正
对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；
（
3
）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，
其像也靠近镜面；
2
、关于数字
0
、
1
、
3
、
8
在镜面中像的两
个结论：
（
1
）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的
0
、
1
、
3
、
8
所成的像与原来的数字
完全一样。
（
2
）如果纸条正对镜
面摆放，则纸条上写的
0
、
1
、
8
这三个数字在镜中的像和原来的数字
完全一样。
3
、像与物体到镜面的距离相等。
4
、像与物体的
对应点连线被镜面垂直平分。
5
、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表
示的，
也有直接用钟表来表示的。
在判断时
，
大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解
决。
北师大版初中数学八年级
(
上册
)
各章知识点
第一章
勾股定理
1
、勾股定理
直角三角形两直角边
a
，
b
的平方和等于斜边
c
的平方，即
a
b
c
2
、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
有关系
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形。
3
、
勾股数
：满足
a
b
c
的三个正整数，称为勾股数。
第二章
实数
一、实数的概念及分类
1
、实数的分类
正有理数
有理数
零
有限小数和无限循环小数
实数
负有理数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
2
、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（
1
）开方开不尽的数，如
7
,
3
2
等
；
（
2
）有
特定意义的数，如圆周率
π
，或化简后含有
π
的数，如
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
π
+
8
等；
3
（
3
）有特定结构的数，如
0.1010
010001
„等；
o
（
4
）某些三角函数值，如
sin60
等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1
、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是
零）
，
从数轴上看，
互为相反数的两个数所
对应的点关于原点对称，
如果
a
与
b
互为相反数，
则有
a+b=0
，
a=
—
b
，反之亦成立。
2
、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（
|a|
≥
0
）
。零的绝对
值是它本身，也可看成它的相反数，若
|a|=
a
，则
a
≥
0
；若
|a|=-a
，则
a
≤
0
。
3
、倒数
如果
a
与
b
互为倒数，则有
ab=1
，反之亦成立。倒数等于本身的数是
1
和
-1
。零
没有
倒数。
4
、数轴
规
定了原点、
正方向和单位长度的直线叫做数轴
（画数轴时，
要注意上述规定的三要素
缺一不可）
。
解题时要真正掌握数形结合的思想，
理解
实数与数轴的点是一一对应的，
并能灵活运用。
5
、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
2
1
、算术平方根：一般地，如果一个正数
x
的平方等于
a
，即
x
=a
，那么这个正数
x
就
叫做
a
的
算术平方根。特别地，
0
的算术平方根是
0
。
表示方法：记作“
a
”
，读作根号
a
。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个
，零的算术平方根是零。
2
2
、平方根：一般地，如果一个数
x
的平方等于
a
，即
x
=a
，那么这个数
x
就叫做
a
的
平方根（或二次方根）
。
表示方法：正数
a
< br>的平方根记做“
，读作“正、负根号
< br>a
”
。
a
”
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平
方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方。
a
0
注意
a
的双
重非负性：
a
0
3
、立方根
3
一般地，如果一个数
x
的立方等于<
/p>
a
，即
x
=a<
/p>
那么这个数
x
就叫做
a
的立方根（或三
次方根）
。<
/p>
表示方法：记作
3
a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负
的立方根；零的立方根是零。
注意：
3
a
<
/p>
3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到
根号外面。
四、实数大小的比较
1
、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负
数；数轴上的两个点所
表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2
、实数大小比较的几种常用方法
<
/p>
（
1
）数轴比较：在数轴上表示的两个数
，右边的数总比左边的数大。
（
2<
/p>
）求差比较：设
a
、
b
是实数，
a
< br>
b
0
a
b
,
a
b
0
a
b
,
a
b
< br>0
a
b
（
3
）
求商比较法：
设
a
、
b
是两正实数，
1
a
< br>b
;
a
b
a
a
1
a
b
;
1
a
b
;
b
b
（
4
< br>）绝对值比较法：设
a
、
b
是两负实数，则
a
b
a
b
。
（
5
）平方法：设
a
、
b
是两负实数，则
a
b
a
b
。
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1
、含有二次根号“
2
、性质：
（
1
）
(
a
)
2
a
(
a
< br>
0
)
a<
/p>
(
a
0
)
2
（
2
）
a
a
2
2
”
；被开方数
a
必须是非负数。
a
(
a
0
)
（
3
）
ab
a
b
(
a
0
,
b
0
)
（
a
<
/p>
b
ab
(
a
0
,
b
0
)
）
（
4
< br>）
a
a
a
a
(
a
0
,
b
0
)
（
(
a
0
,
b
0
)
）
b
b
b
b
< br>3
、运算结果若含有“
a
”形式
，必须满足：
（
1
）被开方数的因数是
整数，因式是整
式；
（
2
）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（
1
）六种运算：
加、减、乘、除、乘方
、
开方
（<
/p>
2
）
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（
3
）运算律
加法交换律
a
b
b
a
加法结合律
(
a
b
)
c
a
(
b
< br>c
)
乘法交换律
ab
ba
乘法结合律
(
ab
)
c
a
(
bc
)
乘法对加法的分配律
a
(
b
c
)
ab
<
/p>
ac
第三章
图形的平移与旋转
一、平移
1
、定义
在平面内，将一个图形整体
沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2
、性质
平
移前后两个图形是全等图形，
对应点连线平行且相等，
对应线段
平行且相等，
对应角
相等。
二、旋转
1
、定义
在平面内，将一个图形绕某
一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋
转，这个定点称为旋转中心，转
动的角叫做旋转角。
2
、性质
旋
转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的
连线所
成的角
等于旋转角。
第四章
四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1
、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2
、四边形具有不稳定性
3
、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于
360
°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于<
/p>
360
°。
推
论：多边形的内角和定理：
n
边形的内角和等于
(
n
2
)
180
°；
< br>
多边形的外角和定理：任意多边形的外角
和等于
360
°。
< br>6
、设多边形的边数为
n
，则多
边形的对角线共有
n
(
n
3
)
条。从
n
边形的一个顶点出
2
发能
引（
n-3
）条对角线，将
n
边形分成（
n-2
）个三角形。
二、平行四边形
1
、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2
、平行四边形的性质
（
1
）平行四边形的对边平行且相等。
（
2
）平行四边形相邻的
角互补，对角相等
（
3
）平行四边形的对角线互相平分。
（
4
）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：
（
1
）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的
线段
的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
< br>（
2
）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3
、平行四边形的判定
（
1
）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边
形
（
2
）定
理
1
：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（
3
）定理
2
：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（
4
）定理
3
：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（
5
）定理
4
：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4
、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距
< br>离。
平行线间的距离处处相等。
5
、平行四边形的面积
S
平行四边形
=
底边长×高
=ah
三、矩形
1
、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2
、矩形的性质
（
1
）矩形的对边平行且相等
<
/p>
（
2
）矩形的四个角都是直角
（
3
）矩形的对角线相
等且互相平分
（
4
< br>）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到
矩形四个顶点的距离相等）
；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3
、矩形的判定
（
1
）定义：有一个角是直角的平行四边形是
矩形
（
2
）
定理
1
：有三个角是直角的四边形是矩形
（
3
）定理
2
：对角线相等的平行四边形是矩形
4
、矩形的面积
S
矩形
=
长×宽
< br>=ab
四、菱形
1
、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2
、菱形的性质
（
1
）菱形的四条边相等，对边平行
（
2
）菱形的相邻的角互补，对角
相等
（
3
）
菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（
4
）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角
线的交点（对称中心到
菱形四条边的距离相等）
；对称轴有两条
，是对角线所在的直线。
3
、菱形的判定
（
1
）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（
2
）定理
1
：四边都相等的四边形是菱形
（
3
）定理
2
：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4
、菱形的面积
S
菱形
=
底边长×高
=
两条对角线乘积的一半
五、正方形
（
3~10
分）
1
、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2
、正方形的性质
< br>（
1
）正方形四条边都相等，对边平行
< br>
（
2
）正方形的四个角都是直
角
（
3
）
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（
4
）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；
对称中心是对角线的交点；对称轴有
四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直
线。
3
、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证它是菱形。
先证它是菱形，再证它是矩形。
4
、正方形的面积
< br>设正方形边长为
a
，对角线长为
b
b
2
S
正
方形
=
a
2
2
六、梯形
（一）
1
、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2
、梯形的判定
（
1
）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是
梯形。
（
2
）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形
直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
（三）等腰梯形
1
、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2
、等腰梯形的性质
（
1
）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（
2
）等腰梯形同一底上
的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（
< br>3
）等腰梯形的对角线相等。
（
4
）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂
直平分线。
3
、等腰梯形的判定
（
1
）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（
2
）定理：在同一底上
的两个角相等的梯形是等腰梯形
（
3
）对角线相等的梯形是等腰梯形。
（选择题和填空题可直接用）
（四）梯形的面积
（
1
）如图，
S
梯形
ABCD
1
(
CD
AB
)
DE
2
（
2
）梯形中有关图形
的面积：
①
S
ABD
S
BAC
；
②
S
AOD
S
BOC
；
③
S
ADC
S
BCD
七、有关中点四边形问题的知识点：
（
1
）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边
形；
（
2
）
顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；
（
3
）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；
（
4
）顺次连接等腰梯形的四边中
点所得的四边形是菱形；
（
5
）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；
（
6
）顺次连接对角线互相垂直的四边形四
边中点所得的四边形是矩形；
（
7<
/p>
）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
八、中心对称图形
1
、定义
< br>在平面内，一个图形绕某个点旋转
180
°，如果旋转前
后的图形互相重合，那么这个图
形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
2
、性质
（
1
）关于中心对称的两个图形是全等形。<
/p>
（
2
）关于中
心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（
3
）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或
在同一直线上）且相等。
3
、判定
如
果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两
个图形关于这一点
对称。
九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、
直角梯形的关系
第五章
位置的确定
一、
在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1
、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的
数轴叫做
x
轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做<
/p>
y
轴或纵轴，取向上为正方向；
x
轴和
y
轴统称坐标轴。
它们的公共原点
O
称为直角坐标系的原点；
< br>建立了直角坐标系的平面，
叫做坐标平面。
2
、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被
x
轴和
y
轴分割而成的四个部分，
分
别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x
轴和
y
轴上的点（坐标轴上的点）
，不属于任何一个象限。
3
、点的坐标的概念
对于平面内任意一点
P,
过点
P
分别
x
轴、
y
轴向作垂线，垂足在上
x
轴、
y
轴对应的数
a
< br>，
b
分别叫做点
P
的横坐标、纵坐标，有序数对（
a
，
b
）叫做点
P
的坐标。
点的坐标用（
a
，
b
）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，
”分开，横、
纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对
，当
a
b
时
，
（
a
，
b<
/p>
）和（
b
，
a<
/p>
）
是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。