勾股定理学习知识重点情况总结归纳
-
精心整理
第
18
章勾股定理复习
一．知识归纳
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
a
2
b
2
c
2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达
哥拉斯定理．我国古代把直角三角
形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边
称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高
就提出了
“
勾三，
股四，弦五
”
形
式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关
系为：两直角边的平方
和等于斜边的平方
２
.
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
D
①
图形进过割补拼接后，只要没有重
叠，没有空隙，面积不会改变
C
②<
/p>
根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股
H
定理
E
常见方法如下：
< br>G
方法一：
4
S
S
正方形
EFGH
1
S
正方形
ABCD
，
4
ab
(
b
a
)
2
c
2
< br>，化简可证．
2
A
b
a
c
F
b
a
c
a
b
方法二：
四个直角三角形的面
积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1
2
B
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为<
/p>
S
4
ab
c
2
2
ab
c
2
大正方形面积为
S
< br>
(
a
b
)
2
a
2
2
ab<
/p>
b
2
c
b
c
所以
a
b
c
2
2
< br>2
c
b
a
方法三：
S
梯形
< br>(
a
b
)
(
a
b
)
，
S
梯形
2S
ADE
S
ABE
2
ab
c
2
，化简得
1
2
1
2
1
2
a
证
３
.
勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三
条边之间所存在的数量关系，
它只适用于直角三角形，
对于锐角
三角
形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，
因而在应用勾股
定理时，
必须明了所考察的对象是直角
三角形
< br>
４
.
勾股定理的应用
①
已知直角三角形的任意两边长，求第三边<
/p>
在
ABC<
/p>
中，
C
90
，则
c
a
2
b
2
，
b
c
2
< br>a
2
，
a
c
2
b
2
②
知道直
角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③
可运用勾股定理解决一些实际问题
5
、利用勾股定理作长为
的线段
作长为
、
、
的线段。
，直角边为
和
1
思路点拨：
由勾股定理得，直角
边为
1
的等腰直角三角形，斜边长就等于
的直角三角形斜边长就是
，类似地可作
。
精心整理
*-
作法
：如图所示
（
1
）作直
角边为
1
（单位长）的等腰直角△
AC
B
，使
AB
为斜边；
< br>
（
2
）以
AB
为一条直角边，作另一直角边为
1
的直角
（
3
）顺次这样做下去，最
后做到直角三角形
的长度就是
、
、
、
。
的点。
，
。斜边为
、
；
、
、
，这样斜边
举一反三
【变式】在数轴上表示
解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边，
为了有利于画图让其他两边
的长为整数，
而
10
又是
9
和
1
< br>这两个完全平方数的和，得另外两边分别是
3
和
1
。
作法
：如图所示在数轴上找到
A
点，使
OA=3
，作
AC
⊥
OA
且截取
AC=1
，以
OC
为半径，
以
O
为圆心做弧，弧与数轴的交
点
B
即为
。
注：逆命题与勾股定理逆定理
可以判断真假的陈述句叫做
命题，
写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1
．原命题：猫有四只脚．
（正确）
2
．原命题：对顶角相等（正确）
3
．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等
．
（正确）
4
．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
（正确）
思路点拨：
掌握原命题与逆命题的关系。
解析：
1.
逆命题：有四只
脚的是猫（不正确）
2.
逆命题：相
等的角是对顶角（不正确）
3.
逆命
题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
•
（正确）
4.
逆命题：到角两边距离
相等的点，在这个角的平分线上．
（正确）
< br>总结升华：
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
6.
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书
74
页
如果三角形三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
b
2
c
2
，那么这个三角形是直角三角形，其中
c
为斜边
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定
一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过
“
数转化
为形
”
来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：<
/p>
（
1
）首先确
定最大边，不妨设最长边长为：
c
；
（
2
）验证
c
2
与
a
2
+b
2
是否具有相等关系，若
c
2
＝
a
< br>2
+b
2
，则
< br>△
ABC
是以
∠
C
为直角的直角三角形
（若
c
2
>a
2<
/p>
+b
2
，
则
△
ABC
是以
∠<
/p>
C
为钝角的钝角三角形；
若
c
2
<
br>△
2
+b
2
，
则
ABC
为锐角三角形）
。
（定理中
a
，<
/p>
b
，
c
及
a
2
b
2
c
2
只是一种表现形式，
不可认为是唯一的，
如若三角形三
边长
a
，
b
，
c
满足
a
2<
/p>
c
2
b
2
，那么以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是直角三角形，但是
b
为斜边）
3
：勾股定理与勾股定理逆定理的区
别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定
理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好
相反，都与直角三角形有关。
*-
4
：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是
另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，
那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导
1
．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
<
/p>
2
．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解
决求解直角三角形边边关系的题
目。
3
．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易
犯的主要
错误。
4.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长
a
，
b
，
c
有下列关系：
a
2
+b
2<
/p>
＝
c
2
，
•
那么这个三角形是
直角三角形；该逆定理给
出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.•
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学
习加深对
“
数形结合
< br>”
的理解．
我们把题设、
结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题
，
那么另一个叫
做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
①
勾股
定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过
“
数转化为形
”
来确定三角形的可能形状，在运用这
一定理时，可用两小边的平方和
a
2
b
2
与较长边的平方
< br>c
2
作比
较，若它们相等时，以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是直角三角形；若
a
2
b
2
c
2
，时，以
a
，
b
，
c
为
三边的三角形是钝角三角形；若
a
2
b
< br>2
c
2
，时，以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是锐角三角形；
②
定理中
a
，
b
，
c
及
a
2
b
2
c
2
只是一种表现形式，
不可认为是唯一的，
如若三
角形三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
c
2
b
2
，那么以
a
，
b
，
c<
/p>
为三边的三角形是直角三角形，但是
b
为
斜边
③
勾
股定理的逆定理在用问题描述时，
说成：
当斜边的平方等于两条
直角边的平方和时，
这个三
角形是直角三角形
< br>
7.
勾股数
①
能够构成直角三角形的三边长的三
个正整数称为勾股数，即
a
2
b
2
c
2
中，
a
，
b
，
c
为正整数
时，称
a
，
b
，
c
为一组勾股数
②
记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
3,4,5
；
6,8,10
；
5,12,13
；
7,24,25
等
③
用含字母的代数式表
示
n
组勾股数：
n
2
1,2
n
,
n
2
1
（
n
2,
n
为正整数）
；
2
n
1,2
n
2
2
n
,2
n
2
2
n
1
（
n
为正整数）
m
2
n
2
,2
mn
,
m
2
n
2
（
m
n
,
m
，
n
为正整数）
8
．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问<
/p>
题．
在使用勾股定理时，
必须把握直角三
角形的前提条件，
了解直角三角形中，斜边和直角边各是
什么，
以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线）
，构造直角三角形，以便
正
确使用勾股定理进行求解．
9
勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，< /p>
在具体推算过程中，
应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较
，
切不可不加思考的用两边的平
方和与第三边的平方比较而得到
错误的结论．
10.
勾股定理及其逆定理的应用
<
/p>
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，
是
密不可分的一个整体．
通常既要
通过逆定理判定一个三角形是直
角三角形，
又要用勾股定理求出边的长度，
二者相辅相成，
完成对
问题的解决．
*-
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１
.
在
ABC
中，
C
90
．⑴已知
AC
6
，
BC<
/p>
8
．求
AB<
/p>
的长
⑵已知
A
B
17
，
A
C
15
，求
BC
的长
分析：直接应用勾股定理<
/p>
a
2
b
2
c
2
解：⑴
AB
AC
2
BC
2
10
⑵
BC
AB
2
AC
2
8
题型二：应用勾股定理建立方程
例２
.
⑴在
ABC
中，
ACB
90
，
AB
5
cm
，
BC
3
cm
，
CD
AB
于
D
，
CD
＝
B
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为
3:4
，
斜边长为
15
，
< br>则这个三角形的
面积为
⑶已知
直角三角形的周长为
30
cm
，斜边长
为
13
cm
，则这个三角形的面积为<
/p>
分析：在解直角三角形时，要想到
勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高
的乘积．有时可根据勾股定理列方程求
解
解：
⑴
AC
AB
2
BC
2
<
/p>
4
，
CD
AC
BC
2.4
AB
B<
/p>
C
D
A
A
D
C
⑵设两直角边的长分别为
3
k
，
4
k
(3
k
)
2
(4
k
)
2
15
2
，
k
3
，
S
54
⑶设两直角边
分别为
a
，
b
，则
a
b
17
，
a
2<
/p>
b
2
289
，可得
ab
60
S
<
/p>
ab
30
例３
.
如图
AB
C
中，
C
90
，
<
/p>
1
2
，
CD
1.5
，
BD
2.5<
/p>
，求
AC
的长
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解：作
DE
AB
于
E
，
Q
1
2
，
< br>C
90
在
BDE
中
在
Rt
ABC
中，
C
90
AB
2
AC
2
BC
2<
/p>
，
(
AE
EB
)
2
AC
2
4
2
AC
3
例
4.
如图
Rt
ABC
，
C
90
AC
3,
BC
4
,
分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
答案：
6
题型三：实际问题中应用勾股定理
例
5.
如图有两棵树，一棵高
8
cm
，另一棵高
2
cm
，两树相距
8
cm
，一只小鸟从一棵树的
树
梢
飞
到
另
一
棵
数
的
树
梢
，
至
少
飞
< br>了
m
分
析
：
根
据
题
意
建
立
数
学
模
< br>型
，
如
图
AB
8
m
，
CD
2
m
，
BC
8<
/p>
m
，过点
D
作<
/p>
DE
AB
，垂
足为
E
，则
AE
6
m
，
D
E
8
m
<
/p>
在
Rt
ADE
中，由勾股定理得
AD
AE
2
DE
2
10
答案：
10
m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例
6.
已知三角形的三边长为
a
，
b
，
c
，判定
ABC
是否为
Rt
<
/p>
①
a
1.5<
/p>
，
b
2
，
c
2.5
②
a
，
b
1
，
c
5
4
2
3
1
2
cm
2
A
E
B
D
C