奥数新讲义-一元二次方程-根与系数的关系2(师)
-
第
2
讲
<
/p>
一元二次方程
2
：根与系数的关系
根与系数的关系应用很广，很多题目不仅涉及根与系数的关系，还综
合了整数的性质（奇偶性、质数
等）
、因式分解等内容，具有一
定的技巧性
.
一、
基础知识
1
．韦达定理
2
若一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
< br>0)
有两个根
x
1
,
x
2
，则
x
1
,
x
2
与方程的系数
a
、
b
、
c
之间有以下
关系：
x
1
x
2
b
c
；
< br>x
1
x
2
a
a
这是法国数学家韦达（
1540
－
1603
年）发现的定理
.
2
反之，若
x
1
x
2
p
；
x
1
x
2
q
，则以
x
1
,
x
2
为根的一元二次方程为
x
px
q
0
n
n
1
更一般地，如果一元
n
次方程
a<
/p>
n
x
a
n
1
x
...
a
1
x
a
0
0
(
a
n
0)
的根为
x
1
,
x
2
,...,
x
< br>n
，那么
a
< br>n
1
x
x
.
..
x
1
2
n
a
n
a
n
2
x
x
x
< br>x
...
< br>x
x
1
2
1
3
n
1
n
a
n
x
x
x
x
x
x
< br>...
x
x
< br>x
a
n
3
n
2
n
1
n
1
2
3
1
2
4
a
n
< br>.......................
a
x
1
x
2
...
x
n
(
1)
n
0
a
n
2
．根与系数的关系的应用
一元二次方程的根与系数的
关系应用十分广泛，常见的类型如下
:
(1)
已知方程的一个根，求方程的另一根及方程中的字母系数；
(2)
已知两根之间的关系，求方程
中字母的取值和取值范围或字母之间的关系；
(3)
判断一元二次方程实根的符号；
(4)
不解方程，求一元二次方程两根的有关代数式的值；
(5)
已知两根，求作一元二次方程；
(6)
非一元二次方程问题中构造一元二次方程解题
.
二、
例题部分
2
例
1
（★）已知方程
2
x
7
x
6
0
的一个根为
2
，求另一个根；
6
3
，
x
1
2
2
3
7
3
检验：
x
1
2
2
，∴方程的另一根为
2
2
2
【解】设另一个根为
x
1
，则
2
x
1
2
例
2
（★）方程
x
ax
b
<
/p>
0
的两根的比为
3:4
< br>，判别式的值等于
2
，求此方程的二根
< br>.
【解】
：设方程的二根为
3
k
，
4k
，则
3
k
4
k
a
a
7
< br>k
，即
，又
< br>
a
2
4
b
2
2
3
k
4
k
b
b
12
k
∴
(
7
k
)
4(12
< br>k
)
2
，解得
k
2
∴所求的二根为
3
2,
4
2
或
3
2,
< br>4
2
例
3
（★）已知关于
x
的二次方程
x
px
2
0
的两个实根为
x
1
,
x
2
，且
x
1
x
2
2
2
，那么
p
的值为
多少？
【解】
：依题意，得
2
2
2
p
2
8
0
；
x<
/p>
1
x
2
p
；
x
1
x
2
2
2
2
又
(
x
1
x
2<
/p>
)
(
x
1
x
2
)
4
x
1
x
2
8
2
即
p
8
8<
/p>
，∴
p
16,
p
4
2
例
4
（★，
91
年希望杯初二
1
试）
当
a
1
时，
方
程
(
a
1)
x
(
a
1)
x
(
a
1)
0
的根的情况是
（<
/p>
）
A
．两负根
C
．一正根、一负根且负根的绝对值小
3
2
3
2
2
B
．一正根、一负根且负根的绝对值大<
/p>
D
．没有实数根
【解】当
a
< br>1
时，
a
1
0,
a
1
0,
a
1
0<
/p>
，易得
0<
/p>
设方程两根为
x
1
,
x
2
，
则
x
1
x<
/p>
2
a
1
0
，表示方程两根一正一负；
3
< br>a
1
a
2
1
又
x
1
x
2
3
0
，表示负根绝对值小于正根，故选
C
a
1
例
5
（★★）已知方程
x
2
3
x
2
k
2
0
，
k
为实数，试证明此方程有两实根，并判断两实根与
1
的大
小关系；
【解】
：
1
3
k
2
0
，∴此方程有两实根；不妨设为
,
，由韦达定理，得：
< br>
3,
< br>2
k
2
考虑
1,
1
的
积的正负性，则有
(
1)(
1)
(
< br>)
1
k
2
2
当
k
＝
0
时，方程化为
x
3
x
2
<
/p>
0
，此时一根等于
1
，一根大于
1
；
当
k
≠
0
时，
(
1)(
1)
k
0
，知
1
,
1
一正
一负，即
,
中一个大于
1
，一个小于
1.
例
6
（★★
，
第
9
届
“祖
冲之杯”
）
如果二次方程
(
ab
2
b
)
x
2(
b
a
)
x
2
a
ab
0
有
两个相等的实根，
2
2
那么<
/p>
1
1
_________
；
a
b
2
【解】
：常规思路是根据判别式为
0
进行推导，化简得到
(
a
b
ab
)
0
，则
1
1
< br>
1
，但是比较麻烦，
a
b
观察可知方程系数和为
< br>0
，说明
x
< br>1
是方程的解，由于方程有两个相等的实根，∴另一根也是
1
，∴
2
a
ab
1
1
1
，化简得
a
b
ab
，
∴
1
<
/p>
ab
2
b
a
b
例
7
（★★，
94
年希望
杯初二
2
试）已知关于
x
的二次方程
2
x
2
ax
2
a
1
0
的两个实数根的平方和
为
7
1
，则
a
的值
为
_______
；
4
【解】
：设两根为
x
1
,
x
2
，则
a
2
8(
2
a
1)
a
2
16
a
8
0
(
a<
/p>
)
(
b
)
a
2
a
1
29
2
x
1
2
< br>
x
2
(
x
1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
(
)
2
2(
)
2
2
4
整理（
b
）得
< br>a
2
8
a
33
0
，解得
a
3
或
a
<
/p>
11
将
a
＝
3
代入
(a)<
/p>
式，得
3
2
<
/p>
16
3
8
0
；
将
a
＝－
11
代入
(a)
式，得<
/p>
(
11)
<
/p>
16
(
11)
8
0
，不满足；
∴
a
的值为
3
2
例
8
（
★
★
，
第
七
届
“
祖
冲
之
杯
”
< br>）
若
m
、
n
是
二
次
方
程
x
2
1994
x
7<
/p>
0
的
两
个
根
，
试
求
(
m
2
1993
m
6)(
n
2
1995
n
8)
的值；
【解】
：∵<
/p>
m
、
n
是二次方
程
x
2
19
94
x
7
0
的两个根
2
2
∴
m
<
/p>
1994
m
7
n
199
4
n
7
<
/p>
0
∴
m
1993
m
6
(
m
1)
；
n
2
1995
n
8
n
1
< br>∴
(
m
1993
m
6)(
n
1995
n
8)
(
m
1)(
n
1)
< br>∵
m
n
1994,
mn
7
∴
(
m
1993
< br>m
6)(
n
< br>
1995
n
8)
(
< br>m
1)(
n
< br>
1)
mn
(
m
n
)
1
1986
2
例
9
（★★
，
98
年江苏省竞赛）已知关于
x
的一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
没有实数根，甲由于
2
2
2
2
2
看错了二次项系数
，求得两根为
2
和
4
< br>，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－
1
和
4
，那么
b
2
c
的值为
_______
；
< br>
3
a
【解】
< br>：由于乙只是看错了某一项系数的符号，因此当二次项系数化为
1
时，方程
x
2
b
c
x
< br>
0
与方程
a
< br>a
x
2
3
x
4
0
只相差某一项或两项系数的符号
.
依题意，设甲把方程看成了
kx
2
bx
c
0
(
k
0)
，由韦达定理：
b
c
b
c
2
4
,2
4
，即
6,
8
k
k
k
k
b
c
b
c
∴
:
b
:<
/p>
c
:
(
6)
:8
(
3)
:
4
a
a
k
k
< br>b
b
3
3
b
c
a
a
说明原方程
中
，
应该异号，∴
< br>或
c
c
a
a
4
4
a
a
b
b
< br>3
3
a
a
而当
时，
方程
x
2
3
x
4
0
有实根，不符合题意，因此
c
c
4
4
a
a
于是
例
10
（★
）已知方程
2
x
2
3
x
5
0
的两根为
x
1
,
x
2
，求：
2
2
3
3
5
5
（
1
）
x
1
x
2
；
（
2
）
< br>x
1
x
2
；
（
3
）
x
1
x
2
b
2
c
5
3
a
3
< br>【解】
：由韦达定理得
x
1
x
2
3
5
；
x
1
x
2
< br>
2
2
29
2
2
（
1
）
x
1<
/p>
；
x
2
(
x
1
x
2
)
2
2
x
1
x
2
4
3
2
2<
/p>
x
1
3
x
2
(
x
1
x
2
)(
x
1
< br>2
x
2
)
x
1
x
2
x
1
2
x
2
（
2
）
117
；
(
x
1
x
2
< br>)(
x
x
)
x
1
x
2
(
x
1<
/p>
x
2
)
8
2
1
2
2
5
2
3
2
3
x
1
5
x
2
(
x
1<
/p>
2
x
2
)(
x
1
3
x
2
)
x
1
3
< br>x
2
x
1
2
x
2
（
3
）
3093
(
x
x
)(
x
x
)
x
x
(
x
1
x
2
)
32
2
1
2
2
3
1
3
2
2
2
1
2
2
例
11
（★★）已知二次方程
x
< br>
3
x
1
0
的两根为
,
，求：
（
1
）
1
1
3
3
3
3
；
（
2
）
< br>；
（
3
）
；
（
4
）