处理一元二次方程根的分布问题的一般方法
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数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法
设
f(x)=a
x
+bx+
c(a
≠
0),
则
f(x)=0
即一元二次方程的实根分布问题，
可依照三个
二次
间的关系按下述步骤解决：
⑴画
出符合题设要求（即
f(x)=0
的实根分布情形）的所有不同
类型的抛物线；
⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化
为相应的不等式组（分别从开口方向，
< br>与
x
轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考
虑）
；
⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。
附
:
有关二
次方程
a
x
+bx+c=0(a
≠
0)
实根分布问题的数与形对应结论
（设
f(x)=a
x
+bx+c)
设方程
ax
bx
c
0
a
0
的不等两根为
x
1
,
x
2
且
x
1
< br>
x
2
，相应的二次函数为
2
2
2
2
f
x
ax
bx
c
0
< br>，
方程的根即为二次函数图象与
x
轴的交点，
它们的分布情况见下
2
面
各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：
（两根与
0
的大小比较即根的正负情况）
分
布
情
< br>况
两个负根即两根都小于
0
两个正根即两根都大于
0
一正根一负
根即一个根小于
0
，
一个大于
0
x
1
0
x
< br>2
x
1
0,
x
2
0
<
/p>
x
1
0,
x
2
0
大
致
图
象
< br>
a>0
a<0
0
b
0
2
a
< br>
a
f
0
0
得
出
的
结
论
0
b
< br>0
2
a
a
f
0
0
a
f
0
0
< br>
表二：
（两根与
k
的大小比较）
两根都
小于
k
即
x
1
k
,
x
2
k
分
布
情
况
两根都大于
k
即
x
1
k
,
x
2
< br>
k
一个根小于
k
，一个大于
k
即
x
1
k
x
2
< br>
大
致
图
象
（
a
0
）
大
致
图
象
（
a
0
）
0
b
k
2
a
< br>
f
k
0
0
b
k
2
a
< br>f
k
0
k
k
k
0
b
k
2
a
< br>
f
k
0
得
出
的
结
论
0
b
k
< br>
2
a
f
k
0
f
k
0
得
出
的
结
< br>论
f
k
0
综
合
结
论
（
不
讨
论
a
）
0
b
< br>
k
2
a
a
f
k
0
0
b
< br>
k
2
a
a
f
k
0
a
f
k
< br>0
表三：
（根在区间上的分布）
分
布
情
况
两根都在
m
,
n
内
仅一根在
m
,
n
内
(
另一根不为
m,n
）
两根分别
m
,
n
与
两根分别在区间
p
,
q
内，
<
/p>
m
,
n
外
大
致
图
象
（
a
0
）
0
f
<
/p>
m
0
f
n
0
b
m
n
2
a
<
/p>
大
致
图
象
（
a
0
）
f
m
< br>0
f
n
0
f
f
m
0
f
< br>n
0
得
出
的
结
论
f
m
f
n
0
p
< br>0
f
q
0
0
f
m
0
< br>
f
n
0
b
m
n
2
a
得
出
的
结
论
< br>f
m
f
n
0
f
m
0
< br>f
n
0
f
p
0
f
m
0
< br>f
n
0
f
q
0
综
合
结
论
（
不
讨
论
a
）
< br>
0
f
(
m
)
f
(
n
)>
0<
/p>
b
m
<-
<
n
2
a
f
m
< br>f
n
0
f
m
f
n
0
f
p
< br>
f
q
0
f
(
m
)
f
(
n
)>0