韦达定理及其应用竞赛题
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韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
【内容综述】
设
一
元
二
次
方
程
有
二
实
数
根
，
则
，
< br>
。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数
a
，
b
，
c
的关系，
称之为
韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次
方程的重要理论在初中数学
竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1
．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以
求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★
例
1
<
/p>
若
a
，
b
为实数，且
思路
注意
a
，
b
为方程
解
（
1
）当
a=b
时，
（
2
）当<
/p>
韦达定理得
，
ab=1.
；
时，由已知及根的定义可知，
a
，
b
分别是方程
的两根，由
，
的二实根；
（隐含
，求
）
。
的值。
说明
此题易漏解
a=b
的情况。根的对称多项式
方程的系数表达出来。一般
地，设
有递推关系。
，
为方程
，
，
的二根，
等都可以用
，则
< br>其中
n
为自然数。由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一
种最基本方法即分别解出
a
，
b
值进而求出所求多项式值，但计算量
较大。
★★★
例
2
若
，
且
，试求
代数式
的值。
思路
此例
可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为
，由根的定义知
m
，
n
为方程
的二不等实根，再由韦达定
66
韦达定理及其应用
理，得
∴
，
2
．构造一元二次方程
如果我
们知道问题中某两个字母的和与积，
则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根
的一元二次方程。
★★★★
例
3
设一元二次方程
（
1
）试求以
（
2
）若以
程。
解
（
1
）由韦达定理知
所以，
所求方程为
，
。
，
。
。
和
和
为根的一元二次方程；
为根的一元二次方
程仍为
。求所有这样的一元二次方
的二实根为
< br>和
。
（
2
）由已
知条件可得
解之可得由②得
，
分别讨论
（
p,q
）
=(0,0)
，
(1,0)
，
(
1
,0)
，
(0,1)
，
(2,1)
，<
/p>
(
2
,1)<
/p>
或
(0,
1
)
。
于是，得以下七个方程
x
2
，
2
，
，
，
，
2
x
1
0
，
x
2<
/p>
1
0
，其中
x
1
0
无实数根，舍去。其余六个方程均为所求
。
3
．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别
式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★
例
4
已知<
/p>
a
，
b
，
c
为实数，且满足条件：
，
< br>，求证
a=b
。
67
韦达定理及其应用
证明
由已知得
，
。
根据韦达定理的逆定理知，以
a
，
b
为根的关于
x
的实系数一元二次方程为
①
由
a
，
b
为实数知此方程有实根。
∴
c
2
0
，故
c=0<
/p>
，从而
。
。这
表明①有两个相等实根，即有
a=b
。
说明
<
/p>
由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得
c=0<
/p>
后，由恒等式
可得
定的跳跃性思维。
4
．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，
可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程
⑴方程有二正根
⑵方程有二负根
⑶方程有异号二根
⑷方程两根均为“
0”
★★★
例
5
设一元二次方程
范围。
⑴二根均大于
1
；
⑵一根大于
1
，另一根小于
1
。
思路
设方
程二根分别为
，
大于
1
，另一根小于是等价于
解
设此方程的二根为
，
，
，
则二根
均大于
1
等价于
和
，则
。
异号。
和
同
时为正；
一根
的实根符号判定有下述定理：
，
ab<0
，
ac>0
；
，
ab>0
，
ac>0
；
，
ac<0
；
，
b=c=0
，
；
的根分别满足下列条件，试求实数
a
的
，
即
a
=b
。
此方法较第一种烦琐，
且需一<
/p>
⑴方程二根均大于
< br>1
的条件为
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