数学九年级上册(人教版) 知识点总结
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数学九年级上册（人教版）
知识点总结
第二十一章
二次根式
21.1
二次根式
1.
二次根式：式子
(a
≥
0)
叫做二次根式。
2.
最
简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（
1
）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（
2
）被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式。如
不是最简二次根式，
因被开方
数中含有
4
是可开得尽方的因
数，又如
，
，
..........
都不是最简
二次根式，而
，
，
5
，
都是最简二次根式。
3.
同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，
如果被开方数相同，
这几个二次
根式就叫做同类二次根
式。
如
=3
，它们与
,
,
就是同类二次根式，
因为
=2
，
的
被开方数均为
2
。
4.
有理化因式：
两个含有二次根
式的代数式相乘，
如果它们的积不含有二次根式，
则说这
两个代数式互为有理化因式。
如
互为有理化因式。
与
，
a+
与
a-
，
-
与
+
，
二次根式的性质：
1.
(a
≥
0)
是一个非负数
,
即
≥
0;
)
2
=a(a
≥
0)
；
2.
非负数的算术平方根再平方仍得
这个数，即：
(
3.
某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即
=|a|=
=
²
（
a
4.
非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，<
/p>
即
≥
0,b<
/p>
≥
0
）。
5.
非负
数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，
即
=
（
a
< br>≥
0,b>0
）。
21.2
二次根式的乘除
1.
二次根式的乘法
两个二次根式相乘，
把被开方数相乘，
根指数不变，
即
（
≥
0
，
≥
0
）
。
说明：
（
1
）
法则中
、
可以是单项式，
也可以是多项式，
要注意它们的取值范围，
、
都是非负数；
（
2
）
0
）；
（
3
）等式
（
≥
0
，
≥
0
）
可以推广为
（
≥
0
，
≥
0
，
≥
0
，
≥
0
）。
（
（
≥
0
，
≥
（
≥
0
，
≥
0
）也可以倒过来使用，即
≥
0
，
≥
0
）
。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式
进行化简。
2.
二次根式的除法
两个二次根式相除，
把被开方数相除，根指数不变，即
（
≥
0
，
＞
0
）。
说明：
（
1
）法则中
、
可以是单项式，也可以是多
项式，要注意它们的取值范围，
≥
0
，
在分母中，因此
＞
0
< br>；
（
2
）
（
≥
0
，
＞
0
）
可以推
广为
（
≥
0
，
＞
0
，
≠
0
）
；
（
3
）等式
（
≥
0
，
＞
0
）也可以倒过来使用，即
（
≥
0
，
＞
0
）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3.
最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（
1
）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（
2
）被开方数中不
含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
说明：
（
1
）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（
2
）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把
它们化成乘积式，再进行化简；
（
3
）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。
21.3
二次根式的加减
1.
同类二次根式
（
1
）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如
果被开方数相同，这几个二次根式
叫同类二次根式。
注：
判断几个二次根式是否为
同类二次根式，
关键是先把二次根式准确地化成最简二次
根式，
再观察它们的被开方数是否相同。
< br>（
2
）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合
并同类项的方法类似，系数相
加减，二次根号及被开方数不变。
2.
二次根式的加减
（
1
）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别
合并。
（
2
）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号
再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：
i
）将每一个二次根式都化简成最简二次根式
ii
）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次
根式结合成一组
iii
）合并同类二次根式
3.
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、
除法、
加、
减法则的综合应用，
在进行二
次根式的混合运算时应注意以下几点：
（
1
）观察式子的结构，选择合理的运算顺
序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序
一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先
算括号内的。
（
2
）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二
次根式的
和可以看作是“多项式”。
（
3
）观察式中二次根式的特点，合理
使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算
律和运算性质，在二次根式的运算中都可
以应用。
4.
分母有理化
（
1
）我们在前面的学习中研究了分母形如
综合起来，常见的有理化因式有：①
为
，③
的有理化因式为
的有理化因式为
形式的分式的分母有理化
，②
的有理化因式
，⑤
的有理化因式为
，④
的有理化因式为
（
2
）分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母
的有理化因式，将分母中的根号去掉
的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般
都是通过分母有理化而进行的。
第二十二章
一元二次方程
22.1
一元二次方程
在一个等式中
，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
2
次的整
式方程叫做
一元二次方程
。
一元二次方程
有四个特点：
(1)
只含有一个未知数
；
< br>(2)
且未知数
次数最高次数是
2
；
(3)
是整式
方程．要判断一个方程是否为一
元二次方程，先看它是否为整
式方程，
若是，再对它进行整理．如果能整理为
ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为
一元二次方程
．
（
4
）将方程
化为一般形式：
ax^+bx+c
=0
时，应满
足（a≠
0）
22.2
降次——解一元二次方程
解一元
二次方程的基本思想方法是
通过
“降次”将它化为两个一元一
次方程。
一
元二次方程有
四种解法：
1
、直接开平方法：
用直接开平方
法解形如
(x-
m)2=n (n≥0)的方程，其解为
x=± m.
<
/p>
直接开平方法
就是平方的逆运算
.
通常用根号表示其运算结果
.
2
、配方法
通过配成完全平方式的方法，
得到一元二次方程的根的方法。
这
种解一元二次方程的方法称
为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.
转化：
< br>将
此一元二次方程化为
ax^2+bx+c=0
的形式
(
即一
元二次方
程的一般形式）
2.
系数化
1
：
将二次项系数化为
1
3.
移项：
将
常数项移到等号右侧
4.
配方：
等
号左右两边同时加上一次项系数
一半的平方
< br>
5.
变形：
将
等号左边的代数式写成完全平方
形式
6.
开方：
左
右同时开平方
7.
求解：
整
理即可得到原方程的根
3
、公式法
公式法：
把一元二次方程化成一般形式，
然后计算判别式△
=b2-4ac
的值，
当
< br>b2-
4ac≥0
时，
把各项系
数
a, b, c
的值代入求根公式
x
=(b2-
4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法
：把方程变形为一边是零
，把另一边的二次三项式分解成
两个一次因式的
积的形式，让两个一次
因式分别等于零，得到两个一元一次
方程，解这两个一元一次
方程所得到的
根，
就是原方程的两
个根。
这种解一元
二次方程的方法叫做因式分解法
。
22.3
实际问题与一元二次方程
<
/p>
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展
从列方程解应用题的方法来讲，<
/p>
列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用
题是非常相
似的，
由于一元一次方程未知数是一次，
因此这类问题大部分都
可通过算术方法
来解决．
如果未知数出现二次，
用算术方法就很困难了，
正由于未知数是二次的，
所以
可以
用一元二次方程解决有关面积问题，
经过两次增长的平均增
长率问题，
数学问题中涉及积的
一些问题，经营决策问题等等．
第二十三章
旋转
23.1
图形的旋转
1.
图形的旋转
（
1
）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动
一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
（
2
）生活中的旋
转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分
针、
< br>秒针的转动，
风车的转动等；
另一类则是由某一基本图形
通过旋转而形成的图案，
如香
港特别行政区区旗上的紫荆花图案
。
（
3
）图
形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋
转中心可以在
图形上也可以在图形外。
（
4
）会找对应点，对应线段和对应角。
2.
旋转的基本特征：
（
1
）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角
度。
（
2
）
图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；
（
3
）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有
发生改变。
3.
几点说明：
（
1
）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转<
/p>
角。
（
2
）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。
（
3
）旋转中心的确定分两种情况，即
在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转
过程中位置没有改变，
< br>哪一点就是旋转中心；
若在图形外，
对应点连线的垂直平
分线的交点
就是旋转中心。
23.2
中心对称
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转
180°，假如它能够与另一个图形
重合，那么这刘遇
图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称的性质：
①关于中心对称的刘遇图形，
对应点所连线段都经过对称中心，
而且被对
称中心所平分。②
关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形：把一个图
形绕着某一个点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点的坐标规
律：①关于
x
轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，②关于
y
轴对称：
横坐标互为相反数，纵坐标
不变，③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。
23.3
课题学习
图案设计
灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计．
图案设计就是通过图形变换
(
平移、
旋转、
轴对称或几种的组合
)
把基本图形组成具有一
定意义的新图形，
图案设计时不仅要
看是否正确使用了图形变换，
还要看图案是否很好的体
现了设计
意图．
第二十四章
圆
24.1
圆
定义：（
1
）平面上到定点的距
离等于定长的所有点组成的图
形叫做圆。
（
2)
平
面上一条线段，绕它的一端旋转
360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（
1
）如定义（
1
）中，该定点为圆
心
（
2
）如定义（
2<
/p>
）中，绕的那一端的端点
为圆心。
（
3
）圆任意两条对称轴的
交点为圆心。
（
4
）
垂直于圆内任意一
条弦且两个端点在圆上的线段
的二分点为圆心。
注：圆心
一般用字母
O
表示
直径：通过圆心，并且两
端都在圆上的线段叫做圆的直
径。直
径一般用字母
d
表
示。
半径
：
连接圆心和圆上任意一点的
线段，
< br>叫做圆的半径
。
半径一般用字母
r
表示
。
圆的直径
和半径都有无数条。圆是轴
对称图形，每条直径所在的
直线是圆的对称
轴。在同圆或等圆中：直径是
半径的
2
倍，半径是直径的二分之一
.d=2r
或
< br>r=
二分之
d
。
圆的半径
或直径决定圆的大小，圆心决定
圆的位置。
圆的周长
：围成圆的曲线的长度叫做圆的
周长，用字母
C
表示。
圆的周长
与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长
除以直径的商是一个固定的数
，把它叫做圆周率，它是
一个无限
不循环
小数（无理数
），用字母
π
表示。计算时，通常取它的近似
值，
π
≈3.14。
直径所对
的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径
。
圆的面积
公式：圆所占平面的大小叫做圆
的面积。
π
r^2
，用字母
S
表示。
一条弧所
对的圆周角是圆心角的二分之一
。
在同圆或
等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦相等，所对的弦心距也
< br>相等。
在同圆或
等圆中，
如果两条弧相等
，
那么他们所对的圆心
角相等，
所
对的弦相等
，
所对的弦心距
也相等。<
/p>
在同圆
或
等圆中，
如果两条弦相等
，
那么他们所对的圆心
角相等，
所对的弧相等
，
所对的弦心距
也相等。
< br>
周长计算
公式
1.
、已
知
直径：
C=
π
d
2
、已知半径：
C=2
π
r
3
、已知
周长：
D=c
π
4
、圆周
长的一半
:12
周长
(
曲线
)
5
、半圆的长：
12
周长<
/p>
+
直径
面积计算
公式：
1
、已知
半径：
S=
π
r
平方
2
、已知直径：
S=
π
（
d2
）平方
3
、已知周长：
S=
π
(c2
π
)
平
方
24.2
点、直线、圆和圆的位置关系
1.
点和圆的位置关系
①
点在圆内
点到圆心的距离小于半径
②
点在圆上
点到圆心的距离等于半径
③
点在圆外
点到圆心的距离大于半径
2.
过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3.
外接圆和外心
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
4.
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个
点
叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
5.
直线和圆位置关系的性质和判定
如果
⊙
O
的半径为
r
，圆心
O
到直线
l
< br>的距离为
d
，那么
①
直线
l<
/p>
和⊙
O
相交
<
/p>
d
r
；
②
直线
l
和⊙
O
相切
d
r
；
③
< br>直线
l
和⊙
O
< br>相离
d
r
。
圆和圆
定义：
两个圆没有公共点且每个圆的
点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯
一的公共点且除了这个公共点外，
每个圆上的点都在另一个圆的外部，
< br>叫做
两个圆的外切。
两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，
每个圆上的点都在另一个圆的内部，<
/p>
叫做
两个圆的内切。
< br>两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。
原理：
圆心距和半径的数量关系：
两圆外离＜＝＞
d
＞
R+r
两圆外切＜＝＞
d=R+r
两圆相交＜＝＞
R-r
＝
r)
两圆内切＜＝＞
d=R-r(R>r)
两圆内含＜＝＞
d
24.3
正多边形和圆
< br>1
、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2
、正多边形与圆的关系：
(1)
将
一个圆
n(n
≥
3)
< br>等分
(
可以借助量角器
)
，依次连结各等分点所得的多边形是这个
圆的内接正多边形。
(2)
这个圆是这个正多边形的外接圆。
3
、正多边形的有关概念：
(1)
正
多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)
正多边形的半径——正多边形
的外接圆的半径。
(3)
正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)
正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4
、正多边形性质：
(1)
任何正多边形都有一个外接圆。
(2)
正
多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正
n
< br>边形的对
称轴有
n
条。
(3)
边数相同的正多边形相似。
重点：正多边形的有关计算。
知识讲解
1
、正多边形定义：各边相等，各角
也相等的多边形叫正多边形。
<
/p>
例如：正三角形、正四边形
(
正方形
)
、正六边形等等。如果一个正多边形有
n
条边，那
么，这个多边形叫正
n
边形。
再如：
矩形不是正多边形，
因为它只具有各
角相等，
而各边不一定相等；
菱形不是正多
边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。
2
、正多边形与圆的关系。
正多边形与圆有密切关系，把圆分
成
n(n
≥
3)
等份，依次连结分点所得的多边形是这个
圆的内接正
n
边形。
相邻分点间的弧相等，则所对的弦
(
正多边形
的边
)
相等，相邻两弦所夹的角
(
多边形的
每个内角
)
都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而
这个多
边形就是正多边形。
如：将圆
6
等分，即
，则
AB
＝
BC
＝
CD
＝
DE
＝
EF
＝
FA
。
观察∠
A
、∠
B
、∠
C
、∠
D
、∠
E
、∠
F
所对的弧可以发现都是相等的弧
，所以，∠
A
＝∠
B
< br>＝∠
C
＝∠
D
< br>＝∠
E
＝∠
F
< br>。
所以，将一个圆
6
等分，依次连结各分点所得到的是⊙
O
的内接正六边形。
3
、正多边形的有关计算。
(1)
首
先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心
O
，正
多边形的半径
R
n
——就是其外接圆的
半径，正多边形的边心距
r
n
，正多边
形的中心角
α
n
，正多边形的边长
a
n
。
(2)
正
n
边形的
n
条
半径把正
n
边形分成
n
个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就
是正
n
边形的中心角都等于
；
如果再作出正
n
边形各边的边心距，
这些边心距又把这
n
个等腰三角形分成了
2n
个全等的直角三角形。