用一元二次方程解决实际问题
-
用一元二次方程解决实际问题
知识点
1
：
基本知识
（
1
）一元二次方程的一般形式：
（
2
）一元二次方程的解法：开平方法；分解因
式法；配方法；公式法。
（
3
）判别式：①当判别式
< br>时，方程没有实数根；当判别式
根。
（
4
）根与系数的关系：设一元二次方程
，则
知识点
2
：
列方程解决问题的一般步骤
（
1
）“审
”。阅读理解题意，确定已知，未知，以及它们之间的数量关系。
（
2
）“设”。在审题的基础上设立未知数帮助理解，建立相等的数量关系。
（
3
）“列”。根据题意，列出含有未知数的等式。
（
4
）“解”。就是求出所列方程的解。
（
5
）“检
”。就是解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意。
（
6
）“答”。就是书写答案。但要注意，求出解后，要进行检验。
知识点
3
：
列一元二次方程解决实际问题的常见题型
（
1
）平均增长（降低）率问题（包括百分率，折旧率，利息率）
（
2
）营销问题
（
3
）面积问题（
4
）数字问题
（
5
）几何问题
（
6
）开放题型的讨论
【典型例题】
例
1
：
已知一元二次方程
值。
< br>的一根是另一根的两倍，求方程的两根和
的
，
的二根分别为
时，方程有两个不相等的实数根；
②当
时，方程有两个相等的实数
解：设方程的两根分别为
和
，则：
从而
所以方程的两根为
，
，
。
和
，
的值为
。
例
2
：
当
为何值时，方程组
（
1
）有两个相同的实数解？
（
2
）有两个不相同的实数解？
（
3
）没有实数解？
解：由②得
把③代入①，得
化简得
要使方程组有两个相同的实数解或两个不相同的实数解或没有实数解，
< br>只要方程④有相
等实数根或有不相等的实数根或没有实数根，
因此，
它的判别式就会相应地等于零或大于零
或小于零。<
/p>
方程④的判别式为
（
1
）当
（
2
）当
，即当
时，方程组有两个不相同的实
数解；
，即当
时，方程组有两个相等
的实数解；
（
3
）当
，即当
时，方程组没有实数解；
例
3
：
一种药品经两次降价，由每盒
60
元调至<
/p>
52
元，平均每次降价的百分率是多少？（精确
< br>到
1%
）
解：
设平
均每次降价的百分率为
。
则
答：
每次降价的百分率约为
7%
。
例
4
：
小明同学将
100
元压岁钱第一次按一年期储蓄存入“少儿银行”，
到期后将本金和利
< br>息取出，
并将其中
50
元捐给“
希望工程”，
剩余的全部按一年定期存入，
这时存款的年利率<
/p>
调到第一次存款时年利率的一半，
这样到期后，
< br>可得本金和利息共
63
元，
求第
一次存款时的
年利率。
解：
设第一次存款时间利率为
。
解之：
答：<
/p>
第一次存款的年利率为
10%
。
例
5
：
汽车交易市场有一辆原价为
12
万元的车，
但已使用三年，
如果第一年的折旧率为
20%
，
以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车值
7.776
万元，求这辆轿车第二年，第三年平
均的折旧率。
解：
设这辆轿车的第二、第三年平均折旧率为
。
∴
答：
平均折旧率为
< br>10%
。
，
（舍去）
，
（舍去）