一元二次方程的知识点梳理
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一、知识结构：
解与解法
一元二次
方程
根的判
别
韦达
定理
二、考点精析
考点一、概念
②
③
(1)
定义：
①
只含有一个未知数
，并且
未知数的最高次数
是
2
，这样的
整式方程
就是一
．．．．．．．．
．．．．．．．．
．
．
．．．．
元二次方程
。
(2)
一般表达式：
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
⑶难点：如何理解
“未知数的最高次数是
2
”
< br>：
①该项系数不为“
0
”
；
②未知数指数
为“
2
”
；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例
1
、下列方程中是关于
x
的一元二次方程的是（
）
1
1
2
A
3
x
1
<
/p>
2
x
1
B
2
2
0
x
x
C
ax
2
bx
c
0
D
x
2
2
x
x<
/p>
2
1
变式：当
k
时
，关于
x
的方程
kx
< br>2
2
x
x
2
3
是一元二次方程。
例
2
、方程
m
2
x
m
3
mx
1
0
是
关于
x
的一元二次方程，则
m
的值为
。
针对练习：
1
、方程
8
x
2
7
的一次项系数是
，常数项是
。
2
、若方
程
m
2<
/p>
x
m
1
0
是关于
x
的一元一次方程，
⑴求
m
的值；⑵写出关于
x
的一元一次方程。
3
、若方程
m
1
x
2
m
•
x
1
是关于
x
的一元
二次方程，则
m
的取值范围是
。
4
、若方
程
nx
m
+x
n
-2x
2
=0
是一元二次方程，则下列不可能的是（
）
A.m=n=2
B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
- 1 -
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⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例
1
、已知
2
y
2
y
3
的值为
2
，则
4
y
2
2<
/p>
y
1
的值为<
/p>
。
例
2
、
关于
x
的一元二次方程
a
2
x
2
x
a
2
4
0
的一个根为
0
，
则
a
的值为
。
例
3
、已知关于
x
的
一元二次方程
ax
2
bx
c
< br>0
a
0
的系数满足
a
< br>
c
b
，则此方程
必有一根为
。
例
4
、已知
a
,
b
是方程
x
2
4
x
m
0
的两个根，
b
,
c
是方程
y
2
8
y
5
m
0
的两个根，
则
m
的值为
。
针对练习：
1
、已知方程
x
2
< br>kx
10
< br>0
的一根是
2
，则
k
为
，另一根是
。
2
、已知
关于
x
的方程
x
2
kx
2
0
的一个解与方程
⑴求
k
的值；
⑵方程的另一个解。
3
、已知
m
是方程
x
2
x
1
0
的一个根，则代数式
m
2
m
。
4
、已知
a
是
x
2
3
x
1
0
的根，则
2
a
2
6
a
。
5
、方程
a
b
x
2
b
c
x
c
< br>
a
0
的一个根为（
）
A
1
B 1
C
b
c
D
a
x
1
3
的解相同。
x
1
6
、若
2
x
5
y<
/p>
3
0
,
则
4
x
•
32
y
。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法
：
x
2
m<
/p>
m
0
,
x
m
对于
x
< br>a
m
，
ax
m
bx
n
等形式
均适用直接开方法
2
2
2
典型例题：
例
1
、解方程：
1
2
x
2
8
0
;
2<
/p>
25
16<
/p>
x
2
=0;
3
1
x
9
0
;
2
- 2 -
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例
2
、若
9
x
1
16
x
2
，则
x
的值为
。
2
2
针对练习：下列方程无解的是（
）
A.
x<
/p>
2
3
2
x
2
1
B.
x
2
0
C.
2
x
3
1
x
D.
x
2
9
<
/p>
0
2
类型二、
因式分解法
:
x
x
1
x
x
2
0
x
x
1
,
或
x
x
2
方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，
右边为“
0
”
，
方程形式：如
ax
m
< br>
bx
n
，
x
a
x
b
x
a
x
c
，
2
2
典型例题：
例
1
、
2
x
x
3
5
x
3
的根
为（
）
A
x
5
5
2
B
x
3
C
x
1
,
x
2
3<
/p>
D
x
2
5
2
2
例
2
、若
4
x
y
3
4
x
y
4
0
，则
4x+y
的值为
。
变式
1<
/p>
：
a
2
b
2
a
2
2
b
2
6
0
,
则
a
2
<
/p>
b
2
。
变式<
/p>
2
：若
x
y
2
x
y
3
0
，则
x+y
的值为
。
< br>变式
3
：若
x
< br>2
xy
y
14
，
y
2
xy
x
28
，
则
x+y
的值为
。
例
3
、方程
x
2
x
6
0
的解为（
）
A.
x<
/p>
1
3
，x
2
2
B.
x
1
3
，x
2
2
C.
x
1
3
，x
2
3
D.
x
1
2
，x
2
2
针对练习：
1
、下列说法中：
< br>①方程
x
2
< br>px
q
0
的二根为
x
1
< br>，
x
2
，则
x
2
px
q
(
x
x
1
)(<
/p>
x
x
2
)
②
x
2
6
x
8
(
x
2
)(
x
4
)
.
③
a<
/p>
2
5
ab
6
b
2
(
a
2
)(
a
3
)
④
x
2
y
2
(
x
y
)(
x
y
)(
x
y
< br>)
⑤方程
(
< br>3
x
1
)
2
7
0
可变形为
(
3
x
1
<
/p>
7
)(
3
x
1
7
)
0
正确的有（
）
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
2
、以
1
7
与
1
7
为根的
一元二次方程是（）
- 3 -
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