一元二次方程根的判别式及根系关系
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一元二次方程根的判别式及根系关系
一、根的判别式的应用
【基础知识】
若方程
ax
2
bx
c
0(
< br>a
0)
，
Δ
b
4
ac
（
1
）
△＞
0
，
（
2
）
△
=0
（
3
）
△＜
0
，
【典型应用】
1
、不解方程，判断方程根的情况
<
/p>
例
1
，判断下列方程根的情况
（
1
）
3
x
1
2
x
（
2
）
x
mx
m
2
0
（
m
为常数）
练习
1<
/p>
、求证方程
2
x
4
m
<
/p>
1
x
m
2
m
一定有两个不相等的实根
2
2
2
2
2
例
2
、根据
m
的取值，判断关于
x
的方程
2
mx
2
8
< br>m
1
x
8
m
0
的根的情况
练习
2
、已
知方程
x
6
x
m
8<
/p>
0
没有实数根
求证：方程
x
m
2
x
2
m
1
0
有两个不相等的实根
2
2
2
、已知
方程根的情况，求方程式中待定系数的值（取值范围）
例
3
、若关于
x
的方
程
m
2
x
2<
/p>
2
m
1
x
1
0
有两个实数根
求满足条件的最大整数
m
的值
练习
3
、若
关于
x
的方程
m
2
1
x
2
2
m
2
x
1
0
有实根
求
m
的取值范围
注意：
运用△时，必须在
a
0
的前提下进行
二、根与系数的关系的应用
【基础知识】
若方程
ax
2
bx
c
0(
< br>a
0)
，当△≥
0
时，方程有两根：
x
1<
/p>
x
2
，则
x
1
x
2
；
x
1
x
2
；
若
x
1
0
，则
；若
x
1<
/p>
,
x
2
互为相反
数，则
；若
x<
/p>
1
,
x
2
互为倒数，则
若
x
1
1
，则<
/p>
；若
x
1
1
，则
【典型应用】
1
、已知方程的一根，求另一根及待定系数的值
例
4
、已知方程
x
2
kx
5
0
有一个根是
2<
/p>
，求另一根及
k
的值
练习
4
、已知方程
x
2
3
x
m
0<
/p>
的一个根是另一个根的
2
倍，求
m
的值及两根
；