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2021年2月13日发(作者：如果一个女人)

第八讲

正方形内接含

45°

角的三角形

设点< /p>

M

、

N

分别在正 方形

ABCD

的边

BC

，

CD

上，若

∠

MAN

=45°

，则称

△< /p>

AMN

为正方形

ABCD

的内接含

45°

角的三角形

.

例

1

．

设正方 形

ABCD

的边长为

1

，

AB

，

AD

上各有一点

P

，

Q

< p>
，

若

△

APQ

< p>
的周长为

2

，

求∠

PCQ

的度数

.

D

C

Q

A

P

B

例

2

．

设点

M

、

< p>
N

分别在正方形

ABCD

的边

BC

、

CD

上，连结

AM

、

AN

、

MN

则

< br>（

1

）∠

MAN

=45°



MN

=

< p>
BM

＋

DN

；

< p>



S

（

2

）∠

MAN

=45°

ABM



S

ADN



S

A MN

；

（

3

）当

MF

⊥

A N

于

F

，

NE

⊥

AM

于

E< /p>

时，∠

MAN

=45°

< br>

B

、

E

、

F

、

D

四 点共线

.

例

3

．

设点

M

、

N

分别在正方形

ABCD

的边

BC

、

CD

上，

连结

AM

、

AN

、

MN

，

且∠

MAN

=45°

，

则（

1

）作

AH

⊥

MN

于

H

，有

AH

=

AD

；

（

2

）作

MF

⊥

AN

于

F

时， 知

F

为

△

AM C

的外心；作

NE

⊥

< br>AM

于

E

时，知

E

为

△

ANC

的

外心，且∠

CFN

=2

∠

BAM

，∠

CE M

=2

∠

DAN.

1

A< /p>

D

F

N

E

B

M

C

< p>
例

4

．

如图，在正方形< /p>

ABCD

中，已知

E

、

F

分别是边

BC

、

CD

上的点，满足

EF

=

BE

＋

DF

，

AE

、

AF

分别与对角线

BD

交于

M

、

N

，求证：

< br>

（

1

）∠

EAF

=45°

；

D

A

（

2

< br>）

MN

2



BM

2



DN

2

.

N

F

M

B

E

C

例

5

．

如图已知正方形

A BCD

被两条与边平行的线段

EF

、< /p>

GH

分割成四个小矩形，

P

是

EF

与

GH

的交点。若矩形

PFCH

的面积恰是矩形

< p>
AGPE

面积的

2

倍，试 确定∠

HAF

的大小，并

证明你的结论

.

（

1998

年北京市竞赛复赛题）

A

E

D

G

P

F

H

例

6

．

已知：如图，正方形

ABCD

中，

M

为

AB

的中点，

MN

⊥

DM

，

MN

与∠

CBE

的平分线交于

N< /p>

，求证

:

MD

=

MN

．

B

C

例

7

．

点

M

、

N

分别在正方形

ABCD

的边

CB

、

DC

的延长线上，则（

1

）若∠

MAN

= 45°

，则

MN

=

DN

－

BM

；

（

2

）若

MN

=

DN

－

BM

，则∠

MAN

=45°

.

A

D

M

B

C

N

练

习

反

馈

2

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