反比例函数中k的几何意义及应用.
-
例析反比例函数中
k
的几何意义及应用
陆智勇
(
云南省广南县篆角初级中学
邮编
：
663312
电话：
)
反比例函数中
k
的几何意义就是反比例函数图象上的任意一点的横坐标与纵
坐标的乘积都等于比例系数
K
的值，如图①所示
.
过
P
作
x
轴、
y
轴的垂线
PA
、
PB
，
垂足为
A
、
B
，连结
OP,
则有（１）
S
矩形
AOBP
=PA
·
PB=|y|
·
|x|
=|xy|=|k|
；
（２）
S
AOP
S
BOP
略举说明
。
1
1
OA
PA
K<
/p>
.
能灵活运用这两个结
2
2
y
论解有关反比例函数的问题，
< br>会给解题带来很多方便。
现
y
P(m,n)
B
一、求交点坐标和面积
8
例
1
如图②，已知反比例函数
y
与
一次函数
x
A
A
x
O
o
x
图①
y
<
/p>
x
2
的图象交于Ａ、Ｂ两点。
（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标；
（２）求△ＡＯＢ的面积。
A
N
M
O
B
y
8
y
,
解
:
(
1
)
联立
x
y
x
2
.
x
x
<
/p>
4
,
x
2
,
解得
或
y
2
< br>;
y
4
.
图②
<
/p>
A
(
2
,
4
),
B
(
4
,
2
).
(
2
)
解法一
:
y
x
2
,
当
y
0
时
,<
/p>
x
2
,
M
(
2
,
0
).
OM
2
.
1
作
AC
<
/p>
x
轴于
C
,
BD
x
轴于
D
.
y
A
N
M
D
C
O
B
x
AC
4
,
BD
<
/p>
2
,
S
OMB
1
1
OM
BD
2
2
2
,
2
2
1
1
S
OMA
OM
AC
2
4
4
.<
/p>
2
2
S
AOB
S
OMB
S
OAM
2
4
6
.
图③
(<
/p>
2
)
解法二
:<
/p>
y
x
2
,
当
x
0
时
,
y
2
,
N
(
0
,
2
).
ON
2
.<
/p>
作
AC
y
轴于
C
,
BD
y
轴于
D
.
AC
2
,
BD
4
,
A
C
N
y
1
1
<
/p>
S
ON
BD
2
4
4
,
ONB
2
2
O
D
M
x
B
1
1
S
ONA
ON
AC
2
2
2
.
2
2
S
S
< br>O
NB
S
O
NA
4
2
6
.
AO<
/p>
B
二、比较面积的大小
y
图④
例
2
如图⑤，
在
y
1
<
/p>
(
＞
0
）
的图像上有三
A
点
A,B,C,
经过三点分别向
轴引垂线，
交
轴
于
A
1
,
B<
/p>
1
,
C
1
三点，连接
OA
，
O
B
，
OC
，记△
OAA
1
,
S
1
S
2
B
C
S
3
C
1
x <
/p>
△
OBB
1
,<
/p>
△
OCC
1
,<
/p>
的面积分别为
S
1
,
S
2
,
S
3
,
则
有
.
o
A
1
B
1
图⑤
2
A.S
1
=
S
2
=
S
3
B.
S
1
<
S
2
<
S
3
C.
S
3
<
S
1
< S
2
D. S
1
>
S
2
>S
3
解
:
由性质
(1)
得
1
1
1
1
|
k
|
,
S
BOB
1
|
k
|
,
2
< br>2
2
2
1
1
S
O
OC
1
|
k
|
,
即
S
1
S
2
S
3
,
故选
A
.
2
2
S
AOA
1
三、确定解析式
例
3
如图⑥，反比例函数
y
K
(
K
﹤
0
)
x
的图象经过点
A
（
3
,
m
），过
A
作
AB
⊥
轴于
点
B
，
S
AO
B
< br>
3
.
（
1
）求
K
和
m
的值
.
(2)
若过
A
点的直线
y=a
+b
与
轴交于点
C
，且∠
ACO=30
,
求
直线的解析
式
.
解
: (1)
由性质
< br>(2)
得
S
< br>
AOB
图⑥
1
1
K
,
∴
3
K
.
2
2<
/p>
K
2
3
.
又
图像在二、四象限
,
K
2
3
.
解析式为
y
2
3
.
2
3
把（
3
，
< br>m
)
代入
y
得
3
(2
)
①连接
AC
2
，
则在
Rt
△
AB
C
2
中，
∵
AB=2
，∠
< br>A
C
2
O=30
,
AC
2
4
,
BC
2
2
3
.
<
/p>
OC
2
BC<
/p>
2
BO
3
.
C
2
的坐标为（
3
,
0
).
把
C
（
2
3
,
0
)
和
A
（
3
，
2
）代入
y
a
b
得
解
:<
/p>
(
1
)
3
a
b
0
,
3
a
b
2
.
<
/p>
解方程组得
a
3
,<
/p>
3
b
1
.
解析式为
y
3
3
1
< br>.
②
连接
AC
1
，
则在
Rt
△
AB
C
1
中，
AB=2
，∠
A
C
< br>1
O=30
,
AC
1
4
< br>,
BC
1
2
3
.
OC
1
BC
1
BO
3
3
.
C
1
的坐标为（
3
3
,
0
).<
/p>
4
m
2
.
∵