不定方程
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不定方程
所谓不定方程，
是指未知数的个数多于方程个数，
< br>且未知数受到某些
（如要求是有理数、
整数或正整数等等
）
的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，
是数论的重要分支学科，
也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集
合数论等等都有较为密切
的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，
每
年世界各地的数学竞赛吉，
不定方程都占有一席之地；
另外它也是培养学生思维能力的好材
料，
数学
竞赛中的不定方程问题，
不仅要求学生对初等数论的一般理论、
方法有一定的了解，
而且更需要讲究思想、
方法与技巧，
创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基
础性的题目。
基础知识
1
．不定方程问题的常见类型：
（
1
）求不定方程的解；
< br>
（
2
）判定不定方程是否有解
；
（
3
）判
定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2
．解不定方程问题常用的解法：
<
/p>
（
1
）代数恒等变形：如因式分解、配方
、换元等；
（
2
）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（
3
）同余法：对等式两边取特殊的模
（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出
不定方程的整数解或判定其无解；
（
4
）构造法：构
造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多
解；
（
5
）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：
（一）二元一次不定方程（组）
定义
1
.
形如
(<
/p>
不同时为零
)
的方程称为二元一次不定方
程。
定理
1
.
方程
有解的充要是
；
定理
2
.
< br>若
，且
为
的一个解，则方程的一
切解都可以表示成
为任意整数
)
。
定理
3
.
元一次不定方程
充要条件是
方法与技巧：
.
，
(
)
有解的
1
．
解二元一次不定方程通常先判定方程有无解
。
若有解，
可先求
一个特解，
从而写出通解。
当不定方程系数不大时，
有时可
以通过观察法求得其解，即引入变量，
逐渐
减小系数，直到容易
得其特解为止；
2
．解
元一次不定方程
，
时，可
先顺次求出
……，
.
若
，则方程无解；若
|
，则方
程有解，作方程组：
求出最后一个方程的一切解，然后把
第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
<
/p>
的每一个值代入倒数
3
．
而消去了
个
元一次不定方程组成的方程组，其中
个不定方程，将方程组转化为一个
，可以消去
个未知数，从
元的一次不定方程。
（二）高次不定方程（组）及其解法
1
．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，<
/p>
转而求解若干个方程组；
2
．
同余法：
如果不定方程
满足
石；
有整数解，
则对于任意
，
其整数解
，
利用这一条件，
同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金
3
．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，
再分别求解；
4
．无限递降法：若关
于正整数
的命题
的最小正整数，
可以推
出：
存在
方法与技巧：
，
使得
对某些正整数成立，设
是使
成立
成立，
适合证明不定方程无
正整数解。
1
．因式分解法是不定方
程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解
法作为解题的一种手段，没
有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2<
/p>
．
同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，
为进一步求解或求证作准备。
同余的关键是选择适当的模，它需要经过多
次尝试；
3
．不等式估计法主要针对
方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有
界集，
则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，
逐一检验，求出全部解；
若方程的
实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的
不等式；
4
．
无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，
使得它比已选择的解
“严格地小”
，
由此产生矛盾。
（三）特殊的不定方程
1
．利用分解法求不定方程
整数解的基本思路：
将
转化为
后，若
可分解为
，则解的一般形式为
，再取舍得其整数解；
2
．
定义
2
：形如
的方程叫做勾股数方程，这里
为正整数。
对于方程
此
时易知
，如果
，则
，从而只需讨论
的情形，
两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理
3.
勾股数
方程
满足条件
的一切解可表示为：
<
/p>
，其中
且
为一奇一偶。
< br>
推论：勾股数方程
的全部正整数解（
< br>的顺序不加区别）可表示为：
其中
数，
是一个整数。
是互质的奇偶性不同的一对正整
勾股数不定方程
的整数解的问题主要依据定理来解决。
3
．
定义
3
.
方程
种特殊情况，称为沛尔
(Pell)
方程。
且不是
平方数
)
是
的一
这种二元二次方程比较复杂，
它们本质上归结为双曲线方程
都
是整数，
于具体的
使
且非平方数，而<
/p>
的研究，
其中
。它主要用于证明问题有无
数多个整数解。对
，则称
可用尝试法求出一组成正整数解。如果
上述
pell
方程有正整数解
的最小的
正整数解
为它的最小解。
定理
4
.Pell
方程
若
设它的最小解为
且不是平方数
)
必有正
整数解
，则它的全部解可以表示成：
，
且
.
上面的公式也可以写成以下几种形式：
（
1
）
；
（
2
）
；
（
3
）
.
定理
5
.Pell
方程
有无穷多组正整数解
且不是平方数
)<
/p>
要么无正整数解，
要么
，且在后一种情况
下，设它的最小解为
，则它的全部解
可以表示为
为整数
)
无正整数解。
定理
6
.
<
/p>
（费尔马（
Fermat
）大定理）
方程
费尔马（
Fermat
）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在
1994
年
6
月，美国
普林斯顿大学的数学
教授
完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的<
/p>
数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。
典例分析
例
1
．
求不定方程
的整数解。
解：
先求
的一组特解，
为此对
37
，
107
< br>运用辗转相除法：
，
将上述过程回填，得：
，
由此可知，
，
是方程
是方程
的一组特解，于是
的一
组特解，因此原方程的
一
切整数解为：
。
例
2
．求不定方程
的所有正整数解
。
解：用原方程中的最小系数
7
去除方程的各项，并移项得：
因为
是整数，故
也一定是整数，于是有
，再用
5
去除比式
的两边，得
，令
为整数，由此得
。