不定方程的解法研究
-
x
3
=
2
x
4
+
(31
x
4
+
2)
/
268
令
x
5
=
(31
x
4
+
2)
/
268
↔
Z
↓
x
4
=
8
x
5
+
(20
x
5
-
2)
/
31
令
x
6
=
(20
x
5
-
2)
/
31
↔
Z
↓
x
5
=
2
x
6
+
(
-
9
x
6
+
2)
/
20
令
x
7
= (
-
9
x
6
+
2)
/
20
↔
Z
↓
x
6
=
-
2
x
7
+
(
-
2
x
7
+
2)
/
9
令
x
8
= (
-
2
x
7
+
2)
/
9
↔
Z
↓
x
7
=
-
5
x
8
+
1
+ x
8
/
2
令
x
9
=
x
8
/
2
↔
Z
↓
x
8
=
2
x
9
x
3
=
2
x
4
+
x
5
=
2
×
(268
x
9
-
26)
+
(31
x
9
-
3)
=
567
x
9
-
55
↑
x
4
=
8
x
5
+
x
6
=
8
×
(31
x
9
-
3)
+
(20
x
9
-
2)
=
268
x
9
-
26
↑
x
5
=
2
x
6
+
x
7
=
2
×
(20
x
9
-
2)
+
(
-
9
x
9
+
1)
=
31
x
9
-
3
↑
x
6
=
-
2
x
7
+
2
x
9
=
-
2
×
(
-
9
x
9
+
1)
+
2
x
9
=
20
x
9
-
2
↑
x
7
=
-
5
x
8
+
1
+ x
9
=
-
5
×
2
x
9
+
1
+
x
9
=
-
9
x
9
+
1
↑
→→
通过辗转相除并且逐步回代，得到
x
1
1969
x<
/p>
9
191
<
/p>
x
2
1402
x
9
136
，
t
191
x
1
1969
<
/p>
t
136
<
/p>
x
2
1402
.
t
0
,
1,
2,
.
于是，方
程
(3)
的所有解为
由上面的过程可以看出，这种方法是对整个方程运用了辗转相除法，而前一
< br>种方法只是对系数运用了辗转相除法
.
对于二元不定方程
来说，这种方法比较繁
琐，但是可以推广到多元一次不定方程
.
一般的
k
元
一次不定方程还可以转化为由
k
1<
/p>
个二元一次不定方程构成的方
程组，且它的通解中恰有
k
1
个参数
.
下面的命题可以证明这个结论
.
命题
3
[5]
设
g
1
=
a
1
,
g
2
=
(
g
1
,
a
2
)
=
(
a
1
,
a
2
)
,
g
3
=
(
g
2
,
g
3
)
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
),…
,
g
k
= <
/p>
(
g
k
-1
,
a
k
)
=
a
1
,
,
a
k
.
那么，不定方程
(1)
等价于下面的
2
k
1
个整数变数
x
1
,
…
,
x
k
,
y
2
, … ,
y
k
-1
.
k
-1
个方程的不定方程组：
g
k
1
y
k
1
a
k
x
k
b
,
g
y
<
/p>
a
x
g
y
,
k
2
k
2
k
1
k
1
k
1
k
1
<
/p>
(4)
g
y
a
x
g
y
,
3
3
< br>3
3
2
2
g
1
x
1
a
2
x
2
g
2
y
2
.
当方程
(1)
有解时，它
的通解有
k
-1
个参数的线性表达式给
出
.
证
先来证等价性
.
若
x
1
,
…,
x
k
,
y
2
,
…,
y
k
-1
是方程组
(4)
的解，则显然
x
1
,
…
x
k
是
(1)
的解
.
反之，若<
/p>
x
1
, …,
x
k
是
(1)
的
解，则取
y
j
1
(
a
1
x
1
a
j
x
j
< br>),
2
j
k
1
.
g
j
显然
，
y
i
是整数，
且
x
1
, …,
x
k
,
y
2
, …,
y
k
-1
是
(4)
的解
< br>.
由命题
1
容易看出，
方程组
(4)
的第一个方程和方程
(1)
一样，
有解的充要条件是
g
k
b
而方程组
< br>(4)
的其余的方
程，当把
y<
/p>
i
看作参数
(
取
整数时
)
，每个变数为
y
i
-1
，
x
j
的二元一次不定方程
g
j
1
y
j
1
a
j
x
j
g
< br>j
y
j
(5)
总是可解得，这里
j
依次取
k
-1
，
…2.
一定可以
找到
y
(0)
j
-1
,
x
(0)
j
使
)
(
0
)
g
j
1
y
(
j
0
a
x
< br>
g
i
(6)
1
j
j
)
(
0
)
这样
y
i
y
(
j
0
1
,
y
j
x
j
就是
(5)
的一组特解，所以
(5
)
的通解是
y
j
1
y
j
y
(
0
)
j
1
a
j
g
j
t
< br>t
1
,
x
j
y
j
y
(
0
)
j
g
j
1
g
j
t
t
1
< br>.
(7)
t
j
1
0
,<
/p>
1
,
2
,
(
2
j
k
1
)
.
当
(1)
有解，即
g
k
b
< br>时，方程组
(4)
的第一个方程可解，其通解是
(
y
k
-1,0
,
x
k
,0
是一组
特解
)
y
k
1
y
k
1
,
0
a
< br>k
g
t
k
1
,
x
k
x
k
,
0
k
1
t
k
1
.
g
k
< br>g
k
(8)
t
k
1
0
,
1
,
2
,
.
< br>
式
(8)
已经给出了
y
k
-1
和
x
k
的参数
t
k
-1
的表达式
.
由
y
k
-1
的参数表达式及式
(7)(
j
< br>=
k
-1)
可得到
y
k
-2
和
x
k
-1
的参数
t
k
-1
，
t
k
-2
的表达式；进而由<
/p>
y
k
-2
的参数
表达式及
(7)(
j
=
k
-2)
可得到
y
k
-3
和
x
k
-2
的参数
t
k
-1
，
t
k
-2
，
t
k
-3
的表达式；
依次就得到
y
j
-1
和<
/p>
x
j
(
j
=
k
-3
，
…
，
2)
的参数
t
k
-1
，
…
t
j
-1
的表达式
.
这就给出了
方程组
(5)
变元
x
< br>1
,
,
x
k
,
y
2
,
,
y
k
1
(
注意
x
1
=
y
1
)
的通解公式，
其中有
k
1
个参数
t
1
，
…
，
t
k
-1
.
显然，
其中的一部分
——
x
1
, …,
x
k
的参数表示式就给出了不定方程
(1)
的通解公式
.
证毕
.