不定方程及方程组
-
不定方程（组）及应用
【知识点拨】
不定方程式数论中的
一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，
“百鸡问题”
、
“中国剩余定理”等一直流传至今。
当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）
< br>为不定方程（或不定方程组）
。
为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方
程，
是因为他们的解不确定（不唯一）
。一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解
有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，
解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。
【典型例题】
例
1
、
<
/p>
求不定方程
5x
＋
9y=104
的整数解
【巩固训练】
1
、在不定方程
89
－
7a=4b<
/p>
中，
a
、
b
均为自然数，求此不定方程的解。
例
2
、求三元一次不定方程组
1 <
/p>
5
x
6
y
z
20
3
x
y
4
< br>z
12
的正整数解。
【巩固训练】
1
、求不定方程组
7
x
9
y
11
z
68
2
x
y
10
的正整数解。
例
3
、甲级铅笔
7
分钱一支，乙级铅笔
3
分钱一支，问张明用
6
角钱恰好买两种铅笔共
多少支？
【巩固训练】
装水瓶的盒子有大小两种，大的能装
7
个，小的能装
4
个，要把
41
个水
瓶装入盒
内。问需要大小盒子各多少个？
2
例
4
、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过
50
度，每度收
4
角
5
分，如果超过
50
度，<
/p>
超过部分每度收
8
角，
< br>今年七月，
甲用户比乙用户多交
3
元
3
角电费，
这个月甲、
乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）
【巩固训练】
1
、
某乡水电站发电了，
电费规定是：
如果每月用电不超过
24
度，
就按每
度电
9
角收费；
如果超过
24
度，
超过部分按每度电
2
元收费，
已知在某月中，
甲家比乙家
多交了电费
9
元
6
角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）
例
5
、
把
1000
拆成
两个自然数的和，
一个是
7
的倍数并且
要使这个数尽可能大，
一个是
11
的倍
数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？
3
【巩固训练】
1
、把
1000
拆成两个自然数的和，一个是
11
的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是
9
的倍数，并且使这个数尽可能小。这两个数分别是多少？
例
6
、公鸡
1
只
5
元，母鸡
1
只
3
元，小鸡
3
只
1
元，现在有钱
100
元，买鸡
100
只，
问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？
【巩固训练】
1
、有一座山里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知
7
个大
和尚每天共吃
41
个馒头，
29
个小和尚每天共吃
11
个馒头，而平均每个和
尚每天恰好吃一个馒头，那么这座山里
至少有和尚多少人？
4