小学奥数-不定方程(教师版)
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不定方程
在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。有三个未知数，就需要有三个<
/p>
方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，
这样的方程称为不定方程，
为纪念古希腊数学家丢番图，
不定
方程也称为丢番图方程。不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足
轻重的地位。而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过，
< br>我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而
且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种
情况也不排除它的取值不止一种。
不
定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中
以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整
数的分拆有很大关系）
。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以
判断、推理，才能正确
求解。
【例
1
】★求方程
5
x
2
y<
/p>
27
的正整数解。
【解析】因为
2y
为偶数，
27
为奇数，所以
5x
为奇数，即
x
为奇数
x
1
x
3
x
5
,
,
< br>
y
11
y
6
y
<
/p>
1
【小试牛刀】求方程
4x
＋
10y
＝
34
的正整数解
【解析】因为
4
与
10
的最大公约数为
2
，而
2|34
，两边约
去
2
后，得
2x
＋
5y
＝
17
，
5y
的个位是
0
或
5
两种情况，
2x
是偶数，要想和为
17
，
5y
的个位只能是
5
，
y
为奇数即可；
2x
的个位
为
2
，所以
x
的取值为
1
、
6
、
11
、
16
……
x
＝
1
时，
17
－
2x
＝
15
，
y
＝
3
，
<
/p>
x
＝
6
时，
17
－
2x
＝
5
，
y
＝
1
，
x
＝
11
时，
17
－
2x
＝
17
－
22
，无解
所以方程有两组整数解为：
x
1
x
6
,
y
3
y
1
【例
2
】
★
设
A
，<
/p>
B
都是正整数，并且满足
A
B
17
，求
A
B
的值。
11
3
33
【解析】
3
A
11
B
33
17
33
3A+11B=17
，因为
A
、
B
为正整数，所以
A=2
，
B=1
，
A+B=
3
【例
3
】★★（北大附中入学考试
真题）
14
个大、中、小号钢珠共重
1
00
克，大号钢珠每个重
12
克，中号
每个重
8
克，小号每个重
5
克。问：大、中、小号钢珠各多少个
?
【解析】
设大、
中号钢珠分别有
x
，
y
个，
则小号钢珠有
(14-x-y)
个。
< br>由题意可得
12x+8y+5(14-x-y)=100
，
化简得
7x+3y=30
。可求出正
整数解
x=3
，
y
=3
，
14-x-y
=8
。
【小试牛刀】庙里有若干个大
和尚和若干个小和尚，已知
7
个大和尚每天共吃
41
个馒头，
29
个小
和尚每天共吃
11
个馒头，平均每个和尚每天
恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚
?
【解
析】设有
7x
个大和尚，
29y
个小和尚，则共吃
(41x+lly)
个馒头
。由“平均每个和尚每天恰好
吃一个馒头”
，可列方程
7x+29y=41x+1ly
．
<
/p>
化简为
9x=17y
。当
x=9
，
y=17
时和尚最少
，有
7×9+29×17=556(个
)
。
【例
4
】★★长方形长，宽为整数，周长数值和面积数值相等，求其长和宽
.
【解析】设长方形长为
x
< br>，宽为
y
，则
2x+2y=xy
，两边同时除以
2xy
，
得
1
1
< br>1
，因为
x
、
< br>y
均为整数，所以
x=1
，
x=2
时，
y
不存
在
y<
/p>
x
2
所以
x
3
y
6
，
x
< br>4
y
4
，
x
6
y
3
【例
5
】★★
已知
A
，
B<
/p>
，
C
是三个最简真分数，如果每个分数的
分子加上
A
，分母不变，所得
2
3
4
三个新分数的和为
13
，求
C
等于多少
?
6
【解析】因为
A
是真分数，所以
A=1
，
2
1
1
B
1
C<
/p>
1
13
，化简
得
4B+3C=7
，因为
B
，
C
均为真分数，
2
3
4
6
3
4
所以
B=1
，
C=1
【例
6
】★★甲
班有
42
名学生，乙班有
48
名学生。某次考试后各班学生成绩的总和相等，平均分
均为整数，且平均
成绩均高于
80
分，那么甲班成绩比乙班成绩高多少分？
【解析】甲班成绩为
x
，乙班成绩为
y
，由方程①
8y=7x.
因为
x
、
y
均为整数，<
/p>
x>80
，
y>80
，
42
x
48
y
x
80
y
80<
/p>
所以
x=96
，
y=84. x-y=12
【
小
试牛刀
】
小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要
叫上几声表示问候．若是早晨
见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花
狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟
对它们的叫声统计了
15
天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这
15
天内它们共叫了
61
声．问：
波斯猫至少叫了多少声？