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2021年2月13日发(作者：《三体》)

不定方程与不定方程组

教学目标

1.

利用整除及奇偶性解不定方程

2.

不定方程的试值技巧

3.

学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元

3

世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方

程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早 的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元

5

世纪

的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数 学家秦九韶的大衍求一术将不定

方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方 程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿

在行程 问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所

以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解 题。

二、不定方程基本定义

1

、定义：

不定方程（组）是指未知数的个数 多于方程个数的方程（组）

。

2

、不定方程的解：

使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程 的解，不定方程的解不唯一。

3

、研 究不定方程要解决三个问题：

①

判断何时有解；

②

有解时确定解的个数；

③

求 出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1

、奇偶性

2

、整除的特点（能被

2

、

< p>
3

、

5

等数字整除的特性 ）

3

、余数性质的应用（和、差、积 的性质及同余的性质）

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

【例

1

】

求方程

2x

－

3y

＝

8

的 整数解

【考点】不定方程

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

方

法一：

由原方程，易得

< p>
2x

＝

8

＋

3y

，

x

＝

4

＋

3

y

，因此，对

y

的任意一个值，都有一个

x

与之对应，并

2

3





x



< br>4



k

且，

此时

x

与

y

的值必定满足原方程，

故这样的

x

与

y

是原方程的一组解，

即原方程的解可 表为：

2

，







y



k< /p>

其中

k

为任意数．说明

< br>

由

y

取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．

方法二：

根据奇偶性知道

2x

是偶数，

8

为偶数，所以若想

2x

－

3y

＝

8

成立，

y

必为偶数，

当

y

＝

0

，

x

＝

4

；当

y

＝

2

，

x

＝

7

；当< /p>

y

＝

4

，

x

＝

10……

，本题 有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】

求方程

2x

＋

6y

＝

9

的整数解

【考点】不定方程

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

因

为

2x

＋

6 y

＝

2(x

＋

3y)

，所以，不论

x

和

y

取何整数，都有

2|2x

＋

6y

，但

2

9

，因此，不论

x

和

< br>y

取什么

整数，

2x

< p>
＋

6y

都不可能等于

9< /p>

，即原方程无整数解．

说明：

此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例

2

】

求方程

4x

＋

10y

＝

34

的正整数解

【考点】不定方程

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

因

为

4

与

10

的最大公约数为

2

，而

2|34

，两边约去

2

后，得

2x

＋

5y

＝

17

，

5y

的个位是

0

或

5

两种情况，

2x

是偶数，要想和为< /p>

17

，

5y

的个 位只能是

5

，

y

为奇数即可；

2x

的个位为

2

，所以

x

的取值为

1

、

6

、

11< /p>

、

16……

x

＝

1

时，

17

－

2x

＝

15

，

y

＝

3

，

x

＝

6

时，

17

－

2x

＝

5

< p>
，

y

＝

1

，

x

＝

11

时，

17

－

< br>2x

＝

17

－

22

，无解



x



1



x



6

,



所以方程有两组整数解为：



y



3

y



1







x

< /p>

1



x



6

,



【答案】



y



3

y



1





【巩固】

求方程

3x

＋

5y

＝

12

的整数解

【考点】不定方程

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

由

3x

＋

5y

＝

12

，

3x

是

3

的倍数，要想和为

12

< p>
（

3

的倍数）

，

5y

也为

3

的倍数，所 以

y

为

3

的倍 数即可，所

以

y

的取值为

0

、

3

、

< br>6

、

9

、

12……

y

＝

0

时，

12

－

5y

＝

12

，

x

＝

4

，

x

＝

3

时，< /p>

12

－

5y

＝< /p>

12

－

15

，无 解



x

< /p>

4

所以方程的解为：



< br>

y



0





x



4

【答案】



y



0



【巩固】

解不定方程：

2

x



9

< br>y



40

（其中

x,y

均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】

2

星

【题型】解答

【解析】

方

法一：

2x

是偶数，要想和为

40

（偶数）

，

9y

也为偶数，即

y

为偶数，也可以化简方 程

2

x



9< /p>

y



40

，

x





x



11



x

< p>


2

40



9

x

y

,

< br>



20



5

y



知道

y

为偶数，所以方程解为：



2

2



y



2



y



4

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